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A Moebius characterization of submanifolds

机译：子流形的Moebius刻画

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In this paper, we study Moebius characterizations of submanifolds without umbilical points in a unit sphere S~(n+p)(1). First of all, we proved that, for an n-dimensional (n ≥ 2) submanifold x : M → S~(n+p)(1) without umbilical points and with vanishing Moebius form Φ, if (n - 2)‖A‖ ≤ ((n-1))~(1/2) {nR - 1[(n - 1) (2 - 1/p) - 1]} is satisfied, then, x is Moebius equivalent to an open part of either the Riemannian product S~(n-1)(r) x S~1((1-r~2)~(1/2)) in S~(n+1)(1), or the image of the conformal diffeomorphism σ of the standard cylinder S~(n-1)(1) x R in R~(n+1), or the image of the conformal diffeomorphism τ of the Riemannian product S~(n-1)(r) x H~1((1+r~2)~(1/2)) in H~(n+1), or x is locally Moebius equivalent to the Veronese surface in S~4(1). When p = 1, our pinching condition is the same as in Main Theorem of Hu and Li [6], in which they assumed that M is compact and the Moebius scalar curvature n(n-1)R is constant. Secondly, we consider the Moebius sectional curvature of the immersion x. We obtained that, for an n-dimensional compact submanifold x : M → S~(n+p)(1) without umbilical points and with vanishing form Φ, if the Moebius scalar curvature n(n-1)R of the immersion x is constant and the Moebius sectional curvature K of the immersion x satisfies K ≥ 0 when p = 1 and K > 0 when p > 1. Then, x is Moebius equivalent to eith er the Riemannian product S~k(r) X S~(n-k)((1-r~2)~(1/2)), for k = 1, 2, • • • , n - 1, in S~(n+1) (1); or x is Moebius equivalent to a compact minimal submanifold with constant scalar curvature in S~(n+p)(1).
机译：在本文中，我们研究了单位球面S〜（n + p）（1）中没有脐点的子流形的Moebius刻画。首先，我们证明，对于n维（n≥2）子流形x：M→S〜（n + p）（1）无脐点且Moebius形式为Φ消失，如果（n-2）”满足A‖≤（（n-1）/ n）〜（1/2）{nR-1 / n [（n-1）（2-1 -p / p）-1]}，则x为Moebius等效到S〜（n + 1）（1）中的黎曼乘积S〜（n-1）（r）x S〜1（（1-r〜2）〜（1/2））的开放部分，或标准圆柱S〜（n-1）（1）x R在R〜（n + 1）中的保形微分σ的图像，或黎曼乘积S〜（n- 1）（r）x H〜1（（1 + r〜2）〜（1/2））在H〜（n + 1）中，或者x局部等于Moebius，等于S〜4（1）中的Veronese曲面。当p = 1时，我们的捏合条件与Hu和Li [6]的主定理相同，他们假设M是紧致的，而Moebius标量曲率n（n-1）R是恒定的。其次，我们考虑沉浸x的Moebius截面曲率。对于浸没x的Moebius标量曲率n（n-1）R，我们得到了对于n维紧子流形x：M→S〜（n + p）（1）没有脐点且具有Φ消失的形式是常数，浸入x的Moebius截面曲率K在p = 1时满足K≥0，在p> 1时满足K>0。然后，x是Moebius等于黎曼乘积S〜k（r）XS〜（ nk）（（1-r〜2）〜（1/2）），对于k = 1，2，•••，n-1，在S〜（n + 1）（1）中;或x是Moebius等效于S〜（n + p）（1）中具有恒定标量曲率的紧致最小子流形。

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