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Über das Plateausche Problem für Wendelkurven

机译：关于螺旋曲线的平稳问题

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摘要

Im Euklidischen Raum R~3 betrachten wir einen linear ansteigenden Jordanbogen über einem Kreis um den Ursprung in der x, y-Ebene, welcher dann geradlinig mit der z-Achse zu einer Jordankurve Γ verbunden wird. Wir können das Plateausche Problem für diese Kurve, welches nach einer Minimalfläche mit dieser Berandung Γ fragt, dann explizit durch die klassische Wendelfläche - das Helikoid - lösen. Nun ist diese Fläche nicht stabil gegenüber Störung des Randbogens, und wir approximieren die z-Achse durch einen Kreiszylinder Z_(r1) vom Radius r_1＞0. Hier sitzt das Helikoid senkrecht auf und löst ein gemischtes Randwertproblem auf einer Riemannschen Fläche mit dem Ursprung als Verzweigungspunkt, der etalen Ebene. Da dieses gemischte Randwertproblem nun stabil gegenüber Störung des Randbogens ist, bleibt es auch für nichtlinear ansteigende Bögen über dem Kreis lösbar. Im Grenzübergang r_1 → 0 erhalten wir in einem singulären Graphen eine eingebettete Lösung des Plateauschen Problems für Wendelkurven Γ, welche einen nichtlinear ansteigenden Jordanbogen enthalten. Durch Spiegelung an der z-Achse entsteht schließlich eine Lösung des Plateauschen Problems zu einer Doppel-Wendelkurve Γ~*, welche einen reversiblen Graphen über der etalen Ebene darstellt. Die Frage nach der Eindeutigkeit des Plateauschen Problems können wir jedoch nicht beantworten.
机译：在欧几里得空间R〜3中，我们考虑在x，y平面中围绕原点的圆上方线性上升的约旦弧，然后将其与z轴以一条直线连接以形成约旦曲线Γ。然后，我们可以使用经典的螺旋面积-螺旋线，明确解决该曲线的平稳问题，该问题要求具有边界Γ的最小面积。现在该表面对于边缘曲线的扰动是不稳定的，我们用半径为r_1＞ 0的圆柱体Z_（r1）近似z轴。在这里，螺旋线垂直放置，并解决了以原点为支点等平面的黎曼曲面上的混合边值问题。由于此混合边值问题现在可以稳定地抵抗边界拱的干扰，因此即使对于圆上方的非线性上升拱，它仍然可以解决。在r_1→0的边界交汇处，我们在奇异图中得到了螺旋曲线Γ的Plateau问题的嵌入式解，该曲线包含非线性增加的Jordan曲线。通过在z轴上镜像，可以创建高原问题对双螺旋曲线Γ〜*的解，该曲线表示等平面上的可逆图。但是，我们无法回答高原问题的唯一性问题。

著录项

  • 来源
    《Mathematische Semesterberichte》 |2013年第2期|151-183|共33页
  • 作者

    Friedrich Sauvigny;

  • 作者单位

    Mathematisches Institut der Brandenburgischen Technischen Universität, Platz der Deutschen Einheit 1, 03046 Cottbus, Deutschland;

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