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DIVIDED DIFFERENCES, SQUARE FUNCTIONS, AND A LAW OF THE ITERATED LOGARITHM

机译：除法差，平方函数和对数律

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The main purpose of the paper is to show that differentiability properties of a measurable function defined in the euclidean space can be described using square functions which involve its second symmetric divided differences. Classical results of Marcinkiewicz, Stein and Zygmund describe, up to sets of Lebesgue measure zero, the set of points where a function / is differentiable in terms of a certain square function g(f). It is natural to ask for the behavior of the divided differences at the complement of this set. that is. on the set of points where / is not differentiable. In the nineties, Anderson and Pitt proved that the growth of the divided differences of a function in the Zygmund class obeys a version of the classical Kolmogorov5S Law of the Iterated Logarithm (LIL). A square function, which is the conical analogue of g(f) will be used to state and prove a general version of the LIL of Anderson and Pitt as well as to prove analogues of the classical results of Marcinkiewicz, Stein and Zygmund. Sobolev spaces can also be described using this new square function.
机译：本文的主要目的是表明，可以使用平方函数描述欧几里德空间中定义的可测量函数的微分性质，该平方函数涉及其第二个对称的分割差。 Marcinkiewicz，Stein和Zygmund的经典结果描述了，直到Lebesgue数集为零时，点集合中的函数/根据某个平方函数g（f）是可微的。在此集合的补集上自然要求划分差异的行为。那是。 /不可微分的点集上。在90年代，安德森（Anderson）和皮特（Pitt）证明了Zygmund类中某个函数的除法差的增长服从经典Kolmogorov5S迭代对数定律（LIL）的版本。平方函数是g（f）的圆锥形类似物，用于陈述和证明Anderson和Pitt的LIL的一般形式，以及证明Marcinkiewicz，Stein和Zygmund的经典结果的类似物。 Sobolev空间也可以使用这个新的平方函数来描述。

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