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Optimal Monte Carlo integration on closed manifolds

机译：封闭歧管上的最佳蒙特卡洛积分

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The worst case integration error in reproducing kernel Hilbert spaces of standard Monte Carlo methods with n random points decays as n(-1/2). However, the re-weighting of random points, as exemplified in the Bayesian Monte Carlo method, can sometimes be used to improve the convergence order. This paper contributes general theoretical results for Sobolev spaces on closed Riemannian manifolds, where we verify that such re-weighting yields optimal approximation rates up to a logarithmic factor. We also provide numerical experiments matching the theoretical results for some Sobolev spaces on the sphere S-2 and on the Grassmannian manifold G(2,4). Our theoretical findings also cover function spaces on more general sets such as the unit ball, the cube, and the simplex.
机译：在具有n个随机点的标准Monte Carlo方法的内核Hilbert空间的再现中，最坏情况的积分误差衰减为n（-1/2）。但是，如贝叶斯蒙特卡洛方法所示，随机点的重新加权有时可以用来改善收敛阶。本文为封闭黎曼流形上的Sobolev空间提供了一般的理论结果，我们在其中验证了这种重新加权可产生最高达对数因子的最佳近似率。我们还提供了数值实验，其与球体S-2和格拉斯曼流形G（2,4）上的某些Sobolev空间的理论结果匹配。我们的理论发现还涵盖了更通用的集合上的函数空间，例如单位球，立方体和单纯形。

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