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All projections of a typical Cantor set are Cantor sets

机译：典型的陈列柜套装的所有投影都是Cantor Sets

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In 1994, John Cobb asked: given N m k 0, does there exist a Cantor set in RN such that each of its projections into m-planes is exactly k-dimensional? Such sets were described for (N, m, k) = (2, 1, 1) by L. Antoine (1924) and for (N, m, m) by K. Borsuk (1947). Examples were constructed for the cases (3, 2, 1) by J. Cobb (1994), for (N, m, m- 1) and in a different way for (N, N - 1, N - 2) by O. Frolkina (2010, 2019), for (N,N - 1, k) by S. Barov, J.J. Dijkstra and M. van der Meer (2012). We show that such sets are exceptional in the following sense. Let C(R-N) be the set of all Cantor subsets of R-N endowed with the Hausdorff metric. It is known that C(R-N) is a Baire space. We prove that there is a dense G delta subset P subset of C(R-N) such that for each X is an element of P and each non-zero linear subspace L subset of R-N, the orthogonal projection of X into L is a Cantor set. This gives a partial answer to another question of J. Cobb stated in the same paper (1994). (C) 2020 Elsevier B.V. All rights reserved.
机译：1994年，John Cobb询问：给定N> M> K> 0，是否存在RN中的漫画，使得其每个投影到M平面都是k维？将这种组用于（n，m，k）=（2,1，1）由L. antoine（1924）和（n，m，m）描述，borsuk（1947）。用J.Cobb（1994）的病例（3,2,1）构建实例，用于（n，m，m-1），并以不同的方式通过o（n，n - 1，n - 2）。 。Frolkina（2010年，2019年），由jj的S. Barov（n，n - 1，k）为（n，n - 1，k） Dijkstra和M.Van der Meer（2012年）。我们表明这种组在以下意义上具有特殊。让C（R-N）成为R-N的所有Cantor子集的集合，赋予Hausdorff度量标准。众所周知，C（R-N）是贝尔堡空间。我们证明存在密集的gΔ子集P子集C（RN），使得对于每个X是P的元素和每个非零线性子空间L子集的RN，X进入L的正交投影是唱名。这给了同一文件中的J.Cobb的另一个问题（1994年）给出了另一个问题的部分答案。 （c）2020 Elsevier B.v.保留所有权利。

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