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A VARIATIONAL PRINCIPLE ASSOCIATED WITH ACERTAIN CLASS OF BOUNDARY-VALUE PROBLEMS

机译：与某些类边值问题有关的变分原理

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A variational principle is introduced to provide a new for-mulation and resolution for several boundary-value problems. Indeed,we consider systems of the form ∫Λu =?Φ(u),β_2u=?Ψ(β_1u), where Φ andΨ are two convex functions and Λ is a possibly unboundedself-adjoint operator modulo the boundary operator B = (β_1, β_2).Weshall show that solutions of the above system coincide with critical pointsof the functional I (u) = Φ~* (Λu) - Φ(u)+Ψ~*(β_2u)- Ψ(β_1u), where Φ~* and Ψ~* are the Fenchel-Legendre dual of Φ and Ψ respectively.Note that the standard Euler-Lagrange functional corresponding to thesystem above is of the form, F (u) = 1/2(Λu,u) — Φ(u) — Ψ(β_1 u). An immediate advantage of using the functional I instead of F is to ob-tain more regular solutions and also the flexibility to handle boundary-value problems with nonlinear boundary conditions. Applications toHamiltonian systems and semi-linear Elliptic equations with various lin-ear and nonlinear boundary conditions are also provided.
机译：引入了变分原理，为一些边值问题提供了新的公式和解决方案。实际上，我们考虑的形式为∫Λu=？Φ（u），β_2u=？Ψ（β_1u）的系统，其中Φ和Ψ是两个凸函数，并且Λ是边界算子B =（β_1， β_2）。我们应证明上述系统的解与函数I（u）=Φ〜*（Λu）-Φ（u）+Ψ〜*（β_2u）-Ψ（β_1u）的临界点一致，其中Φ〜*和Ψ〜*分别是Φ和the的Fenchel-Legendre对偶。注意，与上述系统对应的标准Euler-Lagrange泛函形式为F（u）= 1/2（Λu，u）-Φ（u ）—Ψ（β_1u）。使用泛函I代替F的直接优势是获得更规则的解，以及获得处理非线性边界条件下的边值问题的灵活性。还提供了应用于具有各种线性耳和非线性边界条件的哈密顿系统和半线性椭圆方程的应用。

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