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Dirichlet problem on locally finite graphs

机译：局部有限图的Dirichlet问题

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摘要

In this paper, we study the existence and uniqueness of solutions to the vertex-weighted Dirichlet problem on locally finite graphs. Let B be a subset of the vertices of a graph G. The Dirichlet problem is to find a function whose discrete Laplacian on GB and its values on B are given. Each infinite connected component of GB is called an end of G relative to B. If there are no ends, then there is a unique solution to the Dirichlet problem, Such a solution can be obtained as a limit of an averaging process or as a minimizer of a certain functional or as a limit-solution of the heat equation on the graph. On the other hand, we show that if G is a locally finite graph with l ends, then the set of solutions of any Dirichlet problem, if non-empty, is at least l-dimensional. (c) 2007 Elsevier B.V. All rights reserved.
机译：在本文中，我们研究了局部有限图上顶点加权Dirichlet问题解的存在性和唯一性。令B为图G的顶点的子集。Dirichlet问题是找到一个函数，该函数在G B上具有离散的拉普拉斯算子，并在B上给出了其值。 G B的每个无限连接的分量都称为G相对于B的端点。如果没有端点，则存在Dirichlet问题的唯一解。这样的解可以作为平均过程的极限或某个函数的极小值或作为图上热方程的极限解。另一方面，我们表明，如果G是一个具有l个末端的局部有限图，则任何Dirichlet问题的解集（如果是非空的）至少是1维的。 （c）2007 Elsevier B.V.保留所有权利。

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