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A generalized ideal-based zero-divisor graph

机译：广义基于理想的零除数图

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Let R be a commutative ring with identity, I its proper ideal and M be a unitary R-module. In this paper, we introduce and study a kind of graph structure of an R-module M with respect to proper ideal I, denoted by Gamma(I) (M-R) or simply Gamma(I) (M). It is the (undirected) graph with the vertex set M{0} and two distinct vertices x and y are adjacent if and only if [x : M][y : M] subset of I. Clearly, the zero-divisor graph of R is a subgraph of Gamma(0) (R); this is an important result on the definition. We prove that if ann(R)(M) subset of I and H is the subgraph of Gamma(I) (M) induced by the set of all non-isolated vertices, then diam (H) <= 3 and gr (Gamma(I) (M)) is an element of{3, 4, infinity}. Also, we prove that if Spec (R) and omega(Gamma(Nil(R))(M)) are finite, then chi(Gamma(Nil(R))(M)) <= vertical bar Spec (R)vertical bar + omega(Gamma(Nil(R))(M)). Moreover, for a secondary R-module M and prime ideal P, we determine the chromatic number and the clique number of Gamma(P) (M), where ann(R)(M) subset of P. Among other results, it is proved that for a semisimple R-module M with ann(R)(M) subset of I, Gamma(I) (M) is a forest if and only if Gamma(I) (M) is a union of isolated vertices or a star.
机译：设R是一个带身份的交换环，我是它的适当理想，M是一个R单元。在本文中，我们介绍并研究了R模块M相对于理想I的图结构，用Gamma（I）（M-R）或简单地称为Gamma（I）（M）表示。它是顶点集为M {0}的（无向）图，并且当且仅当I的[x：M] [y：M]子集时，两个不同的顶点x和y相邻。显然，零除数图R是Gamma（0）（R）的子图;这是定义的重要结果。我们证明，如果I和H的ann（R）（M）子集是由所有非孤立顶点集引起的Gamma（I）（M）的子图，则直径（H）<= 3和gr（Gamma （I）（M））是{3，4，infinity}的元素。另外，我们证明如果Spec（R）和omega（Gamma（Nil（R））（M））是有限的，则chi（Gamma（Nil（R））（M））<=竖线Spec（R）vertical bar +Ω（Gamma（Nil（R））（M））。此外，对于次要R模M和素理想P，我们确定Gamma（P）（M）的色数和集团数，其中P的an（R）（M）子集。在其他结果中，它是证明对于具有I的ann（R）（M）子集的半简单R模M，当且仅当Gamma（I）（M）是孤立的顶点或a的并集时，Gamma（I）（M）才是森林。星。

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