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首页> 外文期刊>Journal of algebra and its applications >Commutative rings whose proper ideals are direct sum of completely cyclic modules
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Commutative rings whose proper ideals are direct sum of completely cyclic modules

机译：适当理想是完全循环模的直接和的交换环

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By two results of Kothe and Cohen-Kaplansky we obtain that "a commutative ring R has the property that every R-module is a direct sum of (completely) cyclic modules if and only if R is an Artinian principal ideal ring" (an R-module M is called completely cyclic if each submodule of M is cyclic). In this paper, we describe and study commutative rings whose proper ideals are direct sum of completely cyclic modules. It is shown that every proper ideal of a commutative ring R is a direct sum of completely cyclic R-modules if and only if R is a principal ideal ring or R is a local ring with maximal ideal M such that there is an index set. and a set of elements {x} boolean OR {w(lambda)}(lambda is an element of Lambda) subset of R such that M = Rx circle plus (circle plus(lambda is an element of Lambda) R omega(lambda)) with each Rw(lambda) a simple R-module and R/Ann( x) a principal ideal ring.
机译：通过Kothe和Cohen-Kaplansky的两个结果，我们得出“一个交换环R具有以下性质：当且仅当R是一个Artinian主理想环时，每个R-模块都是（完全）循环模块的直接和”（R如果M的每个子模块都是循环的，则将M模块称为完全循环）。在本文中，我们描述和研究可交换环，其理想条件是完全循环模的直接和。结果表明，当且仅当R是一个主理想环或R是一个具有最大理想M的局部环，并且存在一个索引集时，交换环R的每个适当理想才是完全循环R-模的直接和。和一组元素{x}布尔或{w（lambda）}（lambda是Lambda的元素）的R子集，这样M = Rx圆加（圆plus（lambda是Lambda的元素）R omega（lambda） ），每个Rw（lambda）是一个简单的R-模块，R / Ann（x）是一个主要的理想环。

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