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EULER'S ELASTICA AND BEYOND

机译：欧拉弹性体及超越

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In 1691, James (Jacob) Bernoulli proposed a problem called elastica problem: What shape of elastica, an ideal thin elastic rod on a plane, is allowed? Daniel Bernoulli discovered its energy functional, Euler-Bernoulli energy function, and the minimal principle of the elastica. Using it, Euler essentially solved the problem in 1744 by developing the variational method, elliptic integral theory and so on. This article starts with a review of its mathematical meaning and historical background. After that we present one of its extensions, statistical mechanics of elastica as a model of the DNA and the large polymers. We will call it a quantized elastica, and show that it is connected with the modified Korteweg-de Vries hierarchy, loop space, submanifold Dirac operators, moduli spaces of the real hyperelliptic curves and so on. By reviewing the other extensions of the elastica problem, We will see that elastica is in the center of mathematics even now.
机译：1691年，詹姆斯·雅各布·伯努利（James（Jacob）Bernoulli）提出了一个名为“弹性问题”的问题：允许哪种形状的弹性（一种理想的细弹性杆）在飞机上？ Daniel Bernoulli发现了它的能量函数，Euler-Bernoulli能量函数以及弹性的最小原理。使用它，欧拉通过发展变分法，椭圆积分理论等从本质上解决了1744年的问题。本文首先回顾其数学含义和历史背景。之后，我们介绍它的扩展之一，即Elastica的统计力学，作为DNA和大型聚合物的模型。我们将其称为量化弹性，并表明它与修改后的Korteweg-de Vries层次结构，循环空间，子流形Dirac算子，实际超椭圆曲线的模空间等相关。通过回顾弹性问题的其他扩展，我们将看到，即使在现在，弹性也处于数学的中心。

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