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Probability of all eigenvalues real for products of standard Gaussian matrices

机译：标准高斯矩阵的乘积实在的所有特征值的概率

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With {X_i} independent N × N standard Gaussian random matrices, the probability p_(N,N)~(P_m) that all eigenvalues are real for the matrix product P_m = X_mX_(m?1) · · · X_1 is expressed in terms of an N/2×N/2 (N even) and (N+1)/2× (N + 1)/2 (N odd) determinant. The entries of the determinant are certain Meijer G-functions. In the case m = 2 high precision computation indicates that the entries are rational multiples of π_2, with the denominator a power of 2, and that to leading order in N p_(N,N)~(P_m) decays as (π/4)~(N~2/2). We are able to show that for general m and large N, p_(N,N)~(P_m)～ bN_m~2 with an explicit bm. An analytic demonstration that p_(N,N)~(P_m)→ 1 as m→∞is given.
机译：对于{X_i}个独立的N×N个标准高斯随机矩阵，矩阵乘积P_m = X_mX_（m？1）... X_1的概率p_（N，N）〜（P_m）为实N / 2×N / 2（N个偶数）和（N + 1）/ 2×（N +1）/ 2（N个奇数）行列式。行列式的条目是某些Meijer G函数。在m = 2的情况下，高精度计算表明这些条目是π_2的有理倍数，分母的幂为2，并且N p_（N，N）〜（P_m）中的前导阶随着（π/ 4）衰减）〜（N〜2/2）。我们可以证明，对于一般的m和大的N，p_（N，N）〜（P_m）〜bN_m〜2带有明确的bm。给出了p_（N，N）〜（P_m）→1为m→∞的解析证明。

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