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Numerical evaluation of Appell's F_1 hypergeometric function

机译：Appell F_1超几何函数的数值评估

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In this work we present a numerical scheme to compute the two-variable hypergeometric function F_1(α,β,β',γ; x, y) of Appell for complex parameters α,β,β' and γ, and real values of the variables x and y. We implement a set of analytic continuations that allow us to obtain the F_1 function outside the region of convergence of the series definition. These continuations can be written in terms of the Horn's G_2 function, Appell's F_2 function related, and the F_1 hypergeometric itself. The computation of the function inside the region of convergence is achieved by two complementary methods. The first one involves a single-index series expansion of the F_1 function, while the second one makes use of a numerical integration of a third order ordinary differential equation that represents the system of partial differential equations of the F_1 function. We briefly sketch the program and show some examples of the numerical computation.
机译：在这项工作中，我们提出了一种数值方案，用于计算复杂参数α，β，β'和γ的App​​ell的二变量超几何函数F_1（α，β，β'，γ; x，y）以及变量x和y。我们实现了一组解析延续，使我们能够在级数定义的收敛范围之外获得F_1函数。这些延续可以用Horn的G_2函数，与Appell相关的F_2函数以及F_1超几何本身来表示。收敛区域内部函数的计算是通过两种互补的方法实现的。第一个涉及F_1函数的单索引级数展开，而第二个则利用表示F_1函数的偏微分方程组的三阶常微分方程的数值积分。我们简要地概述了程序，并显示了一些数值计算示例。

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