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A Lanczos method for approximating composite functions

机译：用于近似复合函数的Lanczos方法

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We seek to approximate a composite function h(x)=g(f(x)) with a global polynomial. The standard approach chooses points x in the domain of f and computes h(x) at each point, which requires an evaluation of f and an evaluation of g. We present a Lanczos-based procedure that implicitly approximates g with a polynomial of f. By constructing a quadrature rule for the density function of f, we can approximate h(x) using many fewer evaluations of g. The savings is particularly dramatic when g is much more expensive than f or the dimension of x is large. We demonstrate this procedure with two numerical examples: (i) an exponential function composed with a rational function and (ii) a Navier-Stokes model of fluid flow with a scalar input parameter that depends on multiple physical quantities.
机译：我们试图用全局多项式近似复合函数h（x）= g（f（x））。标准方法在f的域中选择点x，并在每个点计算h（x），这需要对f进行评估并对​​g进行评估。我们提出了一个基于Lanczos的过程，该过程隐式地近似了多项式为f的g。通过为f的密度函数构造一个正交规则，我们可以使用更少的g估计值来近似h（x）。当g比f贵得多或x的维数较大时，节省的成本尤为可观。我们通过两个数值示例来演示此过程：（i）由有理函数组成的指数函数，以及（ii）带有标量输入参数（取决于多个物理量）的流体流动的Navier-Stokes模型。

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