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The Correct Formulation of Gleason's Theorem in Quaternionic Hilbert Spaces

机译：季屈氏港贝尔伯特空间中的格里森定理正确制定

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摘要

Quantum Theories can be formulated in real, complex or quaternionic Hilbert spaces as established in Soler's theorem. Quantum states are here pictured in terms of sigma-additive probability measures over the non-Boolean lattice of orthogonal projectors of the considered Hilbert space. Gleason's theorem proves that, if the Hilbert space is either real or complex and some technical hypotheses are true, then these measures are one-to-one with standard density matrices used by physicists recovering and motivating the familiar notion of state. The extension of this result to quaternionic Hilbert spaces was obtained by Varadarajan in 1968. Unfortunately, the formulation of this extension (Varadarajan in Geometry of quantum theory, Van Nostrand Reinhold Inc., Washington, 1968) is partially mathematically incorrect due to some peculiarities of the notion of trace in quaternionic Hilbert spaces. A minor issue also affects Varadarajan's statement for real Hilbert space formulation. This paper is devoted to present Gleason-Varadarajan's theorem into a technically correct and physically meaningful form valid for the three types of Hilbert spaces. In particular, we prove that only the real part of the trace enters the formalism of Quantum Theories (also dealing with unbounded observables and symmetries) and it can be safely used to formulate and prove a common statement of Gleason's theorem.
机译：Quantum理论可以在Soler定理中建立的真实，复杂或四分之一的希尔伯特空间中配制。 Quantum州在这里描绘了Sigma-Contination概率措施，这些概率措施通过考虑的希尔伯特空间的正交投影仪的非布尔晶格。 Glason的定理证明，如果希尔伯特空间是真实的或复杂的并且一些技术假设是真的，那么这些措施是一对一，用物理学家恢复和激励熟悉状态概念的标准密度矩阵一对一。由Varadarajan于1968年获得了季洛尼克·希尔伯特空间的延伸。不幸的是，这种延期的制定（瓦拉卡拉詹数量的量子理论，Van Nostrand Reinhold Inc.，华盛顿，1968年，华盛顿州，1968年）由于一些特殊性而部分地数学上不正确。季洛尼斯希尔伯特空间中痕迹的概念。一个小问题也影响了Varadarajan的真实希尔伯特空间配方的陈述。本文致力于将Gleason-Varadarajan的定理呈现为技术上正确和物理有意义的形式，适用于三种类型的希尔伯特空间。特别是，我们证明，只有轨迹的实际部分进入量子理论的形式主义（也处理无限的可观察到和对称），并且可以安全地用于制定和证明Glason的定理常见声明。

著录项

  • 来源
    《Annales Henri Poincare》 |2018年第11期|共35页
  • 作者

    Moretti Valter; Oppio Marco;

  • 作者单位

    Univ Trento Ist Nazl Fis Nucl TIFPA Dept Math Via Sommar 15 I-38123 Povo Trento Italy;

    Univ Regensburg Fac Math Univ Str 31 D-93053 Regensburg Germany;

  • 收录信息
  • 原文格式 PDF
  • 正文语种 eng
  • 中图分类 理论物理学;
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