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UNIFORM PARAMETERIZATION OF SUBANALYTIC SETS AND DIOPHANTINE APPLICATIONS

机译：SubanalyTic集的均匀参数化和副植物应用

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We prove new parameterization theorems for sets definable in the structure R_(an) (i.e., for globally subanalytic sets) which are uniform for definable families of such sets. We treat both C~r-parameterization and (mild) analytic parameterization. In the former case we establish a polynomial (in r) bound (depending only on the given family) for the number of parameterizing functions. However, since uniformity is impossible in the latter case (as was shown by Yomdin via a very simple family of algebraic sets), we introduce a new notion, analytic quasi-parameterization (where many-valued complex analytic functions are used), which allows us to recover a uniform result. We then give some diophantine applications motivated by the question as to whether the H~(o(1)) bound in the Pila-Wilkie counting theorem can be improved, at least for certain reducts of Ran. Both parameterization results are shown to give uniform (logH)~(O(1)) bounds for the number of rational points of height at most H on Ran-definable Pfaffian surfaces. The quasi-parameterization technique produces the sharper result, but the uniform C~r-parameterization theorem has the advantage of also applying to R_(an)~(pow)-definable families.
机译：我们证明了新的参数化定理，用于在结构R_（a）（即全局子分组集）中可定义的可定义，这些定义是这样的可定义家庭的统一。我们对C〜R参数化和（MILD）分析参数化进行治疗。在前一种情况下，我们建立一个多项式（IN r）绑定（仅取决于给定的家庭），用于参数化函数的数量。然而，由于后一种情况下不可能均匀，因此如yomdin通过非常简单的代数集的yomdin所示），我们介绍了一个新的概念，分析准参数化（使用了许多值复杂的分析功能），允许我们恢复统一的结果。然后，我们给出一些辅助的辅助应用程序，这是关于在Pila-Wilkie计数定理中绑定的H〜（O（1））可以改进的问题，至少对于某些RAN进行改进。参数化结果都显示为统一（LOGH）〜（O（1））的界限，用于ran可定义的PFaffian表面上的最多H.准参数化技术产生更锐利的结果，但统一的C〜R参数化定理具有还应用于R_（AN）〜（POW）-Definable族的优点。

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