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HIGHER DIMENSIONAL STEINHAUS AND SLATER PROBLEMS VIA HOMOGENEOUS DYNAMICS

机译：通过同质动态的高维Steinhaus和Slater问题

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The three gap theorem, also known as the Steinhaus conjecture or three distance theorem, states that the gaps in the fractional parts of a, 2a,..., Na take at most three distinct values. Motivated by a question of Erdos, Geelen and Simpson, we explore a higher-dimensional variant, which asks for the number of gaps between the fractional parts of a linear form. Using the ergodic properties of the diagonal action on the space of lattices, we prove that for almost all parameter values the number of distinct gaps in the higher dimensional problem is unbounded. Our results in particular improve earlier work by Boshernitzan, Dyson and Bleher et al. We furthermore discuss a close link with the Littlewood conjecture in multiplicative Diophantine approximation. Finally, we also demonstrate how our methods can be adapted to obtain similar results for gaps between return times of translations to shrinking regions on higher dimensional tori.
机译：三个间隙定理，也称为Steinhaus猜想或三个距离定理，指出A，2A，...，NA的小数部分中的间隙在大多数三个不同的值。 通过鄂尔多斯，格勒森和辛普森的问题，我们探索了一个高维变体，这要求线性形式的小数部分之间的间隙数量。 使用对角动作的ergodic属性在格子的空间上，我们证明了几乎所有参数值，较高维度问题中的不同间隙的数量是无限的。 我们的结果特别改善了博士Zan，戴森和BLEHER等人的早期工作。 我们还讨论了乘法辅助近似的小木猜想的紧密联系。 最后，我们还证明了我们的方法可以适应如何在较高维拉里缩小区域的转换的返回时间之间获得类似的结果。

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