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Classical and Quantum Super-Integrability: From Lissajous Figures to Exact Solvability

机译：古典和量子超级可积泛性：从Lissajous数字到精确的可加工性

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The first part of this paper explains what super-integrability is and how it differs in the classical and quantum cases. This is illustrated with an elementary example of the resonant harmonic oscillator. For Hamiltonians in natural form, the kinetic energy has geometric origins and, in the flat and constant curvature cases, the large isometry group plays a vital role. We explain how to use the corresponding first integrals to build separable and super-integrable systems. We also show how to use the automorphisms of the symmetry algebra to help build the Poisson relations of the corresponding non-Abelian Poisson algebra. Finally, we take both the classical and quantum Zernike system, recently discussed by Pogosyan et al., and show how the algebraic structure of its super-integrability can be understood in this framework.
机译：本文的第一部分解释了超级可变性是什么以及它在经典和量子案例中的不同之处。 这是用谐振谐波振荡器的基本示例说明的。 对于自然形式的汉密尔顿人，动能具有几何起源，并且在平坦和恒定的曲率壳体中，大型肌室群体起着至关重要的作用。 我们解释了如何使用相应的第一个积分来构建可分离和超可集成的系统。 我们还展示了如何使用对称代数的自态，以帮助构建相应的非阿比越泊泊尔代数的泊松关系。 最后，我们通过Pogosyan等人讨论了古典和量子Zernike系统，并展示了在该框架中可以理解其超级可积性的代数结构。

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