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首页> 外文期刊>Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik >Boundedness of classical solutions for a chemotaxis model with rotational flux terms
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Boundedness of classical solutions for a chemotaxis model with rotational flux terms

机译：具有旋转通量术语的趋化性模型的经典解的界限

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摘要

In this paper, we study the following chemotaxis system with rotational flux terms: {u_t = ?· (?u - uS(x,u,v)?v), x∈ Ω, t > 0, v_t = Δv -f(x,u,v), x∈ Ω, t > 0, under no-flux boundary conditions in a bounded domain Ω ? R~n, n ≥ 2, with smooth boundary. Here, S ∈ C~2(Ω? × [0,∞)~2;?~(n×n)) is a matrix-valued function and |S(x,u,v)| ≤ S_0(v), where S_0 is some non-decreasing function. Also, f ∈ C~1(Ω? × [0, ∞)~2;?) is a non-negative function with f(x,u, 0) = 0 and f(x,u,v) ≤ f_0(v)(1 + u), where f_0 is some non-decreasing function. We prove that the classical solutions to the above system are uniformly in-timebounded if there exists a smooth function z(s) with z'(s) ≥ 0 such that for some p >n/2 the matrix-valued function: (p - 1/4) S~t(x,r,s)S(x,r,s) +[1/p(p-1)(z'(s))~2 - 1/pz''(s)] I_n be a negative semi-definite matrix. Here, S~t denotes the transpose of S and I_n is an n × n identity matrix.We show that the preceding matrix-valued function is a negative semi-definite matrix provided that ||v_0||_(L∞(Ω))S_0(||v_0||_(L∞(Ω))) < π√2/n. These results extend the recent results obtained by Li et al. (Math. Models Methods Appl. Sci.) (2015) and Zhang (Math. Nachr.) (2016). We also study the special case S = xI_n with x > 0. The above matrix in this case is written as: [1/4(p - 1)x~2 + 1/p(p - 1)(z'(s))~2 - 1/pz''(s)]I_n:= Z(s)I_n. For this case, we present a smooth function z(s) with z'(s) ≥ 0 such that the matrix-valued function z(s)I_n is a negative semi-definite matrix provided that 0 < ||v_0||_(L∞(Ω)) < π/x√2/n. This result extends the result obtained for this problem which asserts the boundedness of classical solutions under the condition 0 < ||v_0||_(L∞(Ω)) < 1/6x(n+1) . More precisely, by comparing the two conditions, we can write lim_(n→∞)π/x√2/n/1/6x(n+1)= +∞.
机译：在本文中，我们研究了具有旋转助焊剂的趋化性系统：{U_T =？·（？U - US（x，U，V）？v），x∈ω，t> 0，v_t =ΔV-f（ x，u，v），x∈ω，t> 0，在界域的无通量边界条件下ωΩ R〜n，n≥2，具有平滑的边界。这里，s∈c〜2（ω×[0，∞）〜2;〜（n×n））是矩阵值函数和| s（x，u，v）| ≤S_0（v），其中S_0是一些非减小功能。此外，F≠C〜1（ω≤x[0，∞）〜2 ;?）是具有f（x，u，0）= 0和f（x，u，v）≤f_0的非负函数（ v）（1 + U），其中f_0是一些非减小功能。我们证明，如果具有z'（s）≥0的光滑功能z，则以上述系统的经典解决方案均匀地呈上绑定，使得对于一些p> n / 2来说是矩阵值函数：（p - 1/4）S〜T（x，r，s）s（x，r，s）+ [1 / p（p-1）（z'（s））〜2 - 1 / pz''（s ）] i_n是一个负半定矩阵。这里，s〜t表示θ和i_n是n×n identity矩阵.we表明前面的矩阵值函数是一个负半定矩阵，提供了|| v_0 || _（l∞（ω） ）S_0（|| v_0 || _（l∞（ω）））<π√2/ n。这些结果延长了Li等人获得的最近结果。 （数学。模型方法应用程序。SCI。）（2015）和张（数学。NACHR。）（2016）。我们还使用x> 0研究特殊情况s = xi_n。在这种情况下，上述矩阵被写为：[1/4（p-1）x〜2 + 1 / p（p-1）（z'（s ）））〜2 - 1 / pz''（s）] i_n：= z（s）i_n。对于这种情况，我们呈现一个具有z'（s）≥0的平滑功能z，使得矩阵值函数z（s）i_n是一个负半定矩阵，提供了0 <|| v_0 || _ （L∞（ω））<π/x√2/ n。该结果扩展了该问题所获得的结果，该结果断言条件0 <|| V_0 || _（L∞（ω））<1 / 6x（n + 1）下的经典解的界限。更确切地说，通过比较两个条件，我们可以写入LIM_（n→∞）π/x√2/ n / 1/6x（n + 1）= +∞。

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