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Automorphisms of the co-maximal ideal graph over matrix ring

机译：矩阵环的共同最大理想图的自体态

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Let Fq be a finite field with q elements, R0 = Mn(Fq) be the ring of all n × n matrices over Fq, L(R0) be the set of all nontrivial left ideals of R0. The co-maximal ideal graph of R0, denoted by C(R0), is a graph with L(R0) as vertex set and two nontrivial left ideals I,J of R0 are adjacent if and only if I + J = R0. If n = 2, it is easy to see that C(R0) is a complete graph, thus any permutation of vertices of C(R0) is an automorphism of C(R0). A natural problem is: How about the automorphisms of C(R0) when n ≥ 3. In this paper, we aim to solve this problem. When n ≥ 3, a mapping σ on L(R0) is proved to be an automorphism of C(R0) if and only if there is an invertible matrix x ∈ R0 and a field automorphism f of Fq such that σ(I) = f(I)x for any I ∈ L(R0), where f(I)x = {f(z)x?|?z ∈ I} and f(z) = [f(zij)]n×n for z = [zij]n×n ∈ R0.
机译：让FQ是具有Q元素的有限字段，R0 = Mn（FQ）是FQ，L（R0）的所有N×N矩阵的环，L（R0）是R0的所有非牵引理想集。 由C（R0）表示的R0的共同最大理想曲线图是具有L（R0）的曲线图，作为顶点组，并且r0的两个非增长左理想I，j of r0且仅当i + j = r0时是相邻的。 如果n = 2，则易于看出C（R0）是一个完整的图形，因此C（R0）的任何置换是C（R0）的自动形态。 一个自然问题是：当N≥3时，C（R0）的自同一性如何。在本文中，我们的目标是解决这个问题。 当n≥3时，如果只有在FQ的可逆矩阵x∈R0和现场自动形态f的情况下，则证明L（R0）上的映射Σ（R0）是C（R0）的自动形式，使得σ（i）= f（i）x用于任何I≠l（r0），其中f（i）x = {f（z）x≤1×|αz∈I}和f（z）= [f（zij）] n×n z = [zij] n×n∈r0。

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