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Asymptotic Behavior of Massless Dirac Waves in Schwarzschild Geometry

机译：Schwarzschild几何中无质量狄拉克波的渐近行为

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In this paper, we show that massless Dirac waves in the Schwarzschild geometry decay to zero at a rate t ~(-2λ), where λ = 1, 2,... is the angular momentum. Our technique is to use Chandrasekhar's separation of variables whereby the Dirac equations split into two sets of wave equations. For the first set, we show that the wave decays as t ~(-2λ). For the second set, in general, the solutions tend to some explicit profile at the rate t ~(-2λ). The decay rate of solutions of Dirac equations is achieved by showing that the coefficient of the explicit profile is exactly zero. The key ingredients in the proof of the decay rate of solutions for the first set of wave equations are an energy estimate used to show the absence of bound states and zero energy resonance and the analysis of the spectral representation of the solutions. The proof of asymptotic behavior for the solutions of the second set of wave equations relies on careful analysis of the Green's functions for time independent Schr?dinger equations associated with these wave equations.
机译：在本文中，我们证明了Schwarzschild几何中无质量的狄拉克波以t〜（-2λ）的速率衰减为零，其中λ= 1，2，...是角动量。我们的技术是使用钱德拉塞卡（Chandrasekhar）的变量分离方法，从而使狄拉克（Dirac）方程分为两组波动方程。对于第一个集合，我们表明该波衰减为t〜（-2λ）。通常，对于第二组，解倾向于以t〜（-2λ）的速率呈现出一些明确的轮廓。通过显示显式轮廓的系数正好为零，可以实现Dirac方程解的衰减率。证明第一组波动方程解的衰减率的关键因素是能量估计，该能量估计用于显示不存在束缚态和零能量共振以及对溶液的光谱表示进行分析。第二组波动方程解的渐近行为证明依赖于格林函数对与这些波动方程相关的时间独立薛定er方程的仔细分析。

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