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The Vlasov-Fokker-Planck equation with high dimensional parametric forcing term

机译：具有高维参数强迫项的 Vlasov-Fokker-Planck 方程

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We consider the Vlasov-Fokker-Planck equation with random electric field where the random field is parametrized by countably many infinite random variables due to uncertainty. At the theoretical level, with suitable assumption on the anisotropy of the randomness, adopting the technique employed in elliptic PDEs (Cohen and DeVore in Acta Numerica 24:1-159, 2015) , we prove the best N approximation in the random space enjoys a convergence rate, which depends on the summability of the coefficients of the random variable, higher than the Monte-Carlo method. For the numerical method, based on the adaptive sparse polynomial interpolation (ASPI) method introduced in Chkifa et al. (Found Comput Math 14:601-603, 2014), we develop a residual based adaptive sparse polynomial interpolation (RASPI) method which is more efficient for multi-scale linear kinetic equation, when using numerical schemes that are time dependent and implicit. Numerical experiments show that the numerical error of the RASPI decays faster than the Monte-Carlo method and is also dimension independent.
机译：我们考虑具有随机电场的弗拉索夫-福克-普朗克方程，其中随机场由于不确定性而被可数的无限随机变量参数化。在理论层面上，在对随机性的各向异性进行适当假设的情况下，采用椭圆偏微分方程所采用的技术（Cohen and DeVore in Acta Numerica 24：1-159， 2015），我们证明了随机空间中的最佳N近似具有收敛率，该收敛率取决于随机变量系数的可求和性，高于蒙特卡洛方法。在数值方法方面，基于Chkifa等人（Found Comput Math 14：601-603， 2014）中引入的自适应稀疏多项式插值（ASPI）方法，开发了一种基于残差的自适应稀疏多项式插值（RASPI）方法，该方法在使用瞬态和隐式的数值方案时，对多尺度线性动力学方程更有效。数值实验表明，RASPI的数值误差比蒙特卡洛方法衰减得更快，并且与维数无关。

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