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【24h】

Scaling: a canonical design problem for networks

机译：扩展：网络的规范设计问题

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Motivated by decentralized-control and numerical-methods applications, we explore the scaling problem. That is, we consider the design of a diagonal matrix K so as to (i) place the eigenvalues of the product KG in the OLHP and (ii) optimize a scalar performance measure c(KG) of interest, for a square topology matrix G. We first illustrate our methodology for scaling design, which combines optimization machinery with graph-algebra notions, for a class of topology matrices and a specific performance measure. In particular, for symmetric positive definite topologies and for a dominant-eigenvalue-ratio performance measure, we find that the optimally-scaled system KG has a special structure: the right eigenvectors associated with the largest and smallest eigenvalues have corresponding entries of identical magnitude and hence differ only in sign pattern. Using this structure, we develop both explicit and algorithmic methods for computing the optimal scaling and cost. After illustrating our methodology with this example, we characterize the optimally-scaled system for several relevant cost measures and classes of topology matrices. Finally, we give some first explorations on how these methods can be extended to address the more general eigenvalue-placement problem.
机译：受分散控制和数值方法应用的推动，我们探索了缩放问题。也就是说，我们考虑对角矩阵K的设计，以便（i）将乘积KG的特征值放在OLHP中，并且（ii）针对方形拓扑矩阵G优化感兴趣的标量性能度量c（KG）首先，我们说明了缩放设计的方法，该方法将优化机制与图代数概念结合在一起，用于一类拓扑矩阵和特定的性能度量。特别是，对于对称正定拓扑和优势特征值比率性能度量，我们发现最优缩放的系统KG具有特殊的结构：与最大和最小特征值相关的右特征向量具有相同的大小和对应的项。因此仅在符号模式上有所不同。使用这种结构，我们开发了显式方法和算法方法来计算最佳缩放比例和成本。在通过该示例说明了我们的方法之后，我们针对几种相关的成本度量和拓扑矩阵类别，描述了最佳规模的系统。最后，我们对如何扩展这些方法以解决更一般的特征值放置问题进行了一些初步探索。

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