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首页> 外文期刊>Infinite dimensional analysis, quantum probability, and related topics >On product systems arising from sum systems
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On product systems arising from sum systems

机译：关于和系统产生的产品系统

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B. Tsirelson constructed an uncountable family of type III product systems of Hilbert spaces through the theory of Gaussian spaces, measure type spaces and "slightly colored noises", using techniques from probability theory. Here we take a purely functional analytic approach and try to have a better understanding of Tsireleson's construction and his examples.We prove an extension of Shale's theorem connecting symplectic group and Weyl representation. We show that the "Shale map" respects compositions (this settles an old conjecture of K. R. Parthasarathy(8)). Using this we associate a product system to a sum system. This construction includes the exponential product system of Arveson, a's a trivial case, and the type III examples of Tsirelson.By associating a von Neumann algebra to every "elementary set" in [0, 1], in a much simpler and direct way, we arrive at the invariants of the product system introduced by Tsirelson, given in terms of the sum system. Then we introduce a notion of divisibility for a sum system, and prove that the examples of Tsirelson are divisible. It is shown that only type I and type III product systems arise out of divisible sum systems. Finally, we give a sufficient condition for a divisible sum system to give rise to a unitless (type III) product system.
机译：B. Tsirelson利用概率论的技术，通过高斯空间理论，测量类型空间和“浅色噪声”，构造了不可数的希尔伯特空间III类乘积系统族。在这里，我们采用一种纯粹的函数分析方法，并试图更好地理解Tsireleson的构造及其实例。我们证明了Shale定理关于辛群和Weyl表示的扩展。我们证明“页岩图”尊重构图（这解决了K. R. Parthasarathy（8）的一个古老猜想）。使用此方法，我们将产品系统与求和系统相关联。该构造包括a的一个小例子Arveson的指数乘积系统和Tsirelson的III型示例。通过将von Neumann代数与[0，1]中的每个“初等集”相关联，可以简单得多且直接得多，我们得出了Tsirelson引入的乘积系统的不变量，以求和系统给出。然后，我们引入了求和系统的可除性概念，并证明Tsirelson的例子是可整的。结果表明，可分和系统仅产生I型和III型乘积系统。最后，我们为可分和系统提供了产生无单位（III型）乘积系统的充分条件。

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