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Note on Cubature Formulae and Designs Obtained from Group Orbits

机译：关于从群轨道获得的古巴公式和设计的说明

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摘要

In 1960, Sobolev proved that for a finite reflection group G, a G-invariant cubature formula is of degree t if and only if it is exact for all G-invariant polynomials of degree at most t. In this pa-per, we make some observations on invariant cubature formulas and Euclidean designs in connection with the Sobolev theorem. First, we give an alternative proof of theorems by Xu (1998) on necessary and sufficient conditions for the existence of cubature formulas with some strong symmetry. The newproof is shorter and simpler compared to the original one by Xu, and, moreover, gives a general in- terpretation of the analytically-written conditions of Xu's theorems. Second, we extend a theorem by Neumaier and Seidel (1988) on Euclidean designs to invariant Euclidean designs, and thereby classify tight Euclidean designs obtained from unions of the orbits of the corner vectors. This result generalizes a theorem of Bajnok (2007), which classifies tight Euclidean designs invariant under the Weyl group of type B, to other finite reflection groups.
机译：1960年，Sobolev证明，对于有限反射群G，当且仅当对于所有度为t的G不变多项式都是精确的时，一个G不变孵化公式的度数为t。在本文中，我们结合Sobolev定理，对不变的培养公式和欧几里得设计进行了观察。首先，我们给出了Xu（1998）关于存在一定对称性的公式的必要和充分条件的定理的替代证明。与Xu的原始证明相比，新的证明更短，更简单，而且，对Xu定理的分析性书写条件作了一般性的解释。其次，我们将Neumaier和Seidel（1988）关于欧几里德设计的定理扩展到不变的欧几里德设计，从而对从角向量的轨道并集获得的紧密欧几里德设计进行分类。该结果推广了Bajnok（2007）的一个定理，该定理将B型Weyl组下不变的紧欧氏设计归为其他有限反射组。

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