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【24h】

Polynomials with {0, +1, -1} coefficients and a root close to a given point

机译：系数为{0，+1，-1}且根靠近给定点的多项式

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For a fixed algebraic number alpha we discuss how closely a can be approximated by a root of a (0, +1, -1) polynomial of given degree. We show that the worst rate of approximation tends to occur for roots of unity, particularly those of small degree. For roots of unity these bounds depend on the order of vanishing, k, of the polynomial at alpha. In particular we obtain the following. Let B-N denote the set of roots of all (0, +1, -1) polynomials of degree at most N and B-N(alpha, k) the roots of those polynomials that have a root of order at most k at alpha. For a Pisot number alpha in (1,2] we show that min(beta)is an element of B-N{alpha} lpha-beta = 1/alpha(N), and for a root of unity alpha that min(beta)is an element of B-N(alpha,k){alpha} lpha-beta = 1/N(k+1[1/2 phi(d)]+1). We study in detail the case of alpha = 1, where, by far, the best approximations are real. We give fairly precise bounds on the closest real root to 1. When k = 0 or 1 we can describe the extremal polynomials explicitly.
机译：对于固定的代数数α，我们讨论给定度数的（0，+1，-1）多项式的根可以近似地接近a的程度。我们表明，对于统一根，尤其是小度数的根，趋近于最差的速率。对于统一根，这些界限取决于多项式在α处消失的顺序k。特别是，我们获得以下内容。令B-N表示所有（0，+1，-1）个多项式的度数最多为N的根的集合，而B-N（alpha，k）表示那些多项式的根数最多为k的阶的根。对于（1,2]中的Pisot数alpha，我们表明min（beta）是BN {alpha} alpha-beta = 1 / alpha（N）的元素，对于单位alpha的根，min（ beta）是BN（alpha，k） {alpha} alpha-beta = 1 / N（k + 1 [1/2 phi（d）] + 1）的元素，我们将详细研究alpha的情况= 1，其中，到目前为止，最佳逼近是实数，我们在最接近1的实根上给出相当精确的界限，当k = 0或1时，我们可以明确地描述极值多项式。

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