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Sufficient conditions for regularity and uniqueness of a 3D nematic liquid crystal model

机译：3D向列液晶模型规则性和唯一性的充分条件

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In [3], L. Berselli showed that the regularity criterion {nabla}u∈L{sup}(2q/2q-3)(0,T;L{sup}q(Ω)), for some q ∈ (3/2,+∞], implies regularity for the weak solutions of the Navier-Stokes equations, being u the velocity field. In this work, we prove that such hypothesis on the velocity gradient is also sufficient to obtain regularity for a nematic Liquid Crystal model (a coupled system of velocity u and orientation crystals vector d) when periodic boundary conditions for d are considered (without regularity hypothesis on d). For Neumann and Dirichlet cases, the same result holds only for q ∈ [2, 3], whereas for q ∈ (3/2, 2) ∪ (3,+∞] additional regularity hypothesis for d (either on {nabla}d orΔd) must be imposed. On the other hand, when the Serrin's criterion u∈L{sup}(2q/p-3)(0,T;L{sup}q(Ω)) with some p ∈ (3,+∞] ([16]) for u is imposed, we can obtain regularity of the system only in the problem of periodic boundary conditions for d. When Neumann and Dirichlet cases for d are considered, additional regularity for d must be imposed for each p ∈ (3,+∞].
机译：在[3]中，L。Berselli证明对于某些q∈（3 / 2，+∞]表示Navier-Stokes方程的弱解的正则性，即u速度场。在这项工作中，我们证明了这种关于速度梯度的假设也足以获得向列液晶的正则性当考虑到d的周期性边界条件时（在d上没有规则假设），模型（速度u与取向晶体矢量d的耦合系统）对于Neumann和Dirichlet情况，仅对q∈[2，3]成立，而对于q∈（3/2，2）∪（3，+∞），必须对d附加正则性假设（在{nabla} d或Δd上）;另一方面，当Serrin准则u∈L{sup }（2q / p-3）（0，T; L {sup} q（Ω））对于u被强加一些p∈（3，+∞]（[16]），我们只能获得系统的正则性关于d的周期性边界条件的问题。当考虑d的Neumann和Dirichlet情况时，必须为每个p∈（3，+∞]施加d的方向性。

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