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On a two-phase free boundary condition for p-harmonic measures

机译：关于p调和措施的两相自由边界条件

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Let Omega(i) subset of R-n, i is an element of {1, 2}, be two (delta, r(0))-Reifenberg flat domains, for some 0 < delta < (delta) over cap and r(0) > 0, assume Omega(1) boolean AND Omega(2) = empty set and that, for some w subset of R-n and some 0 < r, w is an element of partial derivative Omega(1) boolean AND partial derivative Omega(2), partial derivative Omega(1) boolean AND B(w, 2r) = partial derivative Omega(2) boolean AND B(w, 2r). Let p, 1 < p < infinity, be given and let u(i), i is an element of {1, 2}, denote a non-negative p-harmonic function in u(i), assume that u(i), i is an element of {1, 2}, is continuous in <(Omega)over bar>(i) boolean AND B(w, 2r) and that u(i) = 0 partial derivative Omega(i) boolean AND B(w, 2r). Extend u(i) to B(w, 2r) by defining u(i) equivalent to 0 on B(w, 2r)Omega(i). Then there exists a unique finite positive Borel measure mu(i), i is an element of {1, 2}, on R-n, with support in partial derivative Omega(i) boolean AND B(w, 2r), such that if phi is an element of C-0(infinity) (B(w, 2r)), then integral(Rn) vertical bar del u(i)vertical bar(p-2) dx = -integral(Rn) phi d mu(i). Let Delta(w, 2r) = partial derivative Omega(1) boolean AND B(w, 2r) = partial derivative Omega(2) boolean AND B(w, 2r). The main result proved in this paper is the following. Assume that mu(2) is absolutely continuous with respect to mu(1) on Delta(w, 2r), d mu(2) = kd mu(1) for mu(1)-almost every point in Delta(w, 2r) and that log k is an element of V M O(Delta(w, r), mu(1)). Then there exists (delta) over tilde = (delta) over tilde (p, n) > 0, (delta) over tilde < (delta) over cap, such that if delta <= (delta) over tilde, then Delta(w, r/2) is Reifenberg flat with vanishing constant. Moreover, the special case p = 2, i.e., the linear case and the corresponding problem for harmonic measures, has previously been studied in Kenig and Toro (J Reine Angew Math 596:1-44, 2006).
机译：设Rn的Omega（i）子集，i是{1，2}的元素，是两个（delta，r（0））-Reifenberg平坦域，对于cap上的一些0 0，假设Omega（1）布尔AND Omega（2）=空集，并且对于Rn的w个子集和0 （i）布尔AND B（w，2r）中连续，并且u（i）= 0偏导数Omega（i）布尔AND B （w，2r）。通过在B（w，2r） Omega（i）上定义等于0的u（i）将u（i）扩展到B（w，2r）。然后在Rn上存在唯一的有限正Borel测度mu（i），i是{1，2}的元素，并有偏导数Omega（i）布尔AND B（w，2r）的支持，使得如果phi是C-0（无穷大）（B（w，2r））的元素，则积分（Rn）垂直线del u（i）垂直线（p-2） dx = -integral（Rn）phi d mu（i）。设Delta（w，2r）=偏导数Omega（1）布尔AND B（w，2r）=偏导数Omega（2）布尔AND B（w，2r）。本文证明的主要结果如下。假设mu（2）相对于Delta（w，2r）上的mu（1）是绝对连续的，mu（1）的d mu（2）= kd mu（1）-Delta（w，2r）中的几乎每个点），并且log k是VMO（Delta（w，r），mu（1））的元素。然后存在代字号上的（delta）=代字号上的（delta）（p，n）> 0，代字号上的tilde上的上限的delta），从而如果代字号上的delta <=（delta），则Delta（w ，r / 2）是具有消失常数的Reifenberg平面。此外，先前已经在Kenig和Toro中研究了特殊情况p = 2，即线性情况和相应的谐波测度问题（J Reine Angew Math 596：1-44，2006）。

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