一种采用四次Bezier曲线分段构造公路三维空间线形的方法

技术领域

本发明涉及公路线形设计领域，具体涉及一种采用四次Bezier曲线分段构造公路三维空间线形的方法。

背景技术

公路线形设计的工作内容是在选线区域内克服地形、地物等限制条件确定一条能保证汽车安全行驶的空间曲线，这条空间曲线的精确解析表达式是待求的。作为公路线形的空间曲线需要同时满足汽车行驶舒适性和稳定性的工程约束和几何连续性约束。选线时，根据实地条件在选线区域空间范围内可以获得空间曲线控制点序列P_i，控制路线走向。现在的问题是，根据控制点序列P_i，寻求满足要求的空间曲线Г。根据空间几何建模原理，曲率κ和挠率τ是空间曲线Г随弧长变化的三维线形控制参数。在空间几何模型中分析汽车行驶状态，可以确定对应于不同设计速度且形式为三维线形参数的工程约束指标，具体表达为空间曲线的最大曲率κ_max、最大挠率τ_max和挠率变化值Δτ。

几何连续性约束的目标是使公路三维空间线形与汽车行驶轨迹空间几何特性相互匹配。汽车轨迹是一条连续的空间曲线，轨迹上不会出现任何折点、错头或间断，同一点也不会有两个曲率和两个曲率变化率，因此空间曲线需满足几何G2连续，即曲率变化率连续。由于线形设计过程中常需要进行局部线形修改，空间曲线的精确解析式也会随之变化，在没有统一解析形式的情况下，每一次线形的调整都是对所有参数的重新计算，计算量大且效率低。因此，即便是在工程约束和几何连续性约束等边界条件已知的情况下，也很难直接有效地得到所需的空间曲线Г。为了简化空间曲线求解过程，当前的公路线形设计才采用平纵先分离再组合的方法，将本质为三维空间曲线的公路线形拆分为平曲线和竖曲线进行设计。工程约束中的空间参数简化为平面参数，以最小圆曲线半径等作为线形控制指标；用平曲线几何连续性近似替代空间曲线的几何连续性；通过调整局部平纵线形组合，达到对设计线形局部调整的目的。存在的问题是，二维拆分设计得到的空间线形会出现空间几何连续性衰减的现象，这就意味着，二维设计得到的公路线形存在三维空间几何特性的缺陷。

公路线形设计应当回归到三维本质。实现三维设计的关键问题在于：倘若能给出一种具有统一解析表达形式的空间曲线，提高求解效率，同时由于线形上任意段的解析表达形式相同，故可以在控制点序列P_i中任意两相邻的控制点间根据约束条件构造曲线，分段设计最终得到公路线形。因此，需要针对上述情况，提出一种分段构造公路三维空间线形的方法。

发明内容

本发明的目的是针对上述现有技术的不足，提供了一种采用四次Bezier曲线分段构造公路三维空间线形的方法，所述方法能够通过给定分段控制点间空间曲线的统一解析表达形式，实现公路三维空间线形的分段设计，不需要二维拆分而直接得到公路三维空间线形的精确解析表达，同时规避了现有二维方法设计的线形在空间几何特性上的缺陷。

本发明的目的可以通过如下技术方案实现：

一种采用四次Bezier曲线分段构造公路三维空间线形的方法，所述方法包括以下步骤：

S₁：给定分段控制点P_i，其中i＝0,1,2…n，n表示分段控制点的个数，并确定对应分段插值参数t_i；

S₂：给出区间[t_i,t_i+1]上第i段四次Bezier曲线Γ_i的统一解析式；

S₃：计算各分段控制点P_i的端点特征量；

要构造四次Bezier曲线，必须先获得首末端点处切方向单位矢量d_s、d_e，曲率矢量k_s、k_e为端点条件；因此，构造全段公路三维空间线形需给出每一个分段控制点P_i的特征量切方向单位矢量d_i与曲率矢量k_i作为端点条件；

S₄：根据端点条件构造含自由度系数m_i或u_i,s的第i段四次Bezier曲线Γ_i的统一解析式，其中m_i为或时的自由度系数，m_i∈R；u_i,s为L_i,s||L_i||L_i,e时的自由度系数，u_i,s∈R；L_i为首端点P_i,s处的密切平面π_i,s与末端点P_i,e处的密切平面π_i,e的交线；L_i,s、L_i,e分别为该第i段四次Bezier曲线首末端点处的切线；

所述四次Bezier曲线Γ_i由P_i,s、P_i,1、P_i,2、P_i,3、P_i,e五个顶点确定，其中端点P_i,s、P_i,e在曲线上，与分段控制点P_i的关系为P_i,s＝P_i，P_i,e＝P_i+1；由步骤S₃得到分段控制点P_i、P_i+1及其特征量d_i、d_i+1、k_i、k_i+1，构造区间[t_i,t_i+1]上的四次Bezier曲线Γ_i的端点插值条件随之确定；根据端点P_i,s、P_i,e，端点切方向单位矢量d_i,s、d_i,e，其中d_i,s＝d_i,d_i,e＝d_i+1，曲率矢量k_i,s、k_i,e，其中k_i,s＝k_i,k_i,e＝k_i+1,k_i,s·d_i,s＝k_i,e·d_i,e＝0，求解控制多边形剩余三个顶点P_i,1、P_i,2、P_i,3完成四次Bezier曲线Γ_i的构造；

S₅：给自由度m_i或u_i,s赋值获得四次Bezier曲线Γ_i，计算Γ_i上的曲率、挠率和分段控制点处的挠率突变值；

S₆：判断曲线Γ_i是否满足工程约束要求；

如不满足，设定迭代步长，给自由度系数m_i或u_i,s、u_i,e重新赋值，返回步骤S₅；如果满足，即得到第i段四次Bezier曲线；

S₇：判断是否构造完成所有分段的线形；

得到第i段四次Bezier曲线后，判断i是否等于n，如果是，进入步骤S₈；否则令i＝i+1，返回步骤S₅构造下一个分段线形；起始时，i＝0；

S₈：输出根据控制点序列P_i分段构造的公路三维空间线形。

进一步地，所述步骤S₁中，插值参数t_i的计算方法具体为：

首先，根据修正弦长参数化法得到插值参数初始值：

且|ΔP_-1|＝|ΔP_n|＝0

其中，|ΔP_i-1|为第i-1个分段控制点到第i个分段控制点的弦长；g_i为修正弦长参数化法的修正系数；

然后，通过归一化处理，获得规范参数化[t₀,t_n]＝[0,1]：

进一步地，所述步骤S₂中，区间[t_i,t_i+1]上第i段四次Bezier曲线Γ_i的统一解析式为：P_i(s)＝B_i,0(s)P_i,s+B_i,1(s)P_i,1+B_i,2(s)P_i,2+B_i,3(s)P_i,3+B_i,e(s)P_i,e，其中，P_i,s、P_i,e为曲线首末端点，即曲线首末分段控制点，P_i,1、P_i,2与P_i,3为曲线控制多边形的另外三个顶点；s∈[0,1]；为Bernstein基函数：

进一步地，所述步骤S₃中，分段控制点切方向单位矢量d_i和曲率矢量k_i的计算通过构造分段控制点处的三次艾尔米特插值曲线来实现，三次艾尔米特插值曲线H_i(t)解析式为：

其中，l_i为H_i(t)中分段控制点P_i处的切矢量；h_i＝t_i+1-t_i；

分段控制点切方向单位矢量d_i的计算公式为：

切矢量l_i的求解方程为：

其中h_i＝t_i+1-t_i；

在空间几何Frenet标架{T,N,B}下定义曲率矢量k为：对任一空间曲线L上任一点有曲率矢量k，大小与该点空间曲率相同，方向与主法矢B方向相同，在求解出切矢量l_i后，艾尔米特插值曲线H_i(t)随之确定，根据定义，分段控制点处曲率矢量k_i计算式为：

进一步地，所述步骤S₄中，第i段四次Bezier曲线Γ_i中端点及剩余三个顶点的计算方法

具体为：

其中，l_i,s、l_i,e分别为四次Bezier曲线的控制多边形的边长模量d_i,s、d_i,e分别为四次Bezier曲线对应首末端点P_i,s、P_i,e的单位切向量，且d_i,s＝d_i，d_i,e＝d_i+1；

其中，k_i,s、k_i,e分别为四次Bezier曲线对应端点P_i,s、P_i,e的曲率矢量，且k_i,s＝k_i、k_i,e＝k_i+1；系数系数L_i,s、L_i,e分别为四次Bezier曲线端点P_i,s、P_i,e处的切线；L_i为端点P_i,s处的密切平面π_i,s和端点P_i,e处的密切平面π_i,e的交线；m_i为或时的自由度系数，m_i∈R；u_i,s为L_i,s||L_i||L_i,e时的自由度系数，u_i,s∈R；其中，m_i∈M＝{m_i∈R:m_i(k_i,e·d_i,s)>0,(P_i,e-m_i,sd_i,s,d_i,e,k_i,e)-m_i(k_i,s·d_i,e)|k_i,e|²>0}.；u_i,s在直线u_i,s(k_i,s,k_i,e,d_i,s)+u_i,e(k_i,s,k_i,e,d_i,e)＝(k_i,s,k_i,e,P_i,e-l_i,sd_i,s-l_i,ed_i,e)上随u_i,e自由变化，u_i,e∈R。

所述四次Bezier曲线的控制多边形的边长模量l_i,s，l_i,e由如下公式计算得到：

进一步地，所述步骤S₅中，结合第i段四次Bezier曲线Γ_i的统一解析式，根据微分几何原理，曲线Γ_i的曲率κ_i(s)、挠率τ_i(s)和分段控制点处的挠率突变值Δτ_i由如下公式计算：

进一步地，所述步骤S₆中，给定工程约束条件κ_max、τ_max和Δτ_max，第i段四次Bezier曲线Γ_i是否满足工程约束要求由如下公式判别：

其中，κ_max、τ_max和Δτ_max分别为由工程约束给定的曲率最大值阈值、挠率最大值阈值和挠率变化率最大值阈值，|κ_i(s)|_max为曲线Γ_i上曲率最大值；|τ_i(s)|_max为曲线Γ_i上挠率最大值。

本发明与现有技术相比，具有如下优点和有益效果：

1、本发明能够满足公路三维空间线形的各种约束条件，根据分段控制点直观地构造出满足要求的空间曲线，简化了公路线形设计的流程，规避了现有二维设计方法的空间几何特性缺陷。

2、本发明有优良的自适应性能，能够通过在分段控制点设置合理自由度参数调整插值空间曲线形状和位置，适应地形、地物限制条件，使构造出来的公路三维空间线形更科学更合理。

3、本发明给出了空间曲线的统一解析形式，各分段构造得到的公路三维空间线形具有精确的统一解析表达形式，在端点条件固定的情况下，对任意分段的曲线调整不会引起其他分段的曲线参数变化，均有良好的工程实用性。

4、本发明提供的分段构造公路三维空间线形的方法自适应性能优良、解析精确度高、工程实用性良好，具有很高的推广应用价值。

附图说明

图1为本发明采用四次Bezier曲线分段构造公路三维空间线形的方法流程图。

图2为本发明区间[t_i,t_i+1]上的四次Bezier曲线Γ_i示意图。

图3为本发明分段四次Bezier曲线端点拼接的示意图。

图4为利用本发明所述方法分段构造完成的空间线形示意图。

图5为本发明实施例具体构造完成的空间线形结果图。

具体实施方式

下面结合实施例及附图对本发明作进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。

实施例：

本实施例提供了一种采用四次Bezier曲线分段构造公路三维空间线形的方法，所述方法通过给定分段控制点间空间曲线的统一解析表达形式，实现公路三维空间线形的分段设计，具有能直接得到公路三维空间线形的精确解析表达、规避了现有二维方法所得线形的空间几何特性缺陷的特点。流程图如图1所示，包括以下步骤：

S₁：给定分段控制点序列P_i(i＝0,1,…,n)，确定对应分段插值参数t_i；

给定分段控制点序列P_i，i＝0,1,…,n，根据修正弦长参数化法对分段控制点序列进行插值参数化处理，确定对应有序控制点的插值参数t_i，使得[t₀,t_n]＝[0,1]。具体步骤如下：

首先，根据修正弦长参数化法得到插值参数初始值：：

且|ΔP_-1|＝|ΔP_n|＝0

其中：|Δp_i-1|为第i-1个分段控制点到第i个分段控制点的弦长；m_i为修正弦长参数化法的修正系数；

然后，通过归一处理，获得规范化参数[t₀,t_n]＝[0,1]：

S₂：给出区间[t_i,t_i+1]上四次Bezier曲线Γ_i的统一解析式；

如图2所示为本发明区间[t_i,t_i+1]上的四次Bezier曲线Γ_i示意图，根据Bezier曲线的定义，Γ_i是区间[t_i,t_i+1]上的四次Bezier曲线P_i(t)(i＝0,1,...,n)，P_i,s、P_i,e为曲线首末端点(分段控制点)，P_i,1、P_i,2与P_i,3为曲线控制多边形的另外三个顶点，则P_i(t)的一般形式为：

其中，是Bernstein基函数；

为使曲线表示更具一般性且形式简洁，令s∈[0,1]，则四次Bezier曲线Γ_i的一般形式为：

P_i(s)＝B_i,0(s)P_i,s+B_i,1(s)P_i,1+B_i,2(s)P_i,2+B_i,3(s)P_i,3+B_i,e(s)P_i,e；

其中，Bernstein基函数为

S₃：计算各分段控制点P_i端点特征量；

要构造四次Bezier曲线，必须先获得首末端点处切方向单位矢量d_s、d_e，曲率矢量k_s、k_e为端点条件；因此，构造全段公路三维空间线形需给出每一个分段控制点P_i(i＝0,1,...,n)的特征量切方向单位矢量d_i与曲率矢量k_i作为端点条件。

如图3所示为本发明分段四次Bezier曲线端点拼接的示意图，端点处需要满足几何连续性约束所要求的G²连续，即二阶参数连续。由微分几何相关理论，在Frenet标架{T,N,B}下空间曲线L上任一点处T为单位切矢量、N为单位副法矢、B为单位法矢，给出曲率矢量k的定义：二阶参数连续条件即为：

d_i,s＝d_i,d_i,e＝d_i+1；

k_i,s＝k_i,k_i,e＝k_i+1,k_i,s·d_i,s＝k_i,e·d_i,e＝0。

其中，d_i,s、d_i,e为四次Bezier曲线Γ_i端点切方向单位矢量；k_i,s、k_i,e为四次Bezier曲线Γ_i端点曲率矢量。

为了满足该条件，分段控制点单切方向矢量d_i和曲率矢量k_i的计算通过构造分段控制点处G²连续的三次艾尔米特插值曲线H_i(t)的方法来实现。为使曲线具有局部可调整性，对任一分段控制点P_i，仅选取五个临近的点P_j(j＝i-2,i-1,...,i+2)用于d_i的计算，中间点的导矢可经平均得到。按照分段控制点坐标和一阶导构造的三次艾尔米特(Hermite)插值曲线H_i(t)的表达式为：

其中：l_i为分段控制点P_i处的切矢量；h_i＝t_i+1-t_i。

在分段控制点处二阶参数连续，即H_i"(t_i)＝H_i+1"(t_i)，可得其连续性方程为：

λ_il_i-1+2l_i+μ_il_i+1＝C_i,i＝1,2,...,n-1

其中：是经过三点(t_i-1,P_i-1)、(t_i,P_i)、(t_i+1,P_i+1)的插值曲线在t＝t_i处的一阶导矢，等于在t_i-1、t_i、t_i+1处的一阶导矢的加权平均。

连续性方程是一个有(n+1)个未知量l_i(i＝0,1,2,...,n)的(n-1)阶方程组，添加自然边界条件：L₀"(t₀)＝L_n"(t_n)＝0，此后，有两个附加条件为：

2l₀+μ₀l₁＝C₀

λ_nl_n-1+2l_n＝C_n

因此，分段控制点P_i(i＝0,1,2,...,n)处的切矢量l_i(i＝0,1,2,...,n)可由以下完整的连续方程求得：

其中，左侧矩阵除了主三角元素外，其余元素均为0，因此解方程组的过程是稳定的。

d_i为l_i的单位矢量，可由下式计算：

在求解出l_i后，艾尔米特(Hermite)插值曲线H_i(t)随之确定，同时也确定了曲线上每一点的曲率矢量k_i(i＝0,1,…,n)。根据插值曲线H_i(t)的求得的曲率矢量k_i计算式为：

S₄：根据端点条件构造含自由度m_i或u_i,s的第i段四次Bezier曲线Γ_i；

四次Bezier曲线Γ_i由P_i,s、P_i,1、P_i,2、P_i,3、P_i,e五个顶点确定，其中端点P_i,s、P_i,e在曲线上，与分段控制点P_i的关系为P_i,s＝P_i，P_i,e＝P_i+1。由S₃得到分段控制点P_i、P_i+1及其特征量d_i、d_i+1、k_i、k_i+1，构造区间[t_i,t_i+1]的四次Bezier曲线Γ_i的端点插值条件随之确定。根据端点P_i,s、P_i,e，端点切方向单位矢量d_i,s、d_i,e(d_i,s＝d_i,d_i,e＝d_i+1)，曲率矢量k_i,s、k_i,e(k_i,s＝k_i,k_i,e＝k_i+1,k_i,s·d_i,s＝k_i,e·d_i,e＝0)，完成Γ_i的构造问题即为求解控制多边形剩余三个顶点P_i,1、P_i,2、P_i,3。

求解控制多边形剩余三个顶点P_i,1、P_i,2、P_i,3，的具体过程为：

首先需明确如下引理：

引理1：设a,b,x∈R³,|a|＝1，则方程a×x＝b当且仅当a·b＝0时可解，且方程所有解的形式为：x＝ma+b×a；

引理2：设{e_i,i＝1,2,...,n}为Rⁿ,a∈Rⁿ中的基向量，则a＝0等价于a·e_i＝0,i＝1,2,...,n。

以P_i,s、P_i,1、P_i,2、P_i,3、P_i,e为顶点的四次Bezier曲线控制多边形，有矢量ΔP_i,j：

其中：l_i,j为控制多边形的边长模量。

于是有：

同时，根据曲率矢量的定义及四次Bezier曲线性质有：

根据引理1可知，存在u_i,s与u_i,e，使得

最后，由Bezier曲线控制多边形顶点的连续约束，ΔP_i,s、ΔP_i,1、ΔP_i,2与ΔP_i,3必须满足下述条件：

ΔP_i,s+ΔP_i,1+ΔP_i,2+ΔP_i,3＝P_i,e-P_i,s(5)

即四次Bezier曲线的构造问题可解的条件为：

实际上，当u_i,s、u_i,e、l_i,s、l_i,e满足式(6)，根据式(1)、式(3)及式(4)可求出P_i,1、P_i,2、P_i,3，从而给出四次Bezier曲线构造问题的解。

接下来，以u_i,s、u_i,e、l_i,s、l_i,e为对象，从几何的角度对问题的解进行讨论。

设π_i,s、π_i,e与L_i,s、L_i,e分别为四次Bezier曲线端点处的密切平面与切线，表示为：

其中x表示相应轨迹上的动点。

对四次Bezier曲线Γ_i显然的有P_i,2∈π_i,s∩π_i,e。设L_i为π_i,s与π_i,e的交线，L_i的方向为k_i,s×k_i,e(k_i,s×k_i,e≠0)。为了找到L_i上的一点以确定L_i，需根据L_i,s、L_i,e与L_i平行的情况分为两组情形进行讨论：

(1)或

首先考虑的情形，即且d_i,s·k_i,e≠0。令p为L_i,s与L_i的交点，显然p∈L_i,s，p∈π_i,e，则存在系数m_i,s∈R使得p＝m_i,sd_i,s，(p-P_i,e)·k_i,e＝0。因此可得：

注意到L_i的方向为k_i,s×k_i,e，且P_i,2∈L_i，则必然存在自由度m_i使得：

P_i,2＝m_i,sd_i,s+m_ik_i,s×k_i,e,m_i∈R(7)

由此式结合式(2)，可得：

由引理2及式(8)，可得：

由上述过程可以得到：当且d_i,s·k_i,e≠0时，四次Bezier曲线构造的问题的解可由式(7)和(9)联合给出，且解存在一个自由度m_i：

m_i∈M＝{m_i∈R:m_i(k_i,e·d_i,s)>0,(P_i,e-m_i,sd_i,s,d_i,e,k_i,e)-m_i(k_i,s·d_i,e)|k_i,e|²>0}.

当自由度m_i在其取值范围M内变化时，四次Bezier曲线的形状也会发生相应变化，因此其可作为曲线形状的控制参数使用，在公路空间曲线设计过程中，可经过的自由度m_i迭代，自动选取最佳取值，使曲线的曲率值满足约束指标体系的要求。

对于的情况，四次Bezier曲线构造的问题可由如下公式给出：

P_i,2＝m_i,ed_i,e+m_ik_i,e×k_i,s,m_i∈R(10)

其中：

m_i∈M＝{m_i∈R:m_i(k_i,s·d_i,e)>0,(P_i,s-m_i,ed_i,e,d_i,s,k_i,s)-m_i(k_i,e·d_i,s)|k_i,s|²>0}.。

(2)L_i,s||L_i||L_i,e

在这一情形下有d_i,s||k_i,s×k_i,e||d_i,e，即d_i,s·k_i,e＝d_i,e·k_i,s＝0。此时可令式(6)分别与k_i,s、k_i,e、k_i,s×k_i,e作内积，可得：

u_i,s(k_i,s,k_i,e,d_i,s)+u_i,e(k_i,s,k_i,e,d_i,e)＝(k_i,s,k_i,e,P_i,e-l_i,sd_i,s-l_i,ed_i,e)(13)

因此，在k_i,s×k_i,e≠0且d_i,s·k_i,e＝d_i,e·k_i,s的情况下，四次Bezier构造问题有解的条件是当且仅当(P_i,e·k_i,e)(k_i,s,k_i,e,d_i,s)<0且(P_i,e·k_i,s)(k_i,s,k_i,e,d_i,e)<0。此时，l_i,s与l_i,e被式(12)唯一确定，u_i,s与u_i,e可在由式(13)确定的直线上自由变化，其同样可被用作Bezier曲线形状控制参数，通过两者的自动迭代可实现曲线曲率满足公路空间曲线设计约束指标体系的要求。

综合以上情况，可以给出第i段四次Bezier曲线Γ_i中除端点外的剩余三个顶点的计算方法为：

其中：l_i,s，l_i,e为四次Bezier曲线的控制多边形的边长模量d_i,s，d_i,e为四次Bezier曲线对应端点P_i,s，P_i,e的单位切向量，且d_i,s＝d_i，d_i,e＝d_i+1；

为避免重复计算，当和同时存在时，优先采用的情况，其中：k_i,s，k_i,e为四次Bezier曲线对应P_i,s，P_i,e的曲率矢量，且k_i,s＝k_i，k_i,e＝k_i+1；系数系数L_i,s、L_i,e分别为四次Bezier曲线端点P_i,s，P_i,e处的切线；L_i为端点P_i,s，P_i,e处的密切平面π_i,s、π_i,e的交线；m_i和u_i,s分别为对应情况下的自由度。

l_i,s，l_i,e由如下公式计算得到：

S₅：给自由度m_i或u_i,s赋值获得Γ_i，计算Γ_i上的曲率、挠率和分段控制点处的挠率突变值；

结合S₂中给出的第i段四次Bezier曲线解析式的一般形式，根据微分几何原理，曲线Γ_i的曲率κ_i(s)、挠率τ_i(s)和分段控制点处的挠率突变值Δτ_i由如下公式计算：

S₆：判断Γ_i是否满足工程约束要求；

如不满足，设定自由度m_i或u_i,s，u_i,e迭代步长，重新赋值，返回步骤S₅，如果满足，即得到第i段四次Bezier曲线；

在给定的工程约束κ_max、τ_max和Δτ_max条件，第i段四次Bezier曲线是否满足要求由如下公式判别：

其中，|κ_i(s)|_max为曲线Γ_i上曲率最大值；|τ_i(s)|_max为曲线Γ_i上挠率最大值。

S₇：判断是否构造完成所有分段的线形；

得到第i段(i＝0,1,…,n)四次Bezier曲线后，判断i是否等于n，如果是，进入S₈，否则令i＝i+1，返回S₅构造下一个分段线形。起始时，i＝0。

S₈：输出根据P_i分段构造的三维空间线形。如图4所示为本发明分段构造完成的空间线形示意图。

采用本发明在实际应用中可以在给定分段控制点和工程约束条件后，进行公路三维空间线形的构造设计。

根据上述方法，给定设计速度为80km/h时的工程约束条件为(κ_max＝0.0025，τ_max＝0.0001，Δτ＝0.0039)，以一组控制点P₀(0,100,100)、P₁(550,200,150)、P₂(1000,0,75)、P₃(1435,-200,125)、P₄(2000,250,110)为分段控制点，构建一条由四段四次Beizer曲线拼接而成的空间插值曲线见图5，如图5所示为本实施例构造完成的空间线形结果图。各分段四次Beizer曲线最大曲率κ_i(s)_max与挠率τ_i(s)_max以及各段曲线连接点处挠率突变量Δτ_i计算值见表1。

表1

由表1中数据可知，各分段四次Beizer曲线的最大曲率与连接点处挠率突变量满足给定工程约束的要求。

可以看出，本发明采用四次Beizer曲线分段构造公路三维空间线形的方法，可使最终获得的空间曲线是G²连续且满足工程约束的要求，因而该方法从理论上而言具有充分的可行性，一定程度上解决了现有方法的缺陷。

以上所述，仅为本发明专利较佳的实施例，但本发明专利的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明专利所公开的范围内，根据本发明专利的技术方案及其发明专利构思加以等同替换或改变，都属于本发明专利的保护范围。