基于协方差矩阵的非线性矢量网络分析仪测量不确定度分析方法

技术领域

本发明涉及一种非线性矢量网络分析仪测量不确定度分析方法。

背景技术

非线性矢量网络分析仪（Nonlinear Vector Network Analyzer，简称NVNA）是新一代 微波毫米波测量技术及射频功率器件非线性表征平台，其实验原型样机的诞生不足8年， 商用产品更是2008年至今由美国Agilent公司独家经营和推广，相比之下，我国对其的研 究和发展还处于起步阶段。然而，自矢量网络分析仪（VNA）和大信号网络分析仪（Large  Signal Network Analyzer，简称LSNA）以来，一直都没有完善的理论来解决这类频域测 量平台在校准和测量过程中随机和系统不确定度传播的定量计算。现有的相关研主要存在 以下问题：

1）、缺少对变量间相关性的讨论。至今为止，对于VNA测量S参数的不确定度分析 都只停留在定性的研究上，完全忽略了实际应用过程中，尤其在非线性研究背景下“多频 点、多波量、复频”测量的特点，没有针对“相同变量在不同频点间”、“不同变量间”以 及“同一变量实部虚部间”相关性做充分分析。而这些因素恰恰是保证多元变量不确定度 分析的有效性和正确性的关键。

2）、缺少针对校准和矢量修正环节的分析。由于不确定度分析理论的完善至今不20 年，加之VNA、LSNA和NVNA的相关需求也不强烈，故针对这类频域测量平台的研究 尚不深入，没有文献和成果将其校准流程引入对不确定度分析的讨论，使得不确定度，特 别是系统不确定度的传播无法有效溯源到校准标准上，更无法有效传递到有效测量值上。

3）、缺少通用的分析方法。由于VNA时代的仪器生产厂家更多地关系S参数的测量 指标，而不是用户的最终需求，因此始终没有提出来通用的方法来指导测量乃至后续应用 过程中的不确定度传播定量分析。

发明内容

本发明是为了解决现有的非线性矢量网络分析仪测量不确定度分析方法存在的有效 性和正确性差，以及通用性差的问题，从而提供一种基于协方差矩阵的非线性矢量网络分 析仪测量不确定度分析方法。

基于协方差矩阵的非线性矢量网络分析仪测量不确定度分析方法，它由以下步骤实 现：

步骤一、采用SOL标准件在第一组协方差矩阵下对非线性矢量网络分析仪测量不确 定度的进行单端口相对校准，获得相对校准结果；

步骤二、采用谐波相位参考模块和功率计在第二组协方差矩阵下和第三组协方差矩阵 下对步骤一获得的相对校准结果进行单端口绝对校准，获得绝对校准结果；

步骤三、对步骤二获得的绝对校准结果进行参数处理，并同时执行步骤四和步骤六；

步骤四、采用直通校准件在第四组协方差矩阵下对步骤三处理后的参数进行双端口未 知直通校准，获得双端口未知直通校准结果；

步骤五、对步骤四获得的双端口未知直通校准结果进行双端口测量，获得双端口测量 结果，并执行步骤七；

步骤六、对步骤三处理后的参数在第五组协方差矩阵下进行单端口测量，获得单端口 测量测量，获得单端口测量结果，并执行步骤七；

步骤七、同时对步骤五的双端口测量结果和步骤六中的单端口测量结果进行数据处 理，获得矢量网络分析仪测量不确定度分析结果。

五组协方差矩阵由五组不同的随机噪声对应获得。

每组协方差矩阵的取值方法均为：

其中：Σ_X为协方差矩阵；对于一个均值为X₀=[μ₁,μ₂,…,μ_n]′的随机噪声向量X=[X₁, X₂,…,X_n]′；

设：向量Y=[Y₁,Y₂,…,Y_m]′是由X₀附近连续可微函数组F作用向量X得到的，即 Y=F(X)，Y_j=F_j(X)，j=1,2,…,m，则F(X)在X₀附近按公式：

Y=F(X)=F(X₀)+J·(X-X₀)+…

展开；其中J为Jacobian矩阵：

用一阶近似估计Y的协方差矩阵Σ_Y为：

(∑_Y)_m×m=E[(Y-Y₀)(Y-Y₀)^T]

≈E[J(X-X₀)(J(X-X₀))^T]。

=J∑_XJ^T

Jacobian矩阵中各偏导数的求解方法是：根据实际情况选择解析推导。 或者：通过公式：

$J_{·j}=\frac{F(X_0+{\Delta }_j)-F\left(X_0\right)}{\delta }$

求解；式中：Δ_j为与X₀相同长度的向量，除第j个元素为充分小值δ外，其余元素 均为0。

在校准和测量过程中：所有复变量均按照实部和虚部拆分成两个相关的实变量进行处 理。

Jacobian矩阵转换为复变量间实部和虚部两两对应的四个子Jacobian矩阵，即：

$\frac{{\partial E}_{00}}{{\partial \Gamma }_{\mathrm{Short}}}\Rightarrow \left(\begin{array}{cc}\frac{\partial \mathrm{Re}\left(E_{00}\right)}{\partial \mathrm{Re}\left({\Gamma }_{\mathrm{Short}}\right)}& \frac{\partial \mathrm{Re}\left(E_{00}\right)}{\partial \mathrm{Im}\left({\Gamma }_{\mathrm{Short}}\right)}\\ \frac{\partial \mathrm{Im}\left(E_{00}\right)}{\partial \mathrm{Re}\left({\Gamma }_{\mathrm{Short}}\right)}& \frac{\partial \mathrm{Im}\left(E_{00}\right)}{\partial \mathrm{Im}\left({\Gamma }_{\mathrm{Short}}\right)}\end{array}\right)$

式中：

$E_{00}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(E_{00}\right)\\ \mathrm{Im}\left(E_{00}\right)\end{array}\right).$

本发明结合NVNA校准和测量的特点与非线性研究背景下“多频点、多波量、复频” 的测量需求，将能够“充分考虑变量间相关性”的基于协方差矩阵分析方法引入对NVNA 平台测量不确定度传播的定量计算。其通用性不仅保证了NVNA不确定度信息在多个环 节的溯源和传递，更能够有效地拓展到VNA和LSNA平台。非线性矢量网络分析仪测量 不确定度分析有效性和正确性均得到大幅度提高。

附图说明

图1是NVNA测量不确定度传播规律示意图；图2是NVNA测量不确定度传递与分 析流程示意图；图3是具体实施方式一中的NVNA不确定度分析结果示意图；图4是具 体实施方式一中不确定度分析结果的Monte Carlo仿真检验示意图。

具体实施方式

具体实施方式一、结合图1至图4说明本具体实施方式，基于协方差矩阵的非线性矢 量网络分析仪测量不确定度分析方法，它由以下步骤实现：

步骤一、采用SOL标准件在第一组协方差矩阵下对非线性矢量网络分析仪测量不确 定度的进行单端口相对校准，获得相对校准结果；

步骤二、采用谐波相位参考模块和功率计在第二组协方差矩阵下和第三组协方差矩阵 下对步骤一获得的相对校准结果进行单端口绝对校准，获得绝对校准结果；

步骤三、对步骤二获得的绝对校准结果进行参数处理，并同时执行步骤四和步骤六；

步骤四、采用直通校准件在第四组协方差矩阵下对步骤三处理后的参数进行双端口未 知直通校准，获得双端口未知直通校准结果；

步骤五、对步骤四获得的双端口未知直通校准结果进行双端口测量，获得双端口测量 结果，并执行步骤七；

步骤六、对步骤三处理后的参数在第五组协方差矩阵下进行单端口测量，获得单端口 测量测量，获得单端口测量结果，并执行步骤七；

步骤七、同时对步骤五的双端口测量结果和步骤六中的单端口测量结果进行数据处 理，获得矢量网络分析仪测量不确定度分析结果。

五组协方差矩阵由五组不同的随机噪声对应获得。

每组协方差矩阵的取值方法均为：

其中：Σ_X为协方差矩阵；对于一个均值为X₀=[μ₁,μ₂,…,μ_n]′的随机噪声向量X=[X₁, X₂,…,X_n]′；

设：向量Y=[Y₁,Y₂,…,Y_m]′是由X₀附近连续可微函数组F作用向量X得到的，即 Y=F(X)，Y_j=F_j(X)，j＝1,2,…,m，则F(X)在X₀附近按公式：

Y=F(X)=F(X₀)+J·(X-X₀)+…

展开；其中J为Jacobian矩阵：

用一阶近似估计Y的协方差矩阵Σ_Y为：

(∑_Y)_m×m=E[(Y-Y₀)(Y-Y₀)^T]

≈E[J(X-X₀)(J(X-X₀))^T]。

=J∑_XJ^T

Jacobian矩阵中各偏导数的求解方法是：根据实际情况选择解析推导。

或者：通过公式：

$J_{·j}=\frac{F(X_0+{\Delta }_j)-F\left(X_0\right)}{\delta }$

求解；式中：Δ_j为与X₀相同长度的向量，除第j个元素为充分小值δ外，其余元素 均为0。

在校准和测量过程中：所有复变量均按照实部和虚部拆分成两个相关的实变量进行处 理。

Jacobian矩阵转换为复变量间实部和虚部两两对应的四个子Jacobian矩阵，即：

$\frac{{\partial E}_{00}}{{\partial \Gamma }_{\mathrm{Short}}}\Rightarrow \left(\begin{array}{cc}\frac{\partial \mathrm{Re}\left(E_{00}\right)}{\partial \mathrm{Re}\left({\Gamma }_{\mathrm{Short}}\right)}& \frac{\partial \mathrm{Re}\left(E_{00}\right)}{\partial \mathrm{Im}\left({\Gamma }_{\mathrm{Short}}\right)}\\ \frac{\partial \mathrm{Im}\left(E_{00}\right)}{\partial \mathrm{Re}\left({\Gamma }_{\mathrm{Short}}\right)}& \frac{\partial \mathrm{Im}\left(E_{00}\right)}{\partial \mathrm{Im}\left({\Gamma }_{\mathrm{Short}}\right)}\end{array}\right)$

式中：

$E_{00}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(E_{00}\right)\\ \mathrm{Im}\left(E_{00}\right)\end{array}\right).$

原理：数学上，对于一个均值为X₀=[μ₁,μ₂,…,μ_n]′的随机向量X=[X₁,X₂,…,X_n]′，其 协方差矩阵Σ_X定义为：

式中主对角线上是各随机变量的方差，而非对角线上是相应两个随机变量的协方差。 因此，协方差矩阵本身不仅包含了各变量不确定度信息，还能有效反映出任意两个变量间 的相关性。

如果向量Y=[Y₁,Y₂,…,Y_m]′是由X₀附近连续可微函数组F作用向量X得到的，即 Y=F(X)，Y_j=F_j(X)，j＝1,2,…,m，则F(X)在X₀附近可按式(2)展开：

Y=F(X)=F(X₀)+J·(X-X₀)+…        (2)

其中J为Jacobian矩阵：

于是用一阶近似估计Y的协方差矩阵Σ_Y为：

(∑_Y)_m×m=E[(Y-Y₀)(Y-Y₀)^T]

≈E[J(X-X₀)(J(X-X₀))^T]

=J∑_XJ^T                          (4)

对于式(4)中的近似估计方法，只有当函数组F是线性的时候取到等号，在F是非线 性的情况下需要保证X-X₀足够小的时候才成立。关于Jacobian矩阵中各偏导数的求解， 可根据实际情况选择解析推导或者式(5)的数值方法求解。式(5)中Δ_j为与X₀相同长度的 向量，除第j个元素为充分小值δ外，其余元素均为0。

$J_{·j}=\frac{F(X_0+{\Delta }_j)-F\left(X_0\right)}{\delta }---\left(5\right)$

根据仪器平台测量和校准的原理及特点，可以分析给出以NVNA为代表的网络分析 仪测量不确定度来源和传播规律，如图1所示。首先，随机不确定度伴随原始测量值产生， 其对有效测量值的影响存在两个方面贡献：一方面通过实测过程的原始测量值——直接经 矢量修正关系传递到有效测量值；另一方面通过校准过程的原始测量值——先由校准方程 传递到误差模型系数，再经矢量修正关系传递到有效测量值。其次，系统不确定度主要来 自校准使用的标准件，先通过校准方程传递到误差模型系数，再经矢量修正关系传递到有 效测量值。

结合具体的NVNA校准流程和矢量修正关系，图2给出了基于协方差矩阵分析NVNA 测量不确定度的分析流程。

针对NVNA平台“多频点、多波量、复频”测量的特点，基于协方差矩阵的不确定 度分析基本理论需要配以如下的数据处理算法和流程：

首先，NVNA校准和测量过程涉及的误差模型系数、有效测量值等复变量需要按照 实部和虚部拆分成两个相关的实变量进行分析，如式(11)，以保证理论公式(4)的正确使用。 因此，不仅复数信息的向量形式以及相应协方差矩阵需要正确建立和处理，式(3)的 Jacobian也将变为复变量间实部和虚部两两对应的四个Jacobian，如式(12)。

$E_{00}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(E_{00}\right)\\ \mathrm{Im}\left(E_{00}\right)\end{array}\right)---\left(11\right)$

$\frac{{\partial E}_{00}}{{\partial \Gamma }_{\mathrm{Short}}}\Rightarrow \left(\begin{array}{cc}\frac{\partial \mathrm{Re}\left(E_{00}\right)}{\partial \mathrm{Re}\left({\Gamma }_{\mathrm{Short}}\right)}& \frac{\partial \mathrm{Re}\left(E_{00}\right)}{\partial \mathrm{Im}\left({\Gamma }_{\mathrm{Short}}\right)}\\ \frac{\partial \mathrm{Im}\left(E_{00}\right)}{\partial \mathrm{Re}\left({\Gamma }_{\mathrm{Short}}\right)}& \frac{\partial \mathrm{Im}\left(E_{00}\right)}{\partial \mathrm{Im}\left({\Gamma }_{\mathrm{Short}}\right)}\end{array}\right)---\left(12\right)$

其次，受到系统不确定度来源的影响，同一变量在不同频点处的取值存在高度的相关 性，因此必须将各频点处的该变量有序地添加到主向量（main vector）中，以保证分析过 程充分保留和利用它们之间的相关性。仍以误差系数e₀₀为例，其实部和虚部将分别扩展 为式(13)所示的子向量（sub-vector），作为式(11)中E₀₀的组成部分。

$\mathrm{Re}\left(E_{00}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left[e_{00}\left(f_1\right)\right]\\ \mathrm{Re}[e_{00}\left(f_2\right)\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{Re}\left[e_{00}\left(f_N\right)\right]\end{array}\right)$$\mathrm{Im}\left(E_{00}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{Im}{[e}_{00}\left(f_1\right)]\\ \mathrm{Im}\left[e_{00}\left(f_2\right)\right]\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{Im}\left[e_{00}\left(f_N\right)\right]\end{array}\right)---\left(13\right)$

不仅如此，由于e₀₀、e₁₁、Δx直接受到相同SOL校准件的系统不确定度（Σ_Short、Σ_Open、 ∑_Load）影响，并进一步传递给后续所有的物理量，NVNA测量所涉及的全部量值之间都 存在不同程度的相关性，需要将它们一并列入主向量作为整体分析。以SOL校准后的结 果为例，e₀₀、e₁₁、Δx需要同时出现在此时的主向量U_SOL中，如式(14)，其协方差矩阵对 应了图2中的Σ_SOL。

$U_{\mathrm{SOL}}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(E_{00}\right)\\ \mathrm{Im}\left(E_{00}\right)\\ \mathrm{Re}\left(E_{11}\right)\\ \mathrm{Im}\left(E_{11}\right)\\ \mathrm{Re}\left(\mathrm{\Delta X}\right)\\ \mathrm{Im}\left(\mathrm{\Delta X}\right)\end{array}\right)---\left(14\right)$

式(4)的基本理论只针对了不确定度从一组变量“直接”传递到另一组变量的一般情 况，而在NVNA测量和校准过程中，量值间却存在着“多步”的传递，使得同一个主向 量在上一环节对应“输出”，而在下一环节就将对应“输入”。再加上部分量值（e₀₀、 e₁₁、Δx）会先后出现在多个传递关系中，主向量的内容需要随着量值的传递而不断地扩 展和变化，例如从U_SOL到式(15)的U_SOL+PP和U_4-term。这其间需要特别注意的就是图2中 的“e₀₁处理”环节，将绝对校准得到的e₀₁模值和辐角信息按要求转化成相应的实部和虚 部。

$U_{4-\mathrm{term}}=\left(\begin{array}{c}{U}_{\mathrm{SOL}}\\ \mathrm{Re}\left(E_{01}\right)\\ \mathrm{Im}\left(E_{01}\right)\end{array}\right)--\left(15\right)-$

对于双端口校准，8个误差系数同样需要作为整体进行分析，全部包含在最终的主向 量中，如式(16)。尤其是在两个端口采用同一套SOL校准件的情况下，其e₀₀、e₁₁、Δx 与e₃₃、e₂₂、Δy间的相关性应得到充分重视和考虑。

$U_{8-\mathrm{term}}=\left(\begin{array}{c}{E}_{00}\\ E_{11}\\ \mathrm{\Delta X}\\ E_{01}\\ E_{33}\\ E_{22}\\ \mathrm{\Delta Y}\\ E_{32}\end{array}\right)---\left(16\right)$

最后，在提供NVNA有效测量值的不确定度结果时，仍须将所有复频信息作为整体， 如式(17)，给出相应的协方差矩阵Σ_[a1 b1]或Σ_{[a1 b1 a2 b2]}，以满足后续非线性研究的需求。

$A_1=\left(\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left[a_1\left(f_1\right)\right]\\ \mathrm{Re}\left[a_1\left(f_2\right)\right]\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{Re}\left[a_1\left(f_N\right)\right]\\ \mathrm{Im}\left[a_1\left(f_1\right)\right]\\ \mathrm{Im}\left[a_1\left(f_2\right)\right]\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{Im}\left[a_1\left(f_N\right)\right]\end{array}\right)$$B_1=\left(\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left[b_1\left(f_1\right)\right]\\ \mathrm{Re}\left[b_1\left(f_2\right)\right]\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{Re}\left[b_1\left(f_N\right)\right]\\ \mathrm{Im}\left[b_1\left(f_1\right)\right]\\ \mathrm{Im}\left[b_1\left(f_2\right)\right]\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{Im}\left[b_1\left(f_N\right)\right]\end{array}\right)$$U_{\left(\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ B_1\end{array}\right)$$U_{\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& b_1& a_2& b_2\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ B_1\\ A_2\\ B_2\end{array}\right)---\left(17\right)$

需要额外说明的是，对于随机不确定度的分析，需要根据图2进一步引入对各环节中 原始测量值协方差矩阵的讨论。同样通过校准和矢量修正方程，这些各自独立的不确定度 来源将分别传递给相应主向量的部分量值。

为验证基于协方差矩阵的NVNA测量不确定度分析方法有效性，我们在NVNA原型 样机上进行了实测和Monte Carlo仿真检验，其结果如图3和图4所示。

在充分考虑变量间相关性的情况下，时域波形在各时间点上的不确定度（标准差）曲 线具有明显的变化规律：随着时域波形进入陡峭的脉冲上升沿和下降沿，不确定度将迅速 并显著增大；而在时域波形较为平坦的区域，不确定度则维持在相对较小的水平。如果在 分析过程中始终忽略变量间的相关性，不确定度结果曲线将在整个周期内保持相对平缓的 趋势，虽然在脉冲部分显著低于前者，但是在其余部分却达到前者两倍左右。

该结果不仅与NIST对EOS系统的研究在趋势上基本一致，也比较符合对不确定度 概念的感性认知：变化剧烈的量值具有在统计学上较大的方差。由于相关性本身就是多元 变量不确定度分析过程中必须重点考虑的因素，因此图3中明显的结果对比可以充分反应 出其在NVNA测量领域的重要性和必要性。同时可以预见到，对于利用该时域波形计算 脉冲指标（如：半峰宽度）的潜在需求而言，无论是上述的不确定度曲线还是波形采样点 间的相关性，都对后续量值的不确定度正确分析起到了决定性的作用。

此外，从图4中可以看到，利用10000个样本得到的Monte Carlo仿真结果与基于协 方差矩阵的分析结果可以有效地吻合，不仅再次说明了讨论相关性的必要性，也验证了本 章所提出的基于方差矩阵的NVNA测量不确定度分析理论在算法和流程上的正确性及有 效性。