将椭圆高斯光束转化为圆形平顶光束的整形镜组设计方法

技术领域

本发明属于激光整形技术领域，具体涉及将椭圆高斯光束转化为圆形平顶 光束的整形镜组设计方法。

背景技术

激光自问世以来得到了广泛的应用。在激光医疗、材料加工、无掩模光刻、 全息等技术领域，往往需要光强分布为平顶函数的激光光束。因此，将激光光 束整形为平顶光束尤为必要。目前对激光光束平顶化整形主要有采用二元光学 元件、液晶空间光调制器、双折射透镜、基于几何光学方法设计的折射(或反射 式)透镜等方法。采用几何光学方法设计的激光光束平顶系统因其具有高能量利 用率和适用于高功率激光等优势得到了广泛的应用。

采用几何光学方法设计的激光光束平顶系统包括折射式系统和反射式系 统。反射式整形系统不受入射光波长影响，且适用于高功率激光，相比折射式 整形系统更具优势，本发明即采用反射式结构。反射式整形系统结构首先由P.H. Malyak提出，他设计的反射式整形系统只针对圆形高斯光束整形，不能对椭圆 高斯光束整形。椭圆高斯模是波动方程的精确解之一，部分准分子激光光束和 使用单片非球面准直的半导体激光光束均可近似为椭圆高斯光束。随着这类激 光器在科研和工程领域的应用，对椭圆高斯光束进行平顶化整形的需求越来越 多。

现有技术中D.L.Shealy在‘DesignandanalysisofanellipticalGaussianlaser  beamshapingsystem’一文中提出的椭圆高斯光束整形系统。该论文提供了一种 将椭圆高斯光束转化为方形平顶光束的反射式整形系统，首先利用能量守恒定 律在直角坐标系下推导了入射光束和出射光束之间的坐标关系，然后利用矢量 形式的反射定律和等光程思想推导了直角坐标系下反射系统的面形表达式，通 过数值解法和光学软件模拟，实现了将椭圆高斯光束整形为方形平顶光束。但 是该文给出的整形系统不能将椭圆高斯光束整形为圆形平顶光束，而在准分子 激光医疗、激光加工等领域亦需要光斑形状为圆形的平顶光束。

现有技术中VladimirOliker在‘Opticaldesignoffreeformtwo-mirror  beam-shapingsystems’提出的不受输入光束和输出光束对称性限制具有普遍适 用性的自由曲面双反射镜整形系统设计方法，推导出了表示反射镜面形的二次 Monge–Ampère型偏微分方程组，运用该方法将椭圆高斯光束看作矩形对称，入 射光束以矩形为孔径，使用变分法数值求解偏微分方程组，求解出两反射镜面 形数据，可以将入射光束以矩形为孔径的椭圆高斯光束转化为圆形平顶光束。 但是该方法使用变分法对二次Monge–Ampère型偏微分方程组数值求解过程非 常复杂，当精度要求较高时，运算时间更长。这种方法相比起传统的利用求解 常微分方程或积分公式求反射镜面形数据的方法，不能够利用现有数值计算软 件中的函数进行高精度的求解，加大了计算难度。

发明内容

本发明为了克服现有技术存在的缺陷，提供一种将椭圆高斯光束转化为圆 形平顶光束的反射式整形镜组设计方法。

本发明设计方法包括以下三个步骤：

第一步、求解坐标关系：

根据椭圆高斯光束的非旋转对称的光束形状，利用能量守恒定律，推导入 射椭圆高斯光束和出射圆形平顶光束在x-y平面内的坐标关系；假设入射椭圆 高斯光束和出射圆形平顶光束都平行于光轴，(r,θ)为入射椭圆高斯光束的极坐 标，为出射圆形平顶光束的极坐标；

椭圆高斯光束光强分布表达式为：

$I_{\mathrm{in}}(r,\theta )=\frac{2}{{\mathrm{\pi \omega }}_{x0}{\omega }_{y0}}\exp \{-2r^2[{\left(\frac{\cos \theta }{{\omega }_{x0}}\right)}^2+{\left(\frac{\sin \theta }{{\omega }_{y0}}\right)}^2\left]\right\}---\left(1\right)$

其中ω_x0和ω_y0分别为椭圆高斯光束x和y方向上的束腰，定义ω_y0/ω_x0＝m；为便于 后面的积分运算选择积分路径，对椭圆高斯光束的光强分布形式进行化简；将 椭圆方程的标准方程转化为如下形式:

$r(r_0,\theta )=n{r}_0/\sqrt{(n^2-1){\cos }^2\theta +1}---\left(2\right)$

其中a、b分别为椭圆的短轴半径和长轴半径，且a＝r₀,b/a＝n；

当n一定时，入射椭圆高斯光束由(r,θ)转化为(r₀,θ)表示；令n＝m，则入射 椭圆高斯光束光强分布可化简为：

$I_{\mathrm{in}}(r_0,\theta )=\frac{2}{\mathrm{\pi n}{\omega }_{x0}^2}\exp (-2\frac{r_0^2}{{\omega }_{x0}^2})---\left(3\right)$

采用匀化洛伦兹函数作为出射光强分布：

$I_{\mathrm{out}}\left(\rho \right)=\frac{1}{\pi R_{\mathrm{FL}}^2}\frac{1}{{[1+{\left(\frac{\rho }{R_{\mathrm{FL}}}\right)}^q]}^{1+\frac{2}{q}}}---\left(4\right)$

式中R_FL为出射平顶光强分布的半高宽，q为决定着匀化洛伦兹函数的形状，选 择合适的q值，可得到目标出射平顶分布；利用能量守恒定律，即坐标(r,θ)所包 含的能量等于坐标所包含的能量，可以推导出入射椭圆高斯光束和出射圆 形平顶光束之间的坐标关系为

其中ρ与r₀的关系中取正号代表系统无实焦点，取负号代表系统有实焦点；在设 计中选择代表无实焦点的坐标关系；给定入射光束各点坐标值(r₀,θ)，根据公式 (2)、(5)，采用数值解法求出入射光束各点在出射面对应点的坐标值的数值 解；

第二步、求解整形镜组面形表达式：

椭圆高斯光束准直入射到第一反射镜，光再由第一反射镜反射到第二反射 镜，光经过第一反射镜和第二反射镜组成的整形镜组，最终转化为圆形平顶光 束出射；第一反射镜和第二反射镜的面形分别在局部坐标系(x,y,z)和(X,Y,Z)中 描述，两局部坐标系均以对应反射镜的轴上中心为原点，面形方程分别为 z＝G(x,y)和Z=F(X,Y)；设局部坐标系(X,Y,Z)的原点在局部坐标系(x,y,z)中的坐 标为(X₀,Y₀,Z₀)；G(x,y)对x和y的偏导方程为

$G_x^{\prime }=-\frac{x-X-X_0}{L-Z_0}---\left(6\right)$

$G_y^{\prime }=-\frac{y-Y-Y_0}{L-Z_0}---\left(7\right)$

其中设两反射镜的中心在同一y-z平面内，则X₀＝0；对于入 射光束为椭圆高斯光束的情况依靠（6）、（7）做进一步推导，根据x＝rcosθ， y＝rsinθ，可求出G(r,θ)对r和θ的偏导；已将椭圆高斯光束 化为r₀和θ的函数，再根据式（2）求出G(r₀,θ)对r₀和θ的偏导为

最后通过积分可求出第一反射镜的面形方程为

要求出射光束准直出射，则有所有光线经过整形系统时的光程长度相等，根据 等光程长度条件，代入x＝rcosθ，y＝rsinθ，以及式(2),可 求出第二反射镜的面形方程为

将第一步由出输入坐标r₀和θ求出的对应输出坐标ρ和的数值解，一起代 入式(10)、(11)，采用数值解法求出两反射镜面形方程的数值解；

第三步、软件模拟：

将第二步中计算出的面形数据数值解输入到光学设计软件中模拟，可显示 椭圆高斯光束到圆形平顶光束的转换，实现将椭圆高斯光束转化为圆形平顶光 束的整形镜组的设计。

本发明的有益效果：本发明提出了一种将椭圆高斯光束转化为圆形平顶光 束的整形镜组设计方法，该方法将入射光束定义为椭圆形，不仅更接近椭圆高 斯光束的实际情况，还简化了计算过程；使用该方法计算整形系统面形数据时， 避免了非常复杂的数值求解偏微分方程，仅需计算积分方程，利用现有的数值 计算软件中自带的积分函数即可求得数值解，计算方便、精度高。同时，选择 适当的参数，使用该设计方法设计的整形镜组，也可以对圆形高斯光束进行平 顶化整形。

附图说明

图1：是本发明所述整形镜组示意图。

图2：是本发明所举示例入射椭圆高斯光束的光束剖面图。

图3：是本发明所举示例入射椭圆高斯光束的光强剖面图。

图4：是本发明所述输入输出光束在x-y平面的坐标关系图。

图5：是本发明所举示例入射光束发散角为零时出射圆形平顶光束的光束剖 面图。

图6：是本发明所举示例入射光束发散角为零时出射圆形平顶光束的光强剖 面图。

图7：是本发明所举示例入射光束具有实际发散角时出射圆形平顶光束的光 束剖面图。

图8：是本发明所举示例入射光束具有实际发散角时出射圆形平顶光束的光 强剖面图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步详细说明。

如图1所示，为本发明整形镜组的示意图，椭圆高斯光束准直入射到第一 反射镜，光再由第一反射镜反射到第二反射镜，光经过第一反射镜和第二反射 镜组成的整形镜组整形后，最终转化为圆形平顶光束出射。

选取美国GAMLASER公司的EX5/250ArF准分子激光器作为输入椭圆高 斯光束光源，在水平方向上的光束尺寸为3mm，束腰半径ω_x0近似为0.75mm， FWHM_x＝1mrad；在竖直方向上的光束尺寸为6mm，束腰半径ω_y0近似为1.5mm， FWHM_y＝2mrad；假设入射光束总功率为1W；按照以上数据，在光学软件中模 拟EX5/250ArF准分子激光器的光束剖面如图2所示，两正交方向上光强剖面如 图3所示。

本发明将椭圆高斯光束转化为圆形平顶光束的整形镜组设计方法，具体包 括下面步骤：

第一步、求解坐标关系；

根据椭圆高斯光束这种非旋转对称的光束形状，利用能量守恒定律，如图4 所示，推导入射椭圆高斯光束和出射圆形平顶光束在x-y平面内的坐标关系； 假设入射光椭圆高斯束和出射圆形平顶光束都平行于光轴，(r,θ)为入射椭圆高 斯光束的极坐标，为出射圆形平顶光束的极坐标；

椭圆高斯光束光强分布传统表达式为

$I_{\mathrm{in}}(r,\theta )=\frac{2}{{\mathrm{\pi \omega }}_{x0}{\omega }_{y0}}\exp \{-2r^2[{\left(\frac{\cos \theta }{{\omega }_{x0}}\right)}^2+{\left(\frac{\sin \theta }{{\omega }_{y0}}\right)}^2\left]\right\}---\left(1\right)$

其中ω_x0和ω_y0分别为EX5/250ArF准分子激光光束x和y方向上的束腰, ω_x0＝1.5mm，ω_y0＝3mm，定义ω_y0/ω_x0＝m，此处m＝2；为便于以后的积分运算选 择积分路径，对椭圆高斯光束的光强分布形式进行化简；首先将椭圆方程的标 准方程转化为如下形式

$r(r_0,\theta )=n{r}_0/\sqrt{(n^2-1){\cos }^2\theta +1}---\left(2\right)$

其中a、b别为椭圆的短轴半径和长轴半径，且a＝r₀,b/a＝n。当n一定时，入射 光束由(r,θ)转化为(r₀,θ)表示。令n＝m，此处n＝m＝2；则入射椭圆光束光强分布 可化简为

$I_{\mathrm{in}}(r_0,\theta )=\frac{2}{\mathrm{\pi n}{\omega }_{x0}^2}\exp (-2\frac{r_0^2}{{\omega }_{x0}^2})---\left(3\right)$

其中ω_x0＝1.5mm，ω_y0＝3mm，n＝2；出射平顶光强分布函数的表示方法有很多种， 为避免采用阶跃函数作为出射平顶光强分布产生的衍射效应，同时又有利于积 分计算，采用匀化洛伦兹函数作为出射光强分布：

$I_{\mathrm{out}}\left(\rho \right)=\frac{1}{\pi R_{\mathrm{FL}}^2}\frac{1}{{[1+{\left(\frac{\rho }{R_{\mathrm{FL}}}\right)}^q]}^{1+\frac{2}{q}}}---\left(4\right)$

式中R_FL为出射平顶光强分布的半高宽，q为决定着匀化洛伦兹函数的形状，选 择合适的q值，即可得到目标出射平顶分布；选取R_FL＝3mm，q＝50；利用能量 守恒定律，即坐标(r,θ)所包含的能量等于坐标所包含的能量，可以推导出 入射光束1和出射光束2之间的坐标关系为

其中ω_x0＝1.5mm，ω_y0＝3mm，n＝2，R_FL＝3mm，q＝50，r_0max＝3mm，ρ_max根据 r_0max的值利用ρ与r₀的关系式求出；ρ与r₀的关系式中取正号代表系统无实焦点， 取负号代表系统有实焦点；由于具有实焦点的整形系统有在焦点处空气击穿的 危险，在设计中选择代表无实焦点的坐标关系；给定入射光束各点坐标值(r₀,θ)， 根据公式（2）、（5），利用MATLAB或其他可数值计算的软件采用数值解法求 出入射光束各点在出射面对应点的坐标值的数值解；

第二步、求解整形镜组面形表达式：

第一反射镜和第二反射镜的面形分别在局部坐标系(x,y,z)和(X,Y,Z)中描 述，两局部坐标系均以对应反射镜的轴上中心为原点，面形方程分别为z＝G(x,y) 和Z=F(X,Y)；设局部坐标系(X,Y,Z)的原点在局部坐标系(x,y,z)中的坐标为 (X₀,Y₀,Z₀)，此例中取(X₀,Y₀,Z₀)＝(0,10,－20)，长度单位为mm。P.H.Malyak在针对 圆形高斯光束整形时推导的G(x,y)对x和y的偏导方程为

$G_x^{\prime }=-\frac{x-X-X_0}{L-Z_0}---\left(6\right)$

$G_y^{\prime }=-\frac{y-Y-Y_0}{L-Z_0}---\left(7\right)$

其中X₀＝0代表两个反射镜的中心在同一y-z平面内。对于入 射光束为椭圆高斯光束的情况依靠（6）、（7）做进一步推导，根据x＝rcosθ， y＝rsinθ，可求出G(r,θ)对r和θ的偏导。因为已将椭圆高斯 光束化为r₀和θ的函数，再根据式（2）求出G(r₀,θ)对r₀和θ的偏导为

最后通过积分可求出反射镜3的面形方程为

要求出射光束准直出射，则有所有光线经过整形系统时的光程长度相等，根据 等光程长度条件，代入x＝rcosθ，y＝rsinθ，以及式（2）, 可求出第二反射镜的面形方程为

其中n＝2，X₀＝0mm，Y₀＝10mm，Z₀＝－20mm，负号代表第二 反射镜的中心在第一反射镜中心的左侧；将第一步由出输入坐标r₀和θ求出的对 应输出坐标ρ和的数值解，一起代入式（10）、（11），利用MATLAB或其他可 数值计算的软件采用数值解法求出两反射镜面形方程的数值解，无需复杂的二 次偏微分方程组的求解，计算方便、精度高；应注意的是坐标关系（5）中的角 度坐标关系随着积分象限的改变而改变，因此数值计算过程中在式（10）、（11） 对角度的积分应随着角度坐标关系的改变而改变；

第三步、软件模拟：

将计算出的面形数据数值解输入到光学设计软件中模拟，或者先将计算出 的面形数据数值解通过机械绘图软件或者其他能实现面形拟合的软件将离散的 面形数据拟合成连续的面，在面形拟合误差足够小的情况下再输入到光学设计 软件中模拟；此例选择直接将计算出的面形数据数值解输入到ZEMAX中；由 于面形方程的数值解都是在入射光束为发散角为零的前提下计算出，入射光束 发散角为零时，模拟得到的出射圆形平顶准直光束的光束剖面图，如图5所示， 出射圆形平顶光束两正交方向上光强剖面图，如图6所示；为了增加模拟的精 确性，给入射光束加入发散角，美国GAMLASER公司的EX5/250ArF准分子 激光光束在水平和竖直方向上的发散角分别为FWHM_x＝1mrad和FWHM_y＝2mrad； 模拟得到的出射圆形平顶准直光束的光束剖面图，如图7所示，出射圆形平顶 光束两正交方向上光强剖面图，如图8所示，本发明很好的将椭圆高斯光束转 换为圆形平顶光束，而且较小的入射光束发散角对本发明的整形效果基本没有 影响。