橡胶制品的弹性响应性能的预测方法、设计方法以及弹性响应性能预测装置

技术领域

本发明涉及一种橡胶制品的弹性响应性能的预测方法、设 计方法以及弹性响应性能预测装置，特别是涉及一种使用有限 元分析法(FEA)来预测橡胶制品的弹性响应性能的方法、使用 了该预测方法的橡胶制品的设计方法以及弹性响应性能预测装 置。

背景技术

以下方法是已经经过了数十年的实例：在设计橡胶制品时， 使用三维有限元分析法(FEA)来预测其弹性响应性能，应用其 分析或者仿真结果。使用于该FEA计算中的、使橡胶材料的应 力-应变的关系反映到分析中的能量的结构方程式从线性弹性 方程式向Mooney-Rivlin方程式过渡，近来，在该能量的结构方 程式中导入了大变形区域内的非线性结构方程式。

另外，近年来，关于这些橡胶材料结构方程式，提出了以 下结构方程式：以从基于橡胶的分子链拉伸的分子统计热力学 发展出的网格变形理论为基础，能够使用具有物理意义的参数 来表示在以轮胎为代表的很多工业用橡胶材料的设计中为重要 因素的温度依赖性(日本专利4299735号公报)。

在此，下面示出该结构方程式的概要。

首先，使用剪切弹性率G和拉伸方向的拉伸比λ来如以下式 (1)那样表示橡胶的拉伸应力。

[式1]

$\sigma =2G(\lambda -\frac{1}{{\lambda }^2})···\left(1\right)$

另一方面，如以下式(2)所示，根据统计热力学使用I₁对亥 姆霍兹自由能A进行微分来计算橡胶的剪切弹性率G。

[式2]

$\frac{G}{2}=\frac{\partial A}{{\partial I}_1}···\left(2\right)$

使用以下式(3)来表示处于热力学平衡状态的系统的平均 能量

[式3]

${\bar{A}}_{\alpha }=\frac{1}{Z}\Sigma A_{\alpha }{e}^{-{\mathrm{\beta A}}_{\alpha }}=-{\left(\frac{\partial \log Z}{\partial \beta }\right)}_{\left\{V\right\}}···\left(3\right)$

在此，当k表示波尔兹曼常数、ΔT表示从高分子的玻璃化 转变温度T_g至测量温度T为止的差时，β等于1/(kΔT)。另外，A_α表示能级。Z是使系统的能量标准化的分配函数，使用以下式(4) 来表示。

[式4]

$Z=\underset{\alpha }{\Sigma }{e}^{-{\mathrm{\beta A}}_{\alpha }}=\underset{\alpha }{\Sigma }{e}^{-\beta (U_{\alpha }-{\mathrm{TS}}_{\alpha })}···\left(4\right)$

在此，如以下式(5)所示，根据统计热力学的想法，假设U_α与哈密顿算符H相等。

U_α=H(Temp,Constraints)  ···(5)

其中，哈密顿算符H被表示为规定统计热力学中的微观状 态的温度条件与限制条件的函数。

作为表示橡胶分子的温度依赖性的模型，设定低温状态与 高温状态这两个状态，在I_1a与I_1b这种应变能量场中分配r₁与r₂这种橡胶分子的状态数。此时，当使用函数表示所有状态时， 能够使用以下式(6)来表示。

[式5]

$\left(\begin{array}{c}Z=\underset{\alpha }{\Sigma }{e}^{-{\mathrm{\beta A}}_{\alpha }}=\underset{\alpha }{\Sigma }{e}^{-\beta (U_{\alpha }-{\mathrm{TS}}_{\alpha })}=e^{\mathrm{\beta TS}}(e^{-\frac{-I_{1a}-I_{1b}-\kappa }{\mathrm{k\Delta T}}}+e^{\frac{-I_{1a}+I_{1b}}{\mathrm{k\Delta T}}}+e^{\frac{I_{1a}-I_{1b}}{\mathrm{k\Delta T}}}+e^{\frac{I_{1a}+I_{1b}-\kappa }{\mathrm{k\Delta T}}})\\ ={2e}^{\mathrm{\beta TS}}[e^{\frac{\kappa }{e^{\mathrm{k\Delta T}}}}\cosh \left(\frac{I_{1a}+I_{1b}}{\mathrm{k\Delta T}}\right)+\cosh \left(\frac{I_{1a}-I_{1b}}{\mathrm{k\Delta T}}\right)]\end{array}\right)···\left(6\right)$

在此，κ表示分子的回弹能量。使用r₁=-1、r₂=1表示橡胶分 子的能量状态不同的两种状态，因此作为统计热力学平均，表 示为<r₁×r₂>。该积表示两个两极端的能量状态，在该积为+1 的情况下表示橡胶分子为同一状态，在该积为-1的情况下表示 橡胶分子为不同的状态。在此，当考虑为对所有的分子施加相 同的应变能量场时，设为I₁=I_1a=I_1b，由此能够如以下式(7)那样 表示上述式(6)。

[式6]

$Z=\underset{\alpha }{\Sigma }{e}^{-{\mathrm{\beta A}}_{\alpha }}={2e}^{\mathrm{\beta TS}}[e^{\frac{\kappa }{\mathrm{k\Delta T}}}\cosh (2\beta ·I_1)+1]···\left(7\right)$

将上述式(7)代入到上述式(3)，由此如以下式(9)那样表示 橡胶弹性率G。

[式7]

${\bar{A}}_{\alpha }=\frac{1}{Z}\Sigma A_{\alpha }{e}^{-{\mathrm{\beta A}}_{\alpha }}=-{\left(\frac{\partial \log Z}{\partial \beta }\right)}_{\left\{V\right\}}=-\frac{\partial }{\partial \beta }[e^{\frac{\kappa }{\mathrm{k\Delta T}}}\cosh (2\beta ·I_1)+1]-T·S···\left(8\right)$

$\frac{G}{2}=\frac{\partial {\bar{A}}_{\alpha }}{{\partial I}_1}=\frac{\partial U}{{\partial I}_1}-T·\frac{\partial S}{{\partial I}_1}=-\frac{\partial }{\partial \beta \partial I_1}[e^{\frac{\kappa }{\mathrm{k\Delta T}}}\cosh (2\beta ·I_1)+1]-T·\frac{\partial S}{{\partial I}_1}···\left(9\right)$

在此，在考虑分子的拉伸的情况下，使用郎之万函数如以 下式(10)那样表示上述式(9)的第二项的熵项。

[式8]

$T·\frac{\partial S}{{\partial I}_1}=-\mathrm{vRT}[\frac{1}{2}+\frac{3}{50n}({3I}_1-\frac{2}{\lambda })+\frac{297}{{6125n}^2}({{5I}_1}^2-{4I}_2-4\frac{I_1}{\lambda })]···\left(10\right)$

在此，n被定义为交联点之间的统计分子链的链节数。

这样，在日本专利4299735号公报中，提出了能够使用具有 物理意义的参数来表示温度依赖性的结构方程式。

另外，如图6所示，日本专利4299735号公报所记载的应变 能量函数(实线)能够以宽幅的拉伸比与温度区来再现实验值 (标绘点)。

发明内容

发明要解决的问题

然而，在日本专利4299735号公报所记载的应变能量函数中 存在以下问题：在低温条件下的低拉伸比区域中，实验值与理 论值偏离，因此无法高精度地预测低温条件下的橡胶制品的弹 性响应性能。

本发明是用于解决上述问题而完成的，目的在于提供一种 能够提高低温条件下的橡胶制品的弹性响应性能的预测精度的 弹性响应性能预测方法、橡胶制品设计方法以及弹性响应性能 预测装置。

用于解决问题的方案

为了达到上述目的，本发明的第一方式是，在预测表示橡 胶制品的变形行为的弹性响应性能的弹性响应性能预测方法 中，利用使用表示分子间的相互作用的参数来表示上述橡胶制 品的应变能量的温度和应变依赖性的结构方程式，来预测该橡 胶制品的弹性响应性能。

另外，本发明的第二方式是，在预测表示橡胶制品的变形 行为的弹性响应性能的弹性响应性能预测装置中，利用使用表 示分子间的相互作用的参数来表示上述橡胶制品的应变能量的 温度和应变依赖性的结构方程式，来预测该橡胶制品的弹性响 应性能。

根据本发明的第一方式和第二方式，在包括以微观级别观 察填充类橡胶时的橡胶制品的低拉伸比区域(例如，拉伸比为 100%以下)的广泛的变形区域中，利用使用表示分子间的相互 作用的参数来表示应变能量的温度和应变依赖性的结构方程 式，来预测橡胶制品的弹性响应性能。由此，能够高精度地预 测低温条件下的低拉伸比区域的弹性响应性能。由此，特别是， 对于实用上重要的由填充类的橡胶材料构成的橡胶复合制品， 使用具有物理性意义的参数来表示在很多工业用橡胶制品的设 计中重要的温度和应变依赖性，并且在低温条件下能够高精度 地预测橡胶制品的弹性响应性能。

根据本发明的第三方式，上述结构方程式为下面示出的式 (I)，

[式9]

ΔA＝(U₁-TS₁)+p(V₁-V₀)-(U₀-TS₀)… (I)

其中，A表示亥姆霍兹自由能，U₀表示没有变形的状态下 的内能，U₁表示变形状态下的内能。p表示压力，V₀表示没有 变形的状态下的体积，V₁表示变形状态下的体积，T表示绝对 温度。S₀表示没有变形的状态下的熵，S₁表示变形状态下的熵。 使用下面示出的式(II)～式(IV)来表示式(I)的各项。

[式10]

$U_1-T·S_1=\frac{e^{{\beta }^{\prime }·\kappa }\left\{\kappa \cosh ({2\beta }^{\prime }({I_1}^{\prime }-3))+2({I_1}^{\prime }-3)·\sinh \left({2\beta }^{\prime }({I_1}^{\prime }-3)\right)\right\}}{e^{{\beta }^{\prime }·\kappa }\cosh \left({2\beta }^{\prime }({I_1}^{\prime }-3)\right)+1}$

$-\frac{N}{\beta }·\{\frac{1}{2}{I}_1+\frac{3}{100n}({{3I}_1}^2-{4I}_2)+\frac{99}{12250n}({{5I}_1}^3-{12I}_1{I}_2)\}···\left(\mathrm{II}\right)$

$p(V_1-V_0)=B·(V_1-V_0)=B{({I_3}^{\frac{1}{2}}-1)}^2$

$-\frac{1}{{\beta }^{\prime }}\left\{\ln \right[1+e^{{\beta }^{\prime }·\kappa }\cosh \left({2\beta }^{\prime }({I_1}^{\prime }-3)\right)]-\ln [1+e^{{\beta }^{\prime }·\kappa }\left]\right\}···\left(\mathrm{III}\right)$

$U_0-T·S_0=\frac{\kappa ·e^{{\beta }^{\prime }·\kappa }}{e^{{\beta }^{\prime }·\kappa }+1}+\frac{N}{\beta }(\frac{3}{2}+\frac{45}{100n}+\frac{2673}{{12250n}^2})···\left(\mathrm{IV}\right)$

其中，I₁、I₂、I₃作为橡胶的三维轴上的xyz方向的变形λ₁、 λ₂、λ₃这三个拉伸比的函数，使用I₁=λ₁²+λ₂²+λ₃²、I₂=λ₁²×λ₂²+λ₂²×λ₃²+λ₃²×λ₁²、I₃=λ₁²×λ₂²×λ₃²来表示。n表示上述交联点之间 的统计分子链的链节数，κ表示分子间相互作用能量系数。当将 R设为气体常数、将T_g设为玻璃化转变温度时，β=1/RT， β’=1/R(T-T_g)。使用作为表示分子间的相互作用的参数的局部相 互作用系数λ_micro，以下面示出的式(V)来表示I₁’。

[式11]

${{\bar{I}}_1}^{\prime }={{\bar{\lambda }}_{\mathrm{micro}}}^2({{\lambda }_1}^2+{{\lambda }_2}^2+{{\lambda }_3}^2)={{\lambda }_{\mathrm{micro}}}^2·I_1···\left(v\right)$

在本发明的第四方式中，在预测表示橡胶制品的变形行为 的弹性响应性能的弹性响应性能预测方法中，利用使用表示分 子间的相互作用的参数来表示上述橡胶制品的弹性率的温度和 应变依赖性的结构方程式，来预测该橡胶制品的弹性响应性能。

在本发明的第五方式中，在预测表示橡胶制品的变形行为 的弹性响应性能的弹性响应性能预测装置中，利用使用表示分 子间的相互作用的参数来表示上述橡胶制品的弹性率的温度和 应变依赖性的结构方程式，来预测该橡胶制品的弹性响应性能。

根据本发明的第四方式和第五方式，在包括以微观级别观 察填充类橡胶时的橡胶制品的低拉伸比区域(例如，拉伸比为 100%以下)的广泛的变形区域中，利用使用表示分子间的相互 作用的参数来表示弹性率的温度和应变依赖性的结构方程式， 来预测橡胶制品的弹性响应性能。由此，能够高精度地预测低 温条件下的低拉伸比区域的弹性响应性能。由此，特别是，关 于实用上重要的由填充类的橡胶材料构成的橡胶复合制品，使 用具有物理性意义的参数来表示在很多工业用橡胶制品的设计 中重要的温度和应变依赖性，并且在低温条件下能够高精度地 预测橡胶制品的弹性响应性能。

根据本发明的第六方式，上述结构方程式为下面示出的式 (VI)。

[式12]

$G=\frac{\partial W}{{\partial I}_1}=\frac{\partial A}{{\partial I}_1}=\frac{\partial U}{{\partial I}_1}-T·\frac{\partial S}{{\partial I}_1}+\frac{\partial \mathrm{pV}}{{\partial I}_1}···\left(\mathrm{VI}\right)$

其中，G表示剪切弹性率，W表示应变能量函数，A表示亥 姆霍兹自由能。U表示内能，T表示绝对温度，S表示熵。I₁作 为橡胶的三维轴上的xyz方向的变形λ₁、λ₂、λ₃这三个拉伸比的 函数，使用I₁=λ₁²+λ₂²+λ₃²来表示。使用下面示出的式(VII)、式 (VIII)、式(IX)来表示式(VI)的各项。

[式13]

$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial U}{{\partial I}_1}\\ =\frac{-e^{{\beta }^{\prime }\kappa }\left\{{2e}^{{\beta }^{\prime }\kappa }\sinh ({2\beta }^{\prime }({I_1}^{\prime }-3))\text{cosh}\left({2\beta }^{\prime }({I_1}^{\prime }-3)\right)+2({\beta }^{\prime }\kappa +1)\sinh \left({2\beta }^{\prime }({I_1}^{\prime }-3)\right)+{4\beta }^{\prime }({I_1}^{\prime }-3)\cosh \left({2\beta }^{\prime }({I_1}^{\prime }-3)\right)+{4\beta }^{\prime }({I_1}^{\prime }-3)e^{{\beta }^{\prime }\kappa }\right\}}{\{e^{{\beta }^{\prime \kappa }}·\cosh \left({2\beta }^{\prime }({I_1}^{\prime }-3)\right)+1{\}}^2}\end{array}\right)···\left(\mathrm{VII}\right)$

$\frac{\partial S}{{\partial I}_1}=-\mathrm{vR}[\frac{1}{2}+\frac{3}{50n}({3I}_1-\frac{2}{\lambda })+\frac{297}{{6125n}^2}({{5I}_1}^2-{4I}_2-4\frac{I_1}{\lambda })]···\left(\mathrm{VIII}\right)$

$\frac{\partial \mathrm{pV}}{{\partial I}_1}=\frac{2·e^{{\beta }^{\prime }\kappa }·\cosh \left({2\beta }^{\prime }(I_1^{\prime }-3)\right)}{e^{{\beta }^{\prime }\kappa }·\cosh \left({2\beta }^{\prime }(I_1^{\prime }-3)\right)+1}···\left(\mathrm{IX}\right)$

其中，n表示交联点之间的统计分子链的链节数，κ表示分 子间相互作用能量系数，v表示交联密度，λ表示拉伸比或者压 缩比。当将R设为气体常数、将T_g设为玻璃化转变温度时， β’=1/R(T-T_g)。使用I₂=λ₁²×λ₂²+λ₂²×λ₃²+λ₃²×λ₁²来表示I₂。使用 作为表示分子间的相互作用的参数的局部相互作用系数λ_micro， 以下面示出的式(X)来表示I₁’。

[式14]

${{\bar{I}}_1}^{\prime }={{\bar{\lambda }}_{\mathrm{micro}}}^2({{\lambda }_1}^2+{{\lambda }_2}^2+{{\lambda }_3}^2)={{\lambda }_{\mathrm{micro}}}^2·I_1···\left(x\right)$

根据本发明的第七方式，使用有限元分析法来预测表示上 述橡胶制品的变形行为的弹性响应性能。

以上，通过详细说明的本发明的表示橡胶制品的应变能量 的温度和应变依赖性的结构方程式或者表示橡胶制品的弹性率 的温度和应变依赖性的结构方程式来预测该橡胶制品的弹性响 应性能。由此，经过需要的仿真、特别是经过橡胶的微观级别 的仿真，能够以微观级别来设计用于达到该橡胶制品的期望性 能的最佳橡胶材料。另外，能够提供一种有效且精度良好的有 用的橡胶制品的设计方法。

发明的效果

如以上说明的那样，根据本发明的弹性响应性能预测方法、 橡胶制品设计方法以及弹性响应性能预测装置，利用使用表示 分子间的相互作用的参数来表示应变能量的温度和应变依赖性 的结构方程式或者表示弹性率的温度和应变依赖性的结构方程 式，来预测橡胶制品的弹性响应性能。由此，得到以下效果： 能够高精度地预测低温条件下的弹性响应性能。

附图说明

图1是表示本发明的实施方式所涉及的弹性响应性能的预 测装置的概要图。

图2是用于导出本结构方程式的微结构模型的图。

图3是表示交联的丁苯橡胶的应变应力曲线的与温度依赖 性有关的预测值和实测值的图表。

图4是表示交联的丁苯橡胶在室温时的应变应力曲线的、与 能量弹性所引起的应力和熵弹性所引起的应力有关的计测值和 计算值的图表。

图5是表示交联的天然橡胶在室温时的应变应力曲线的、与 能量弹性所引起的应力和熵弹性所引起的应力有关的计测值和 计算值的图表。

图6是表示以往技术中的橡胶的应变应力曲线的与温度依 赖性有关的预测值和实测值的图表。

具体实施方式

下面，参照附图详细说明本发明的实施方式。

如图1所示，本发明的第一实施方式所涉及的执行弹性响应 性能的预测的弹性响应性能的预测装置50由计算机运算处理系 统构成，该计算机运算处理系统通过用于执行弹性响应性能预 测的弹性响应性能的预测程序来执行后述的处理。此外，这种 计算机系统例如具备CPU、ROM、RAM、硬盘、输入输出终端、 其它需要的单元等。上述弹性响应性能的预测程序预先存储于 硬盘等。

在本发明的第一实施方式的弹性响应性能的预测方法中， 使用表示构成橡胶制品的橡胶材料的应变能量的温度和应变依 赖性的结构方程式、特别是优选使用上述式(I)～(IV)来预测该橡 胶制品的弹性响应性能。

在此，说明表示橡胶材料的应变能量的温度和应变依赖性 的结构方程式的导出原理。下面，明确用于进行统计热力学计 算的微结构模型并导出基于该模型的结构方程式。

图2表示微结构模型。H_int为表示分子间或者分子内相互作 用的哈密顿算符，H_rot为表示分子旋转的哈密顿算符，H_trans为 表示分子平移的哈密顿算符。

在此，能够使用以下式(11)来示出表示该微结构模型的热 力学方程式。

[式15]

$\mathrm{\Delta A}=\mathrm{\Delta U}+\mathrm{p\Delta V}-\mathrm{T\Delta S}=f({\bar{Z}}_{\mathrm{int}},{\bar{Z}}_{\mathrm{rot}},{\bar{Z}}_{\mathrm{trans}})=g(H_{\mathrm{int}},H_{\mathrm{rot}},H_{\mathrm{trans}})···\left(11\right)$

在此，A表示亥姆霍兹自由能，U表示内能，p表示压力。 V表示体积，T表示绝对温度，S表示熵。另外，为表示分子 间或者分子内相互作用的分配函数，为表示分子旋转的分 配函数，为表示分子移动的分配函数。如以下式(12)～式(14) 那样表示与各分子运动模式对应的哈密顿算符。

[式16]

$H_{\mathrm{int>}}=(r_1+r_2)·I-\kappa ·{\delta }_{r_1,r_2}···\left(12\right)$

$H_{\mathrm{trans}}=\frac{p^2}{2·m}+(r_1+r_2)·I-\kappa ·{\delta }_{r_1,r_2}···\left(13\right)$

$H_{\mathrm{rotation}}=\frac{{p_{\theta }}^2}{2·I_M}+\frac{{p_{\phi }}^2}{2·I_M·{\sin }^2\theta }-F·a·\cos \theta ···\left(14\right)$

在此，r_l和r₂表示分子间或者分子内相互作用的两个分子的 能量状态。当设为I₁’表示上述图2的微结构模型中的分子间的 应变的不变量时，r_l和r₂与以+1或者-1表示的、I₁’所表示的变形 引起的应变能量的四个组合(-1，-1)，(+1，+1)，(+1，-1)，(-1， +1)对应。κ为表示相互作用能量的大小的系数。δ为表示相互作 用能量所干预的状态的系数，在两个分子处于相同能量状态时 成为-1。这是由于，在两个分子处于相同能量状态时，κ×δ意 味着相互作用能量相当稳定而为负的系数。另一方面，在处于 不同的能量状态的情况下，假设不产生相互作用而κ×δ变为0。 m表示分子的质量，P_θ表示相对于连结两个分子的轴的角度的、 表示分子旋转的运动量。表示相对于以连结两个分子的轴为 中心的旋转角度的分子旋转的运动量，P表示相对于质量m的分 子的运动量，I_M表示分子旋转的惯性力矩。

如以下式(15)那样表示哈密顿算符与分配函数的关系。

[式17]

$z_{\alpha }=\Sigma \left\{e^{\beta ·H_{\alpha }}\right\}···\left(15\right)$

通过将与各分子运动模式对应的哈密顿算符代入到使用上 述(15)表示的关系式，由此如以下式(16)～式(18)那样表示各个 分配函数。

[式18]

$z_{\mathrm{int}}=\Sigma \{e^{{\beta }^{\prime }·(-{I_1}^{\prime }-{I_1}^{\prime }-\kappa )}+e^{{\beta }^{\prime }·(-{I_1}^{\prime }+{I_1}^{\prime })}+e^{{\beta }^{\prime }·({I_1}^{\prime }-{I_1}^{\prime })}+e^{{\beta }^{\prime }·({I_1}^{\prime }+{I_1}^{\prime }-\kappa )}\}···\left(16\right)$

$\left(\begin{array}{c}{z}_{\mathrm{trans}}=\mathrm{\Sigma exp}\{\beta ·\left(\frac{P^2}{2m}\right)\}\\ +\Sigma \{e^{{\beta }^{\prime }·(-{I_1}^{\prime }-{I_1}^{\prime }-\kappa )}+e^{{\beta }^{\prime }·(-{I_1}^{\prime }+{I_1}^{\prime })}+e^{{\beta }^{\prime }·({I_1}^{\prime }-{I_1}^{\prime })}+e^{{\beta }^{\prime }·({I_1}^{\prime }+{I_1}^{\prime }-\kappa )}\}\end{array}\right)···\left(18\right)$

通过求解上述关系来求出以下式(19)～式(21)。

[式19]

$z_{\mathrm{int}}=2\left[e^{{\beta }^{\prime }\kappa }\cosh \right\{{2\beta }^{\prime }({I_1}^{\prime }-3)\}+1]···\left(19\right)$

$z_{\mathrm{rot}}=\frac{2·I_M}{\beta }·\frac{\sinh (\beta ·F·a)}{\beta ·F·a}···\left(20\right)$

$z_{\mathrm{trans}}=\exp \{\lambda ·\Lambda ·{\left(\frac{2\pi ·m}{\beta }\right)}^{\frac{3}{2}}\}+2\left[e^{{\beta }^{\prime }\kappa }\cosh \right\{{2\beta }^{\prime }({I_1}^{\prime }-3)\}+1]···\left(21\right)$

这些分配函数为图2示出的局部模型，因此当拉伸到分子数 N的宏观模型时，得到以下式(22)～式(24)。

[式20]

${\bar{Z}}_{\mathrm{int}}=\frac{z_{\mathrm{int}}^N}{N!}···\left(22\right)$

${\bar{Z}}_{\mathrm{rot}}=\frac{z_{\mathrm{rot}}^N}{N!}···\left(23\right)$

${\bar{Z}}_{\mathrm{trans}}=\frac{z_{\mathrm{trans}}^N}{N!}···\left(24\right)$

在此，表示分子间或者分子内相互作用的分子数N中的 拉伸分配函数，表示分子旋转的分子数N中的拉伸分配函 数，表示分子平移的分子数N中的拉伸分配函数。

另一方面，如以下式(25)～式(27)那样表示分配函数与热力 学的状态函数的关系。

[式21]

$U=-{\left(\frac{\partial \ln {\bar{Z}}_{\mathrm{int}}}{{\partial \beta }^{\prime }}\right)}_V···\left(25\right)$

$S=k·\ln \Omega \left(F\right)=\ln {\bar{Z}}_{\mathrm{rot}}-\beta ·F·a···\left(26\right)$

$\mathrm{pV}=\frac{1}{\beta }·\ln {\bar{Z}}_{\mathrm{trans}}···\left(27\right)$

在此，β表示1/RT。当将T_g设为玻璃化转变温度时，β’表示 以下式。

[式22]

$\frac{1}{R(T-T_g)}$

n表示交联点之间的统计分子链的链节数，E表示分子间相 互作用能量系数。Ω(F)表示保持分子的形态的数量，F表示变 形的分子所产生的力量，a表示统计分子的长度，k表示波尔兹 曼常数。通过将分子数N的分配函数代入到这些式，来求出上 述式(I)。于是，由橡胶的变形引起的亥姆霍兹自由能的变化被 表示为没有变形的状态与变形状态的差。

在上述式(I)中，在各项中，适用上述式(II)～(IV)。另外， 考虑局部相互作用系数λ_micro，使用上述式(V)来定义I₁’。

在本实施方式中的弹性响应性能的预测方法中，使用以上 述那样导出的式(I)～(V)表示的结构方程式来预测该橡胶制品的 弹性响应性能。

另外，在本实施方式中，使用以下式(28)来定义交联点之 间的统计分子链的数量n，并表示温度依赖性。由此，即使在应 用于拉伸结晶性橡胶的微观级别的应变-应力行为分析技术的 情况下，也能够考虑温度和应变依赖性。

[式23]

n＝Δ·(1-X_c)·exp(-ε·β）… (28)

在此，α表示统计链段运动的频率因子，ε表示统计链段运 动的活化能，X_c表示晶化率。仅在作为对象的材料示出拉伸结 晶性的情况下，以内能的变化ΔU=U₁-U₀的函数用以下式(29)来 表示X_c。

[式24]

$X_c=\left(\frac{U_1-U_0}{{\mathrm{\Delta H}}_0}\right)=\left(\frac{\mathrm{\Delta U}}{{\mathrm{\Delta H}}_0}\right)···\left(29\right)$

其中，ΔH相当于结晶融化时的融解焓。在天然橡胶的情况 下，作为ΔH，使用6MJ/m³。此外，在作为对象的材料不示出拉 伸结晶性的情况下，将X_c设为0。另外，不会由于拉伸而100% 结晶化，因而设为X_c不会变为1以上。

通过将上述式(28)、式(29)应用于式(I)，内能项U在拉伸结 晶性的橡胶中随着变形加大而示出负值(发热)。另外，熵S的分 子的拉伸现象受到拉伸结晶化引起的交联点之间的分子运动性 的限制，n的值与晶化成比例地变小，S增加。由此，得到表示 在拉伸结晶化所引起的大变形区域中观察到的分子的拉伸或者 非线性行为的结构方程式。

接着，说明第一实施方式所涉及的进行橡胶材料的变形行 为的预测时的动作。

首先，通过计算机50来生成例如作为轮胎的橡胶制品的三 维模型，三维模型数据被存储到HDD。

接着，用户操作输入输出终端来设定分析对象的三维模型。 接着，用户操作输入输出终端来设定分析处理中的分析条件。 分析条件的设定包括设定三维模型的橡胶部分的结构条件和填 充剂部分的结构条件。作为三维模型的橡胶部分的结构条件， 设定上述式(I)～(V)、式(28)的结构方程式(橡胶具有拉伸结晶化 的情况)或者式(I)～(V)、式(28)、式(29)的结构方程式(橡胶不具 有拉伸结晶化的情况)。

然后，计算机50从HDD读取所设定的分析对象的三维模型 的三维模型数据，对由读取的三维模型数据表示的三维模型的 橡胶部分和填充剂部分的结构条件附加所设定的分析条件来重 新构成三维模型数据。

接着，计算机50使用重新构成的三维模型数据，根据加载 到轮胎的车辆的负载、轮胎的内压、轮胎的滚动等，通过有限 元法对在所设定的结构条件下改变三维模型时的三维模型的应 变、内部应力分布以及三维模型整体的应力值进行分析。

接着，计算机50将通过分析求得的三维模型的应变状态、 内部应力分布以及三维模型整体的应力值显示在显示器中而结 束处理。

接着，使用作为上述结构方程式的式(I)～(V)，预测橡胶的 应变应力曲线的温度依赖性，并且使用交联的丁苯橡胶来测量 应变应力曲线的温度依赖性。将通过上述预测得到的预测值(实 线)与测量值(标绘点)进行比较。图3示出比较结果。可以说使 用式(I)～(V)得到的曲线特别是在低拉伸比区域中示出与测量值 的标绘点的良好的一致性。

另外，使用交联的丁苯橡胶，对于室温时的应变应力曲线， 计测能量弹性所引起的应力和熵弹性所引起的应力，并且进行 与上述结构方程式的式(I)、(II)相对应部分(U₁、-TS₁)的计算。 将上述计测值(标绘点)与计算值(实线)进行比较。图4示出比较 结果。可知通过式(I)、(II)的对应部分得到的曲线示出与计测值 的标绘点的良好的一致性。

另外，使用交联的天然橡胶，对于室温时的应变应力曲线， 计测能量弹性所引起的应力和熵弹性所引起的应力，并且应用 式(28)、式(29)进行与上述结构方程式的式(I)、(II)相对应部分 (U₁、-TS₁)的计算。将上述计测值(标绘点)与计算值(实线)进行 比较。图5示出比较结果。可知通过式(I)、(II)的对应部分得到 的曲线示出与计测值的标绘点的良好的一致性。由于天然橡胶 示出拉伸结晶化，因此当拉伸比为3以上时存在能量弹性变为负 的趋势。由于也良好地示出了该现象，因此可以说即使对于拉 伸结晶化也能够实现良好的模型化。

如上所述，根据第一实施方式所涉及的橡胶制品的弹性响 应性能的预测装置，在以微观级别观察填充类橡胶时的橡胶制 品的广泛的变形区域中，通过使用加入了低应变时的临接分子 的影响的局部相互作用系数λ_micro来表示应变能量的温度和应 变依赖性的结构方程式，来预测橡胶制品的弹性响应性能。由 此，能够高精度地预测低温条件下的、特别是低拉伸比区域的 弹性响应性能。

另外，定义微结构模型，加入看起来微小的相互作用的部 分的误差、特别是低变形区域的能量弹性的贡献、拉伸结晶化 这种现象，能够减少与实测值的偏离。因此，能够高精度地预 测橡胶制品的弹性响应性能。

另外，除了表示以往的橡胶弹性的熵弹性的贡献以外，特 征在于考虑能量弹性。在日本专利4299735号公报中提出的应变 能量函数也同样地考虑了能量弹性，但是没有明确地定义其微 结构模型。因此，无法表示看起来微小的相互作用的部分的误 差、特别是低变形区域的能量弹性的贡献、拉伸结晶化这种现 象。在本发明中，明确用于统计热力学计算的微结构模型，导 出基于该模型的结构方程式，由此导出不依赖于变形区域、橡 胶种类的普遍的橡胶弹性的结构方程式。

在以往的橡胶的结构方程式中，无法表现出上述图4、图5 示出的橡胶的热力学行为。在本发明中，将表现上述图4、图5 所示那样橡胶的热力学行为的结构方程式导入到以往的计算科 学仿真。由此，能够在反映了现实中使用的原材料的力学行为 的状态下进行预测计算。

另外，明确了对于使用通过统计热力学计算得到的结构方 程式来表示的应力应变曲线的温度依赖性，包括具有拉伸结晶 性的天然橡胶在内与通过实测得到的结果良好地一致。由此， 通过将所提出的结构方程式导入到有限元法的应力应变曲线， 在拉伸结晶性以及非结晶性的橡胶两者的纳米级的橡胶的应力 应变行为中，能够表示包括其弹性贡献、粘性贡献、塑性贡献 在内的行为。

接着，说明第二实施方式。

在第二实施方式中，使用表示橡胶制品的弹性率的温度和 应变依赖性的结构方程式来预测橡胶制品的弹性响应性能这一 点与第一实施方式不同。

在第二实施方式的弹性响应性能的预测方法中，将与上述 第一实施方式同样地导出的、使用上述式(VI)来表示的结构方 程式应用于橡胶的微观级别的变形行为分析技术，来预测该橡 胶制品的弹性响应性能。

使用上述式(VII)、(VIII)、(IX)来表示上述式(VI)中的各项。 其中，使用局部相互作用系数λ_micro，以上述式(X)来表示I₁’。

另外，在本实施方式中，使用上述式(28)、式(29)来定义交 联点之间的统计分子链的数量n，并表示拉伸结晶化。由此，即 使应用于拉伸结晶性橡胶的微观级别的变形行为分析技术的情 况下，也能够考虑温度和应变依赖性。

此外，第二发明的实施方式所涉及的弹性响应性能的预测 装置的其它结构和作用与第一实施方式相同，因此省略说明。

这样，根据第二实施方式所涉及的橡胶制品的弹性响应性 能的预测装置，在以微观级别观察填充类橡胶时的橡胶制品的 广泛的变形区域中，通过使用加入了低应变时的临接分子的影 响的局部相互作用系数λ_micro来表示弹性率的温度和应变依赖 性的结构方程式，来预测橡胶制品的弹性响应性能。由此，能 够高精度地预测低温条件下的、特别是低拉伸比区域的弹性响 应性能。

另外，定义微结构模型，加入看起来微小的相互作用的部 分的误差、特别是低变形区域的能量弹性的贡献、拉伸结晶化 这种现象，能够减少与实测值的偏离。因此，能够高精度地预 测橡胶制品的弹性响应性能。

日本申请2010-225985的公开整体通过参照取入到本说明 书中。

关于本说明书所记载的所有文献、专利申请以及技术标准， 各个文献、专利申请以及技术标准通过参照被取入的情况与具 体且分别记载的情况相同程度地，通过参照被取入到本说明书 中。