一种基于二维曲线预测的谐波中长期预测方法

技术领域

本发明涉及一种电网电能质量预测方法，尤其是涉及一种基于二维曲线预测 的谐波中长期预测方法。

背景技术

电能质量关系着电网的安全稳定、经济运行，随着现代电网向高可靠性和优质 供电的转变，提高电网电能质量已成为保证电力系统安全稳定运行的迫切需要。

电网电能质量一方面因非线性、大容量和冲击性强的负荷设备不断接入趋于恶 化，另一方面因其治理措施和电网不断扩建增容得到改善。同时也有一些不确定性 因素，如自然现象和电力设备及装置的自动保护及正常运行方式的改变等都对电能 质量的趋势造成了严重的干扰。

输电网作为电力系统的主要组成部分，承担着大容量的电力传输任务，其电能 质量问题影响面积大，因此对整个电网的安全至关重要。如果可以对电能质量进行 预测，分析其发展趋势，及早发现电能质量或将恶化的问题，采取相应措施予以改 善和治理，从而降低甚至避免由此造成的损失，为电网优化提供有力依据和决策支 持，具有重要的理论价值和现实意义。因此对电能质量进行预测是十分必要的，对 电能质量预测的要求也越来越高，对中长期预测也有迫切的需求。中期预测指1～ 2年以内，月或季的预测，长期预测指1～10年的月、季、年的预测。

发明内容

本发明的目的就是为了克服上述现有技术存在的缺陷而提供一种预测精度 高、抗干扰、原理简单的基于二维曲线预测的谐波中长期预测方法。

本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：

一种基于二维曲线预测的谐波中长期预测方法，该方法包括以下步骤：

1)获取预测区间内至少一个监测点在设定时间段内的历史电能质量指标数据， 并进行数据预处理，获得历史数据序列；

2)判断待预测年是否有新息值，即判断待预测年是否有已知电能质量指标数 据，若是，则执行步骤3)，若否，则对历史数据序列进行调整，并以调整后的历 史数据序列执行步骤3)；

3)根据历史数据序列，对月度量的月度发展序列进行时序曲线预测，获得待 预测年的横向预测序列

4)根据历史数据序列，对月度量的年度发展序列进行时序曲线预测，获得待 预测年的纵向预测序列

5)对横向预测序列和纵向预测序列进行加权平均，获得待预测年的二维预测 序列并添加到历史数据序列中：

$y_t^{\mathrm{hv}}=w_1{y}_t^{\mathrm{hor}}+w_2{y}_t^{\mathrm{ver}}$

式中，w₁、w₂分别横、纵向预测值的权重。

所述的设定时间段大于一年。

所述的数据预处理具体为：

对各监测点获得的电能质量指标数据进行加权平均得到预测区间的综合历史 数据序列，计算公式如下：

Y_region＝wy_point

w_i＝p_i/p_sum，i＝1，2，...，N

其中，w_i为权重向量w的第i个元素，表示第i个监测点的权重，p_i为第i个监 测点的功率，p_sum为预测区间内各监测点的总功率，Y_tegion为预测区间的综合历史 数据序列，y_point为预测区间内各监测点的电能质量指标矩阵。

所述的步骤3)具体为：

301)对待预测年的横向曲线的特征参数进行预测，所述的特征参数包括平均 标幺值ρ和最小标幺值β；

302)以时间上最接近于待预测年的年份为基准年，根据基准年的月度标幺值 序列和步骤301)预测得的特征参数获得待预测年的月度标幺值序列；

303)根据待预测年的月度标幺值序列及待预测年的新息值进行新息有名化处 理，获得横向预测值。

所述的步骤301)中，采用的特征参数预测方法包括动平均法、回归分析法或 指数平滑法。

所述的步骤302)包括：

a)对基准年的月度标幺值序列进行生成处理：

将由大到小排序后成为序列设待预测年的月度标幺值序列d_t排序后 记为排序前后序列对应的原始下标记为h_j，每年月数记为T，则有如下关系：

$1=y_{k,1}^{\left(0\right)}\ge y_{k,2}^{\left(0\right)}\ge ···\ge y_{k,T}^{\left(0\right)}>0$

$1=y_{t,1}^{*}\ge y_{t,2}^{*}\ge ···\ge y_{t,T}^{*}=\beta >0$

$y_{k,j}^{\left(0\right)}=d_{k,h_j}^{\left(0\right)},j=\mathrm{1,2},...,T$

$y_{t,j}^{*}=d_{t,h_j},j=\mathrm{1,2},...,T$

将序列相邻两项求差值得到序列和x_t，得到：

$x_{k,j}^{\left(0\right)}=y_{k,j}^{\left(0\right)}-y_{k,j+1}^{\left(0\right)}\ge 0,j=\mathrm{1,2},...,T-1$

$x_{t,j}=y_{t,j}^{*}-y_{t,j+1}^{*}\ge 0,j=\mathrm{1,2},...,T-1$

$y_{k,j}^{\left(0\right)}=1-\underset{i=1}{\overset{j-1}{\Sigma }}{x}_{k,j}^{\left(0\right)},j=2,...,T$

$y_{t,j}^{*}=1-\underset{i=1}{\overset{j-t}{\Sigma }}{x}_{t,i},j=2,...,T$

x_t，i与特征参数ρ、β的关系式为：

$\rho =\frac{1}{T}\underset{j=1}{\overset{T}{\Sigma }}{y}_{t,j}^{*}=\frac{1}{T}\underset{j=1}{\overset{T}{\Sigma }}(1-\underset{i=1}{\overset{j-1}{\Sigma }}{x}_{t,i})=\frac{1}{T}(T-\underset{j=1}{\overset{T}{\Sigma }}\underset{i=1}{\overset{j-1}{\Sigma }}{x}_{t,i})=\frac{1}{T}[T-\underset{i=1}{\overset{T-1}{\Sigma }}(T-i)x_{t,i}]$

$\beta =y_T=1-\underset{i=1}{\overset{T-1}{\Sigma }}{x}_{t,i};$

b)建立数学模型：

$\left(\begin{array}{c}\min z=\frac{1}{2}{(x-x^{\left(0\right)})}^T(x-x^{\left(0\right)})\\ s.t.\mathrm{Ax}=b\\ x\ge 0\\ \end{array}\right)$

其中，$x^{\left(0\right)}=\left(\begin{array}{c}{x}_{k,1}^{\left(0\right)}\\ .\\ .\\ .\\ x_{k,T-1}^{\left(0\right)}\end{array}\right),$$x=\left(\begin{array}{c}{x}_{t,1}\\ .\\ .\\ .\\ x_{t,T-1}\end{array}\right),$$A=\left(\begin{array}{cccc}T-1& T-2& ...& 1\\ 1& 1& ...& 1\end{array}\right),$$b=\left(\begin{array}{c}T(1-\rho )\\ 1-\beta \end{array}\right);$

c)对步骤b)中的数学模型进行迭代求解，迭代求解过程具体为：

c1)引入拉格朗日乘子w^T＝[w₁，w₂，…，w_T-1]和v^T＝[v₁，v₂]，并记W₀＝diag{w_i}， 则W₀e＝w，e^T＝[1，1，...，1]；置初值W₀＝0，迭代次数q＝1，给定收敛条件ε(ε＞0)；

c2)计算v：v＝(AA^T)^-1□[b-A(x⁽⁰⁾+W₀e)]；

c3)计算x^(*)＝x⁽⁰⁾+W₀e+A^Tv，判断x^(*)中各分量若 则置w_i＝0；否则，令由此得x^(*)、W₀；

c4)判断||Ax^(*)||₂/||b||₂＜ε是否成立，若是，则停止迭代，得最优解x^(*)；若否， 则置q＝q+1，返回步骤c2)；

d)对步骤c)获得的最优解x^(*)进行逆生成处理：

首先进行逆差数处理，获得序列其中

$y_{t,1}^{*}=1.0$

$y_{t,i+1}^{*}=y_{t,i}^{*}-x_{t,i}^{(*)},i=\mathrm{1,2},...,T-1$

对进行逆排序获得序列d_t，即

所述的步骤303)中，新息有名化处理具体为：

设待预测年的前m个月的电能质量指标数据已知，即待预测年的新息值序列为 {y_t，1，y_t，2…，y_t，m}，则待预测年剩余月份的横向预测值为

$y_{t,j}^{\mathrm{hor}}=y_{t,k}\frac{d_{t,j}}{d_{t,k}},j=m+1,m+2,...,T$

其中，d_t，j、d_t，k分别为待预测年j月、k月的标幺值，y_t，k满足{y_t，k|min(v^(k))}， v^(k)的计算公式如下

$v^{\left(k\right)}=\frac{1}{m}\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{({\hat{y}}_{t,j}^{\left(k\right)}-y_{t,j})}^2$

${\hat{y}}_{t,j}^{\left(k\right)}=y_{t,k}\frac{d_{t,j}}{d_{t,k}},k,j=\mathrm{1,2},...,m$

由此得到待预测年的横向预测序列

所述的步骤4)中，当已知年度发展序列大于三个值时，纵向预测值与横向预 测值的计算方法相同。

所述的步骤4)中，当已知年度发展序列仅有两个值时，采用增长比例法计算 纵向预测值，其公式如下：

$y_{t,j}^{\mathrm{ver}}=y_{t-1,j}\frac{y_{t,k}}{y_{t-1,k}}$

其中，k＝1，2，…，m，j＝m+1，m+2，…，T。

所述的步骤5)中，横、纵向预测值的权重w₁、w₂满足

$J(w_1,w_2)=\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}{[z_i-(w_1{y}_{t,i}^{\mathrm{hor}}+w_2{y}_{t,i}^{\mathrm{ver}})]}^2$

其中，z_i为第i个月的真实值，为序列中第i个元素，为序列中 第i个元素。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

①本发明方法采用了谐波监测点的月度量95％概率大值进行预测，由此削弱 了谐波随机性因素对预测结果的不良影响。

②本发明方法采用谐波区间综合值进行预测，削弱了各个监测点随机变化产 生的影响。

③本发明方法综合考虑了谐波月度量同年逐月(月度发展趋势，也即横向趋 势)和历年同期(年度发展趋势，即纵向发展趋势)二维发展的趋势，借鉴了负荷 预测的方法。因月度量双向趋势构成了其空间网状的发展关系，各月度量处在空间 网状综合发展趋势的交叉点上，故预测时兼顾二者即充分利用了其自然规律。月度 量的年度发展序列点间的间隔为1年，体现了其在社会发展水平不断提高的大背景 下的发展变化规律；而其月度发展序列点间的间隔是1个月，体现了其随季节变化 的规律。本发明采用曲线预测的方法分别利用这两种规律对其进行预测，根据求取 的权重将双向预测值进行加权平均得到二维预测结果。

④本发明方法可准确给出电能质量的发展趋势，原理简单。

附图说明

图1为本发明校正序列的原理示意图；

图2为本发明的流程示意图；

图3为本发明标幺曲线模型求解过程示意图；

图4为本发明方法与横向、纵向单独预测方法的误差对比图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。本实施例以本发明技术方 案为前提进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范 围不限于下述的实施例。

一种基于二维曲线预测的谐波中长期预测方法，为谐波治理、预防电能质量恶 化提供有力依据。该方法以谐波的监测数据为基础兼顾其历年同期发展趋势(年度 发展趋势)和同年逐月发展趋势(月度发展趋势)进行二维预测。首先针对谐波年 度发展序列和月度发展序列分别进行预测，然后根据最小二乘理论求取权重，最后 分别对年度趋势和月度趋势预测值进行加权平均得到二维预测结果。

该方法基于正态分布模型理论。最小二乘法是确定预测模型函数表达式未知参 数的常用方法。其模型为：

$J\left(w\right)=(z-\hat{z}){(z-\hat{z})}^T=(z-\mathrm{wY}){(z-\mathrm{wY})}^T---\left(1\right)$

aw^T＝1   (2)

1≥w≥0   (3)

其中，z，a，Y为已知量，w是未知量。该模型是有约束的线性最小 二乘问题。在数据量较小的情况下，可以采用迭代法。

进行预测时，若待预测年没有已知的电能质量指标数据，即原始序列不符合预 测条件的，需要调整。针对本发明方法预测新息有名化步骤提出了校正序列的概念， 调整原始序列使其符合预测方法要求以方便该步骤的实现。

已知序列为y_j＝[y_i，1y_i，2…y_i，T]，i＝1，2，…，t-1(t≥2)。预测序列为：y_t＝[y_t，1y_t，2…y_t，T]， 其中y_t，k(k＝1，2，...，m)已知。原始序列起始月份分别为：1月和12月，即年的自然划 分。当已知两年及以上的数据(即t≥2)且待预测年没有新息值(即m＝0)时， 需先调整序列，重新确定起止月份，使m≠0，从而得到一个新序列，称为校正序列， 其示意图如图1所示。

本发明方法的主要步骤是横纵向二维曲线预测模型的建立和求解以及权重的 求取。曲线预测模型主要采用现有的日负荷曲线预测模型的建立和求解方法得到， 再根据具体情况进行有名化。由于电能质量的指标量存在以年为周期变化的特征， 故所需要数据最少应为一年的电能质量指标值。如下先介绍已知一年以上历史数据 的预测过程。

如图2所示，本发明的基于二维曲线预测的谐波中长期预测方法包括以下步 骤：

1)获取预测区间内至少一个监测点在设定时间段(大于一年)内的历史电能 质量指标数据，并进行数据预处理，获得历史数据序列；

2)判断待预测年是否有新息值，若是，则执行步骤3)，若否，则对历史数据 序列进行调整，并以调整后的历史数据序列执行步骤3)；

3)根据历史数据序列，对月度量的月度发展序列进行时序曲线预测，获得待 预测年的横向预测序列

4)根据历史数据序列，对月度量的年度发展序列进行时序曲线预测，获得待 预测年的纵向预测序列

5)对横向预测序列和纵向预测序列进行加权平均，获得待预测年的二维预测 序列并添加到历史数据序列中：

$y_t^{\mathrm{hv}}=w_1{y}_t^{\mathrm{hor}}+w_2{y}_t^{\mathrm{ver}}$

式中，w₁、w₂分别横、纵向预测值的权重。

以下对本方法进行具体介绍。

1横纵向曲线预测

对月度量的月度发展序列进行时序曲线预测，即对序列的整体趋势进行预测， 称为横向预测。对月度量的年度发展序列进行时序曲线预测，称为纵向预测。横纵 向预测均采用曲线预测的方法。主要以横向曲线预测的过程进行介绍。由于谐波的 指标量存在以年为周期变化的特征，故可以认为其标幺曲线各年基本一致。

1.1数据预处理

如果进行区间综合电能质量预测，需要对原始数据进行如下步骤的预处理。单 监测点进行预测时不需要进行此步骤。

因各电能质量监测点对区间的影响与其功率与总功率的比例呈正相关。故根据 监测点的功率占总功率的比例将预测区间的各监测点数据进行加权平均得到区间 综合电能质量曲线。对各监测点获得的电能质量指标数据进行加权平均得到预测区 间的综合历史数据序列，计算公式如下：

Y_region＝wy_point   (4)

w_i＝p_i/p_sum，i＝1，2，...，N   (5)

其中，w_i为权重向量w的第i个元素，表示第i个监测点的权重，p_i为第i个监 测点的功率，p_sum为预测区间内各监测点的总功率，Y_region为预测区间的综合历史 数据序列，y_point为预测区间内各监测点的电能质量指标矩阵。区间数据较单点数据 而言，随机因素得到削弱，规律性增强。以区间综合电能质量数据进行预测可提高 预测的准确度。

1.2曲线预测

曲线预测分为两步：曲线特征参数预测和标幺曲线预测。其横向预测结果为月 度量的横向标幺曲线。

(1)曲线特征参数的预测

曲线特征参数的预测可以采用动平均法，回归分析，指数平滑法等。这里采用 动平均法得到待预测年特征参数平均标幺值ρ和最小标幺值β(0＜β＜ρ＜1)。

令T＝12(即每年的月数)，首先以每年横向序列的最大值y_0，i对y_i(i＝1，2，…，t-1) 进行标幺化，得到相应的年标幺曲线d_i(i＝1，2，…，t-1)，则有如下关系：

$y_{0,i}=\underset{1\le j\le T}{\max }{y}_{t,j}---\left(7\right)$

d_t，j＝y_i，j/y_0，i，j＝1，2，…，T   (8)

月度发展序列标幺曲线的主要特征参数平均标幺值ρ和最小标幺值β可以反 映曲线的特点和形状，其变化基本反映了月度发展序列曲线的变化。已知t-1年的 曲线，其平均标幺值和最小标幺值分别为ρ_i和β_i(i＝1，2，…，t-1)。

${\rho }_i=\frac{1}{T}\underset{j-1}{\overset{T}{\Sigma }}{d}_{i,j}---\left(9\right)$

${\beta }_i=\underset{1\le j\le T}{\min }{d}_{i,j}---\left(10\right)$

曲线特征参数的预测可以采用动平均法，回归分析，指数平滑法等。这里采用 动平均法。则预测待预测年的月度发展序列曲线的特征参数分别为：

$\hat{\rho }=\frac{1}{t-1}\underset{i=1}{\overset{t-1}{\Sigma }}{\rho }_i---\left(11\right)$

$\hat{\beta }=\frac{1}{t-1}\underset{i=1}{\overset{t-1}{\Sigma }}{\beta }_i---\left(12\right)$

(2)标幺曲线预测

标幺曲线预测首先要确定基准曲线。可以选择历史各年曲线作综合分析比较， 如加权综合(近大远小原则)，确定代表曲线。也可以选择具有典型性的某年实际 曲线作为基准曲线。本发明采用时间上最接近于待预测年的某年区间综合谐波曲线 作为基准曲线。依据现有的日负荷曲线预测模型的建立和求解方法得到待预测年的 电能质量标幺曲线。

假设已知基准年月度发展序列曲线标幺值序列为和待预测年 特征参数ρ，β(0＜β＜ρ＜1)(由上步预测得到)的情况下进行该年曲线的预测。假 设待预测年曲线标幺值序列d_t，j与有相似的形状。

①原始数据生成处理

为了弱化原始数据的随机性，并为建立数学模型提供中间信息，引进灰色系统 的思想，对原始数据进行生成处理：

a.排序处理

将由大到小排序后成为序列设待预测年的月度标幺值序列d_i排序后 记为排序前后序列对应的原始下标记为h_j，每年月数记为T，T＝12，则有如 下关系：

$1=y_{k,1}^{\left(0\right)}\ge y_{k,2}^{\left(0\right)}\ge ···\ge y_{k,T}^{\left(0\right)}>0---\left(13\right)$

$1=y_{t,1}^{*}\ge y_{t,2}^{*}\ge ···\ge y_{t,T}^{*}=\beta >0---\left(14\right)$

$y_{k,j}^{\left(0\right)}=d_{k,h_j}^{\left(0\right)},j=\mathrm{1,2},...,T---\left(15\right)$

$y_{t,j}^{*}=d_{t,h_j},j=\mathrm{1,2},...,T---\left(16\right)$

b.差数处理

将序列相邻两项求差值得到序列和x_t，得到：

$x_{k,j}^{\left(0\right)}=y_{k,j}^{\left(0\right)}-y_{k,j+1}^{\left(0\right)}\ge 0,j=\mathrm{1,2},...,T-1---\left(17\right)$

$x_{t,j}=y_{t,j}^{*}-y_{t,j+1}^{*}\ge 0,j=\mathrm{1,2},...,T-1---\left(18\right)$

$y_{k,j}^{\left(0\right)}=1-\underset{i=1}{\overset{j-1}{\Sigma }}{x}_{k,t}^{\left(0\right)},j=2,...,T---\left(19\right)$

$y_{t,j}^{*}=1-\underset{i=1}{\overset{j-1}{\Sigma }}{x}_{t,i},j=2,...,T---\left(20\right)$

x_t，i与特征参数ρ、β的关系式为：

$\rho =\frac{1}{T}\underset{j=1}{\overset{T}{\Sigma }}{y}_{t,j}^{*}=\frac{1}{T}\underset{j=1}{\overset{T}{\Sigma }}(1-\underset{i=1}{\overset{j-1}{\Sigma }}{x}_{t,i})=\frac{1}{T}(T-\underset{j=1}{\overset{T}{\Sigma }}\underset{i=1}{\overset{j-1}{\Sigma }}{x}_{t,i})=\frac{1}{T}[T-\underset{i=1}{\overset{T-1}{\Sigma }}(T-i)x_{t,j}]---\left(21\right)$

$\beta =y_T=1-\underset{i=1}{\overset{T-1}{\Sigma }}{x}_{t,i}---\left(22\right)$

②数学模型

通过生成处理，问题转化为使序列x_t与的差别尽可能小，则数学模型为：

$\min z=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{T-1}{\Sigma }}{(x_{t,i}-x_{k,i}^{\left(0\right)})}^2---\left(23\right)$

$s.t.\underset{i=1}{\overset{T-1}{\Sigma }}(T-i)x_{t,i}=T(1-\rho )---\left(24\right)$

$\underset{i=1}{\overset{T-1}{\Sigma }}{x}_{t,i}=1-\beta ---\left(25\right)$

x_t，i≥0，i＝1，2，…，T-1   (26)

令$x^{\left(0\right)}=\left(\begin{array}{c}{x}_{k,1}^{\left(0\right)}\\ .\\ .\\ .\\ x_{k,T-1}^{\left(0\right)}\end{array}\right),$$x=\left(\begin{array}{c}{x}_{t,1}\\ .\\ .\\ .\\ x_{t,T-1}\end{array}\right),$$A=\left(\begin{array}{cccc}T-1& T-2& ...& 1\\ 1& 1& ...& 1\end{array}\right),$$b=\left(\begin{array}{c}T(1-\rho )\\ 1-\beta \end{array}\right),$则问题的矩阵 形式为：

$\min z=\frac{1}{2}{(x-x^{\left(0\right)})}^T(x-x^{\left(0\right)})---\left(27\right)$

s.t.Ax＝b   (28)

x≥0   (29)

③模型求解

该模型是一个典型的二次规划问题，可以采用二次规划的求解方法。鉴于此问 题有如下的特点：目标函数的海森矩阵为单位矩阵，等式约束为线性约束。则简洁 求解方法如下。

引入拉格朗日乘子w^T＝[w₁，w₂，…，w_T-1]和v^T＝[v₁，v₂]，并记W₀＝diag{w_i}，令 e^T＝[1，1，…，1]，则

W₀e＝w   (30)

建立如下的拉格朗日函数：

$L(x,W_0,v)=\frac{1}{2}{(x-x^{\left(0\right)})}^T(x-x^{\left(0\right)})-{\left(W_{0}e\right)}^{T}x-v^T(\mathrm{Ax}-b)---\left(31\right)$

二次规划作为凸规划的特例，K-T条件作为充分必要条件，可表述为，在最优 点x^(*)处：

x^(*)-x⁽⁰⁾-W₀e-A^Tv＝0   (32)

Ax^(*)-b＝0   (33)

W₀x^(*)＝0   (34)

x^(*)≥0，W₀≥0   (35)

由上述可得：

v＝(AA^T)^-1□[b-A(x⁽⁰⁾+W₀e)]   (36)

其中(AA^T)^-1为常数矩阵。

如图3所示，模型的迭代求解过程为：

a.置初值W₀＝0，迭代次数q＝1，给定收敛条件ε(ε＞0)；

b.根据公式(36)计算v；

c.计算x^(*)＝x⁽⁰⁾+W₀e+A^Tv，判断x^(*)中各分量若则置w_i＝0；否则，令由此得x^(*)W₀；

d.判断(33)式是否成立，转化为判断收敛条件||Ax^(*)||₂/||b||₂＜ε是否成立，若是， 则停止迭代，得最优解x^(*)；若否，则置q＝q+1，返回步骤a。

④结果的逆生成处理

a.逆差数处理

$y_{t,1}^{*}=1.0---\left(37\right)$

$y_{t,i+1}^{*}=y_{t,i}^{*}-x_{t,i}^{(*)},i=\mathrm{1,2},...,T-1---\left(38\right)$

b.逆排序处理

$d_{t,h_j}=y_{t,j}^{*}---\left(39\right)$

1.3新息有名化

根据待预测年的已知月份(1～m月)的值，即新息值进行最小方差估计得到预 测曲线的有名值，称为信息有名化。待预测年份的已知月份值的序列{y_t，1，y_t，2，…， y_t，m}，

${\hat{y}}_{t,j}=y_{t,k}\frac{d_{t,j}}{d_{t,k}},j=m+1,m+2,...,T---\left(40\right)$

其中，d_t，_j，d_t，k分别为t年j月，k月的标幺值，y_t，k满足{y_t，k|min(v^(k))}，v^(k)为以 第k个月数值为基准有名化曲线前m个月的均方差，由式(42)计算。

则第t年m+1～T月的横向预测值为这种方法充分利用了新息值。

通过虚拟年的方法得到的数据并未将自然年全年的值预测出来，若需要则可依 据虚拟年预测的估计新息值重新进行自然年标幺曲线的预测和有名化，得出全年的 值。

在仅已知一整年数据对第二年的数据进行预测的情况下则不能采用该方法对 预测曲线有名化。需要对预测年的最大值进行预测使预测曲线有名化。可根据经验 确定最大值，此情况下的预测准确度降低。

仅知一年的数据时，纵向预测无法实现。若已知的纵向序列仅有两个值时，因 纵向模型求解的迭代过程不收敛，不宜采用曲线预测模型。此时采用增长比例法， 其公式如下：

$y_{t,j}^{\mathrm{ver}}=y_{t-1,j}\frac{y_{t,k}}{y_{t-1,k}}---\left(43\right)$

其中，k＝1，2，…，m，j＝m+1，m+2，…，T。

2二维预测

已知数据多于一年时通过加权平均进行二维预测，充分利用其月度量横向趋势 与纵向趋势各自的相关性。

权重选取的准则是使预测误差满足最小二乘估计。令二维估计值为，权重为 ww＝(w₁，w₂)，则有：

${\hat{z}}_i=w_1{y}_{t,i}^{\mathrm{hor}}+w_2{y}_{t,i}^{\mathrm{ver}}---\left(44\right)$

其中，i＝1，2，…，m，第i个月的真实值与其估计值的误差为：

$e_i=z_i-{\hat{z}}_i---\left(45\right)$

最小二乘准则就是希望所求的权重可使估计误差的平方和达到极小，即使性能 指标：

$J(w_1,w_2)=\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}{[z_i-(w_1{y}_{t,i}^{\mathrm{hor}}+w_2{y}_{t,i}^{\mathrm{ver}})]}^2---\left(46\right)$

达到极小的权重，其中，z_i为第i个月的真实值，为序列中第i个元素， 为序列中第i个元素。根据有约束最小二乘法的迭代法进行求解。给定初始 值：w(0)＝[0 1]，选择合适的迭代步长进行迭代求解。

故对于t年m+1月的估计值为：

$y_{t,m+1}^{\mathrm{hv}}=w_1{y}_{t,m+1}^{\mathrm{hor}}+w_2{y}_{t,m+1}^{\mathrm{ver}}---\left(47\right)$

当仅知一年的数据时，纵向预测无法进行，故直接将横向预测结果作为二维预 测结果。

以下以具体实例说明本发明方法。

表1为依据公式(4)计算得出的四个监测点2009-2011年的区间综合电压总 谐波畸变率(VTHD)和总谐波电流幅值的数据，其权重如表2所示。本发明方法 采用的是月度数据95％概率大值，以减弱电能质量波动性的影响。与此对应得到 的预测结果也为95％概率值。

表1监测占区间综合数据

表2各监测点权重

已知2号监测点2009年的值和2010年前4个月的电压总谐波畸变率数据，预 测2010年剩余月份的值。预测的结果如表3所示，误差如图4所示。

表3预测结果

表4中列出了各方法预测误差的绝对平均值和方差，分别来评价其预测准确度 和稳定性。由预测结果和误差图以及表4可知，二维预测的结果相对于横向或者纵 向单独预测结果，其误差小于两者，误差的均方差最小，说明二维预测准确度和稳 定性优于单向预测。

表4预测结果比较