用于距离测量、激励器同步和地理配准应用的确定信号的转发和传播中的时间变化的方法和系统

技术领域

本发明涉及如下的方法和系统，其用于确定在与大地测量位置已 知的一组基于地面的发射和接收基站可操作地相关联的、位于远程且 不可达的（inaccessible）站点的信号中继站处的时间、相位和频率变 化，并且用于确定由于介质中信号传播引起的时间变化，从而获得相 对于不可达的中继器的距离测量、导航和地理定位，并且通过针对远 程信号中继器处的频率（相位延迟）和时间的变化进行了校正的测量 结果获得时间同步。此提案对远程确定由不可达条件下运行的中继站 或转发器接收和转发过程中的时间变化和信号传输时间、以及远程确 定由系统运行所在的介质中信号传播所引起的附加时间变化提供了创 新的解决方案。

背景技术

向前发送和转发的信号获得的回波用于测量远程对象的距离。确 定精度完全取决于在中继器处出现的时间效应的了解和校正，所述时 间效应由四个主要因素引起：(a)介质中的传播速度，(b)传输期间线缆 和仪器中的传播，(c)最后接收处线缆和仪器中的传播，以及(d)要确定 其距离的远程对象（中继器（repeater））的转发。

对于不同介质（陆地电离层和对流层）中以及空间中的传播，描 述(a)的模型一般是已知的（J.W.Marini,“Correction of satellite  tracking data for an arbitrary tropospheric profile”,Radio Sci.,7, 223-231,1974;J.A.Klobuchar,“Design and characteristics of the  GPS ionospheric time delay algorithm for single frequency users”,em  PLANS'86-Position Location and Navigation Symposium,Las Vegas, NV,Nov.4-7,1986,Record(A87-4135118-17),New York,Institute of  Electrical and Electronics Engineers,1986,pp.280-286,1986;S.M. Hunt et al.,“Equatorial atmospheric and ionospheric modeling at  Kwajalein missile range”,Lincoln Laboratory Journal,vol.12,pp. 45-64,2000;S.M.Honma,Y.Tamura e M.J.Reid,“Tropospheric  delay calibrations for VERA”,Publ.Astron.Soc.Japan,vol.60,pp. 951-960,2008;T.S.Radovanovic,“Adjustment of satellite-based  ranging observations for precise positioning and deformation  monitoring”,PhD dissertation,Department of Geomatics Engineering, University of Calgary,Canada,UCCGR Reports Nr.20166,2002,and  references therein）。在适当的模型选择后，时间变化的传播效应需 要被计算为中继器被看见所经的距离和仰角的函数，它们是事先未知 的参数。

因素(b)和(c)以高精度实验地直接测得。

不过，因素(d)是不确定的，因为不可达的对象无法直接测量并且 它经历着其内部信号传播特性（其可能随时间改变）的变化，或者对 用于确定其距离的每个信号序列变化。此外，对相对于包含如下点的 基准结构快速运动的卫星或航天器运载的中继器，所述点与远程对象 间的距离希望被确定，由于多普勒效应所致的其他时间改变和相对地 预测的那些时间改变可能变得重要。其他时间变化可以被考虑为在卫 星（远程对象）相对于大地水准面沿着不同的重力势运动时由相对论 效应引起（Ashby,N.,“Relativity and the global positioning system”, Physics Today,55,pp.41-47,2002;Larson,K.M.et al.,“An  assessment of relativistic effects for low Earth orbiters:the GRACE  satellites”,Metrologia,44,pp.484-490,2007）。

另一方面，当使用流星作为反射转发器时，可能由电离的踪迹上 的信号散射引起相位延迟（Wislez J.-M.,"Forward Scattering of  Radio Waves of Meteor Trails",Proceedings of the International  Meteor Conference,Brandenburg,Alemanha,pp.99-117,1995）。

电磁信号，比如无线电信号，能够借助于传输链路发送到很远距 离。这些链路接收传输、检测它、放大或者不放大它并且在感兴趣的 方向上转发无线电信号。

这些技术众所周知且属于公开领域，并且出于这个原因这里将不 介绍它们。信息的远距离无线传输由使用电磁波（e.m.w.）作为载体 的众所周知技术实现。无线电电磁波被最广泛地利用。目前e.m.w.无 线技术延伸到了红外线、可见光、紫外线和X射线对应的频带。

若干链路用于长途电信。这些链路在同一频率或者在不同频率接 收并转发信号。这些链路可以是自然的，比如陆地电离层中无线电 e.m.w.的反射或者电离层或对流层不均匀造成的散射以及大气层上部 中电离的流星踪迹的反射，等等。

数量无可计数的人工链路选项已经被实施和利用，也就是各种各 样的中继器、转发机，一般命名为转发器，安装在地面上或空间中， 由人造卫星的平台运载。在若干转发链路处，e.m.w.经历着由信号传 播所经的电子设备引起的相位延迟。对于许多应用，这种效应不会对 正在传送的信号带来严重的后果。它们全都被一起延迟若干时间片段， 与用户无关。这是音视频无线转发的情况。

不过，在双向通信应用中，比如在移动电话、数字电信中，在这 些链路处要求若干信号的信号同步。在无线电信网络的每一个链路处， 基准时间和频率标准必须共用且同步。在每一个链路处使用原子频率 和时间标准会是解决方案。不过，这种选项可能并非总是实际可行， 无疑很昂贵。

这样的链路同步的现代解决方案由参考GPS卫星或地理定位卫 星的类似星群的时间标准获得。它们被称为GPS时钟，其提供百纳秒 量级的准确度和稳定性，意味着对于在这些链路处操作的电子电路以 足够的水平确保此参考（T.A.Clark and R.H.Hambly,“Improving the  performance of low cost GPS timing receivers”,38th Annual Precise  Time and Time Interval(PTTI)Meeting,Reston,Virginia,USA,7 December,2006）。

根据被发送和接收的信号的回波确定距离所需的计算必然地关 联到对在这些链路出现的相位延迟或时间变化以及传播介质引起的延 迟的准确了解，以便获得从其起点经过转发链路到其目的地传送的信 号的传播时间校正。

远程确定在中继器处的时间变化和由于介质中信号传播引起的 时间变化是让使用地面基准发射机和接收机和空间转发器进行地理和 空间定位的系统和方法的使用可行所本质地要求的条件，正如在P.L. Kaufmann等人的文章“Non recursive algorithm for remote  geolocation using ranging measurements",Math.Problems in  Engineering, v. 2006, pp. 1-9, Article ID79389, DOI:10.1155/MPE/2006/79389,2006中所分析说明的。

确定在中继器处的时间变化和由于传播效应引起的变化是让在 1997年9月30日授权的发明专利PI9101270-8,“System and process  of geographic positioning and navigation”中和在2002年5月17日提 交的其追加证书C1910127-8中;在2003年10月8日提交的发明专利 PI03003968-4，“System and process of geographic and space  positioning”，对应于2004年10月4日提交的PCT/BR2004/000190， “Geographic and space positioning system and process”中（它们至今 为止得自于以下授权专利：09年5月5日的US752877B2；09年8月 27日的RU2635934C2；以及2010年11月26日的AU2004277511） 公开的若干概念的校正操作可行的本质。

在地面发送和接收信号中由链路组件、转换器、线缆和电子器件 所引起的相位延迟能够在实验室中被精确地测量，并为链路所中继的 数据采用。不过，连续使用和所界定的链路像例如卫星中的远程且不 可达的位置危害了对先前确定的延迟的维护并使其更新校正不可能。 在卫星中转发器的情况下，相对的时间效应将取决于它们在空间的位 置。在由流星踪迹中的转发中继的情况下，时间效应将取决于它们在 天空中出现的方向。另一方面，许多转发器携带的内部处理器导致信 号延迟，这些信号延迟对于每个序列的转发信号可能不同。当加入无 法估计的信号相位变化物理效应──比如由中继器处电子电路中温度 变化导致的效应时这些困难变得加剧。

在卫星中，还必须考虑多普勒效应和由相对论和重力势导致的其 他效应。必须考虑这些无法预测的相位变化效应以确保通过信号反射 （或通过转发）的距离确定。由介质中信号传播导致的时间变化可能 变得显著并且将依赖于采用的模型和要确定的中继器视角。确定这些 变化是让使用地面基准和空间转发器的地理定位、导航和授时系统和 方法的应用可行的必要条件，如上所述。

发明内容

考虑到使用远程且不可达的中继站的无线信号传输系统的操作 需求，还有对远程台站的地理定位的通常准确且瞬时确定的需要，本 发明的目标之一是定义和提供实现相对简单并在经济上可行的方法和 系统，提供对信号转发和传播中的与一般在空间中运动的远程且不可 达的中继站有关的时间变化、相位延迟和频移的正确且瞬时的确定， 所述信号能够包含音频、视频和其他信息，比如编码时间信号。

根据本发明提出的解决方案，能够根据对远程台站（其位于很远 距离并具有转发器（收发机或中继器））从位于已知且可达站点的固 定信号发射机接收的信号的转发和传播中的时间变化的确定，在任意 瞬时，确定远程且不可达的中继站的正确地理和空间定位以及时间指 示调整。

根据本发明，确定在远程且不可达的信号中继站处的时间变化和 相位延迟以及由于信号传播所引起的时间延迟的方法包括一个第一步 骤，即在地面上安装四个基准基站，所述基准基站在已知地理位置处 并从中继站可见。下一步骤包括：在基准瞬时处由设在上述基准基站 之一──这里被指定为中心基站──中的发射设备发射编码时间信 号，该编码时间信号包含对正在发射它的基准基站和发射瞬时的标识； 以及由安装在四个基准基站的每一个处的接收设备接收由中继站接收 并转发的编码信号的步骤。

在上述步骤完成后，所述方法继续针对被发射的同一编码信号计 算至少两个中继站位置的差，此计算通过使用三个基准基站的至少两 个不同的组来完成，已知上述差取决于归属（attribute）到中继站的 时间、相位或频率改变的值。然后针对被采用的这些值的每一个，系 统地且任意地归属并计算时间变化的不同值，不同的值用于所述两个 位置之间的差。一旦有了中继站的每两个相应位置之间的差，就能够 识别被归属到所述中继器处的时间变化的哪个值产生了对中继站算出 的两个位置的最小差。在所述方法的这个阶段中涉及的计算以迭代的 形式执行，例如，通过逐次逼近法，其中采用在中继站的信号通路中 有可能发生的时间变化的多个值，直到识别出使中继器的两个算出的 位置之间的差变为最小的值。这个值定义了在中继站处的时间、频率 或相位的变化，其从针对中继器位置的差异所发现的最小值推论出。 现在能够采用已经被确定的时间变化，校正从四个基站到中继器的距 离。现在能够使用时间变化的值确定中继器的正确位置。相同的迭代 过程能够包括使用同一迭代过程找出的、由于介质的信号特性的传播 速度所引起的其他时间变化，该其他时间变化根据已知传播模型而被 采用并使用从基站看到的中继器的仰角。

在所述方法的一个可能应用中，进一步提供了另一步骤，即通过 针对基准瞬时校正时间、频率或相位的变化来确定中继站的坐标。

在另一方法应用中，时间信号被散布到地面上的具有已知地理位 置的其他点，以便同步其各自时钟。

附图说明

介绍本发明时将参考附图，提供的范围为了展示，也就是：

图1是示意透视图，展示了远程且不可达的信号中继器相对于安 装地面上已知地理位置处的四个基站的空间定位，四个基站中的至少 其一包含要被空间中的中继站接收并转发的编码信号的发射机，四个 基站包含被中继站转发信号的接收机，并且其中由P标注的位置表明 其坐标已知或要被确定的（这取决于以下将介绍的应用）目标之处。

四个基站具有其自身的通向中心处理站的通信装置，它们向中心 处理站发送由中继器转发的时间信号与其各自时钟之间的时间差异。 为了简洁，中心处理站可以为发射时间信号的同一基准基站。

图2表示透视示意图，展示了球形欧几里得坐标系，用于使图1 中展示的中继站的空间定位等同。

图3表示用于找到要确定其坐标的目标P的位置的、在两个坐标 系（一个是x、y、z而另一个是u、v、w）中的中继站的四个不同位 置。

具体实施方式

如上所述以及附图1中展示，本发明提供如下的方法和系统，其 使用可以由卫星平台代表的远程且不可达的中继站R、或者使用能够 在预定方向上接收并转发编码时间信号的任意类型的其他对象或中继 器设备，来进行信号（例如数字音频或视频信号或甚至模拟信号）的 无线传输。

这里呈现的本发明利用四个基准基站A、B、C和D，它们中的 每三个都不共线并且被安装在已知地理位置处的地面上（见图1）， 每一个基站都包含信号接收设备，比如接收例如音频或视频中的被数 字调制的并且由空间中的中继站R接收并转发的射频信号。时间编码 信号由基准基站A、B、C和D之一发射并由空间中的中继站R转发 回到基准基站A、B、C和D。

根据所提议的系统，四个基准基站A、B、C和D之一包含一台 编码时间信号发射机T和对于由设在远程中继站R处的转发器转发的 信号的一台接收机REC。为了简化说明，发射机与基站A相关联。四 个基准基站A、B、C和D都有接收机，以接收由中继站R处的远程 转发器转发的时间编码信号。除了包含发射装置T的基站A外，其他 基站都有向中心处理基站E发送从远程转发器收到的编码时间信号与 在其每一个中产生的时间编码信号之间的相应差异的装置。为了简化， 基准基站A（本文称为中心基站）可以与发射时间信号的基站是同一 座。在中心基站处，从远程转发器收到的编码时间信号被与在同一基 准基站处产生的编码时间信号进行比较。四个基准基站都有其自身的 精确时钟RL，每一个都彼此同步。

四个基准基站A、B、C和D都有其自身的精确时钟RL以及把 由远程转发器转发的时间信号与本地产生的时间进行比较的装置。基 准基站处理其本地时间差异并且将它们发送到中心基站E，为了简单 中心基站E能够与基准基站A是同一基站，基准基站A也已经发出 原始的信号发射。本地时间差异将通过某种通信手段（例如商业电信） 或者利用用于数据通信的同一远程中继站发送到中心基站。

空间中继站R的正确位置将依赖于校正关于四个基准基站A、B、 C和D上的每三个测出的时间差异所需的、对中继站R处的时间变化 和/或相位延迟以及由介质中的信号传播所引起的那些的了解。系统的 良好性能需要对在一切区段中尤其是在利用中继站（转发器）R的编 码时间信号传输中被传送信号所经历的相位延迟以及由传播所引起的 那些相位延迟的了解。

本发明解决了正确地并由经济上可行的装置确定如下时间变化 测量结果或相位延迟的当前困难，所述时间变化测量结果或相位延迟 例如是在远程且不可达的中继站R处的转发链路中以及在所涉及的介 质中（当对于卫星平台中的位于空间中的台站发生时，比如是在陆地 大气层和电离层中）的传播中由信号所经历的时间变化测量结果或相 位延迟。

在采用四个基准基站的情况下，存在用于确定由中继站或由转发 器接收并转发的信号的时间变化的几种可能形式。例如可以使用用于 确定在中继站R处的时间变化的具有高准确度的更一般的过程，它不 依赖于包含四个基准基站A、B、C和D的平面的部署。

能够采用与图2中展示的P.L.Kaufmann等人（2006）所使用的 相同的球形欧几里得坐标系，其算法允许使得用基准基站A、B、C 和D所得到的中继器R坐标等同。

根据以下定义的命名法，由本系统获得的测量结果提供了以下数 据：

AR(δ_R)=(Δt_A-δ_At-δ_Ar-δ_R)(c/2)-2Δ_pdAR              (1)

BR(δ_R)=(Δt_B-δ_At-δ_Br-δ_R)c–AR(δ_R)-Δ_pdBR-Δ_pdAR

CR(δ_R)=(Δt_C-δ_At-δ_Cr-δ_R)c–AR(δ_R)-Δ_pdCR-Δ_pdAR

DR(δ_R)=(Δt_D-δ_At-δ_Dr-δ_R)c–AR(δ_R)-Δ_pdDR-Δ_pdAR

其中AR(δ_R)、BR(δ_R)、CR(δ_R)和DR(δ_R)分别为从基站A、B、C和D 到中继器R位置的距离，它们被表示为要被确定的由中继器传输信号 的时间变化δ_R的函数；Δt_A、Δt_B、Δt_C和Δt_D分别为在基站A、B、 C和D处有效测出的时间差异；δ_At是先前被测出并已知的从基站A 发射信号时由电路和线缆的信号通路所引起的时间变化；δ_Ar、δ_Br、δ_Cr和δ_Dr分别为先前被测出并已知的在基站A、B、C和D处接收信号时 由电路和线缆的信号通路所引起的时间变化；c是真空中传送时间编 码信号的电磁波（例如无线电波）的速度；而Δ_pdAR、Δ_pdBR、Δ_pdCR和 Δ_pdDR是区段AR、BR、CR和DR的距离误差，它们是由物理介质（大 气层、电离层）中信号传播所引起的时间延迟。

由于介质中的传播的时间偏差导致的上述距离误差被加入到由 于中继器处信号的时间变化δ_R的距离偏差，δ_R对于四个区段AR、BR、 CR和DR是相同的。在图2展示的参照系中关于轴x、y和z，针对 基站A、B和C确定的中继站R的坐标由P.L.Kaufmann等人（2006） 已经开发的算法表示为要被确定的由中继器传送时信号δ_R的函数：

x_R(δ_R)={[AR(δ_R)]²-[BR(δ_R)]²+AB²}/2AB          (2)

y_R(δ_R)={{[r₁(δ_R)]²-[r₂(δ_R)]²}/2y_C}+y_C/2

z_R(δ_R)={[r₁(δ_R)]²–[y_R(δ_R)]²}^1/2

其中

[r₁(δ_R)]²=[AR(δ_R)]²–[x_R(δ_R)]²                (3)

[r₂(δ_R)]²=[CR(δ_R)]²–[(x_C–x_R(δ_R)]²

如果需要以球形坐标（即中继器的纬度、经度和高度）表示结果， 则这些能够通过简单的逆解析过程推导出。另一方面，利用通过使用 基站D所获得的测量结果，我们获得：

x_R’(δ_R)={[AR(δ_R)]²-[BR(δ_R)]²+AB²}/2AB(等于_R(δ_R))     (4)

y_R’(δ_R)={{[r₁’(δ_R)]²-[r₂’(δ_R)]²}/2y_D}+y_D/2

z_R’(δ_R)={[r₁’(δ_R)]²–[y_R’(δ_R)]²}^1/2

其中

[r₁’(δ_R)]²=[AR(δ_R)]²–[x_R’(δ_R)]²(等于[r₁(δ_R)]²)        (5)

[r₂(δ_R)]²=[DR(δ_R)]²–[(x_D–x’_R(δ_R)]²

这两个方程组允许按照以下表达式把中继器的位置差异以公式 表示为试图确定的时间的函数：

f(δ_R)=|[x_R(δ_R),y_R(δ_R),z_R(δ_R)]-[x’_R(δ_R),y_R’(δ_R),z_R’(δ_R)]|²=

=[x_R(δ_R)-x_R’(δ_R)]²+[y_R(δ_R)-y_R’(δ_R)]²+

+[z_R(δ_R)-z_R’(δ_R)]²                                  (6)

利用已知的数值计算方法（比如例如通过逐次逼近的迭代过程）， 采用在中继站的信号通路中可能已经发生的时间变化的多个值，将找 到在中继站R处的相位延迟δ_R的值，对于该值函数f(δ_R)假设为在本发 明中考虑的系统利用所需的最小值，该最小值将接近搜索到的值。能 够通过同时使用来自另两组基准基站A、B、D和A、C、D的数据来 完成这个过程，其中采用基站A作为发射机并改进δ_R确定的准确度。

以上介绍的迭代能够包括对由于如下信号的传播速度（其与c不 同）引起的时间变化的校正，所述信号在由陆地低及高大气层表示的 介质中传送编码时间信息。这些速度与真空中光速c不同，并且其效 应对应于引起被测量区段明显更大距离的相位或时间的延迟，正如方 程组（1）所描述。各时间或相位延迟对应于在各区段中的偏离，通过 确定从基站A、B、C和D观看时中继器的仰角H，并且采用描述各 区段偏离的模型，能够与之前介绍的迭代方法同时地计算这些偏离（例 如由S.M.Hunt et al.,“Equatorial atmospheric and ionospheric  modeling at Kwajalein missile range”,Lincoln Laboratory Journal, vol.12,pp.45-64,2000；S.M.Honma,Y.Tamura e M.J.Reid, “Tropospheric delay calibrations for VERA”,Publ.Astron.Soc. Japan.,vol.60,pp.951-960,2008所介绍的）。通过采用由于增加到方 程组（1）中的陆地大气层中传播效应引起的各区段的偏离来重复方法 计算，从而获得了增加到对一切区段处的信号传播时间的校正的、对 中继器处的时间传输的校正，并允许以高准确度计算所搜索的坐标。 由本发明提出的方法和系统允许对过程中利用的每个离散时间序列， 与距离测量、导航、时钟同步和地理定位同时地远程确定如下时间变 化，即在由信号中继站界定的链路处的时间变化以及由于介质中信号 传播引起的时间变化。为了计算校正后的距离、中继器和目标的地理 坐标以及时间同步方面的应用，将使用P.L.Kaufmann et al.,"Non  recursive algorithm for remote geolocation using ranging  measurements",Math.Problems in Engineering,v.2006,pp.1-9, Article ID79389,DOI:10.1155/MPE/2006/79389,2006的文章中介绍的 分析过程。

考虑到基准基站A、B、C和D对于用于验证测量结果的一切过 程是固定且可达的，这样的基准基站所对应的相位延迟能够“就地” 良好确定，并且被假设为固定和已知的数据。

本发明提出的解决方案实现了在经济上可能、准确程度高地确定 由远程且不可达的位置处的中继站R（在接收和转发时）的时间编码 信号通路中的相位延迟和时间变化，以及介质中传播效应所引起的时 间变化。

在中继站R的时间编码信号通路中时间编码信号的时间效应以 及在不同仰角处信号传播引起的时间效应是未知的并且不能够仅通过 系统中三个基准基站确定，它们仅定义了中继器R的一个位置。

这里提出的方法还能够包括以下步骤：在连续瞬时处从以上指出 的基准基站发射编码信号，并且获得以上述连续编码信号转发时的时 间、相位和频率变化的函数校正后的中继站R的连续坐标，以便允许 对中继站R的导航，其中以方程组（2）对之前所示的中继器的坐标 进行计算，对方程组（2）将引入根据本发明确定的时间变化(δ_R)以及 Δ_pdAR、Δ_pdBR、Δ_pdCR和Δ_pdDR；由中继站R向地理坐标已知的其他目标 （其中之一在本申请中由图1中P点表示）转发编码时间信号；确定 到达目标P的时间编码信号与其自身时钟产生的时间之间的差，其中 遵循如下等式Δ_p允许对同步的校正（P.L.Kaufmann等人，2006）：

Δ′_p=(AR/c)+(PR/c)+δ_At+δ_Pr+δ_R+Δ_pdPR+Δ_pdAR          (7)

其中AR和PR是被测区段，δ_At和δ_Pr分别为在发射机处和在位置 已知的目标P处先前确定并已知的时间变化，δ_R和Δ_pdPR是由本发明 确定的时间变化。同步或时间校正将为Δ′_p-Δ_p，其中Δ_p是理论上预测 的位置P的时间差异。

其他可能的步骤是由中继站R向位置未知的其他目标（类似地由 图1中P点表示）转发时间编码信号，其时钟与在四个基准基站A、 B、C、D安装的时钟同步；获得从中继站R到这些其他目标的距离， 这些距离被针对转发和传播中的时间变化进行了校正；以及通过采用 对时间、频率和相位的校正来确定在至少三个连续瞬时的目标的坐标。 所以能够通过在四个不同瞬时校正在中继器R位置处的转发处和传播 中的时间变化（这些位置在空间中不在直线上），通过四个连续测量 结果在任何空间坐标系中单义地界定目标的空间位置（在已经提出要 确定时），来计算从中继站R到基准基站A、B、C、D和到要确定位 置的目标的距离。进行这些计算的解析解能够遵循例如由P.L. Kaufmann等人（2006）发表的算法，其中对于以上提及的四个瞬时， 关于包括发射机所在基站A的一组三个基准基站重复由方程（1）、 （2）和（3）所表示的过程，在不同的位置和瞬时处，分别得到半径 不同的四个球体，其全都以该中继器为中心。球体的相交将给出目标 P的位置，其坐标变为确定的。图3展示了实际过程（按照P.L. Kaufmann等人2006），其中位置要确定的目标P（A，x，y，z）关 于中继器的四个不同位置R₁、R₂、R₃和R₄被定位，其中最后位置为 当行星自身的表面不能用作第四参照时的选项。进行运算的方式为添 加另一个参照系作为R₁、R₂、R₃和R₄中中继器位置的函数（见图3）， （R₁、u、v、w），其中目标的坐标u、v和w构成了方程组的解。 P.L.Kaufmann等人（2006）已经指出：对于三个中继器位置，找到 了两个解：

u_P=(PR₁²–PR₂²+R₁R₂²)/2R₁R₂                (8)

v_p=[(ρ₁²-ρ₂²)/2v_R3]+v_R3/2

w_P=±(ρ₁²–v_p²)^1/2

其中ρ₁²=PR₁²–u_P²eρ₂²=PR₃²–(u_R3–u_P)²。

通过采用第四球体定义仅仅一个位置，消除了信号w_p中的不确 定性。这可以是与行星表面（视为第四参照面）的相交，或者通过增 加中继站的一个第四位置R₄（见图3），产生半径为PR₄的对应第四 球体。

使用已知的解析过程能够把找到的位置解转换到（A，x，y，z） 系，方式为确定P（x_p，y_p，z_p）在这个坐标系中的位置。在球形坐标 中表示结果（中继站的纬度、经度、高度）受关注的情况下，可以使 用从简单的已知运算推导出的已知的解析过程来找到这些结果。

由本发明提出的技术解决方案允许选择执行测量的基准时间或 小时，只要在基准基站处和/或在位置要确定的目标处的时钟之间存在 同步。

提出的技术解决方案允许：确定位于若干距离（其处于从空间中 的中继器R看时的可见线内）处的若干目标的地理和空间位置；预测 对更大量固定基准基站A、B、C、D的采用，从而利用空间中同一中 继器R覆盖更大的地理范围；预测对不止一个空间中的中继站R的采 用，从而延伸要变为被观测（从而界定目标地理位置）的陆地表面上 的区域；以一个单一时间信号互动，以彼此分开一段距离的空间中的 四个转发器计算若干目标的地理位置；并且允许利用单一的空间中的 中继站R，每分钟时间对一个或多个固定的或移动的目标实现几百次 连续测量。

在这里呈现的方法和系统能够被应用到通常在空间中的任何种 类的电磁波转发器或中继器（其是人造的或天然的，有源的或无源的）。