预想事故电力系统电压稳定快速在线分析与预防控制方法

技术领域

本发明涉及电力系统电压稳定技术，特别是电网单重或多重故障预想事故下电力系统电压稳定快速在线分析与预防控制方法。

背景技术

电压稳定性是指电力系统在初始运行状态遭受到扰动后各支路保持电压稳定的能力，它是电力系统安全问题的一个主要方面。随着电力系统的迅猛发展、电网规模的不断扩大，电压失稳甚至电压崩溃事故发生的概率也越来越大。电压失稳过程可以被描述成一条电压单调下降的曲线。这条曲线在初始时下降得很慢，而随着时间的推移，电压下降速率迅速增大，当系统不能够满足负荷需要时，则发生电压崩溃。电压稳定问题本质上是一个动态问题。但在实际的工程应用中，电压静态安全分析方法以其较快的计算速度和可被接受的计算精度被广泛采用。

计算出静态约束条件下电压稳定裕度是电压稳定研究的一个重要课题。所谓电压稳定裕度是指从当前运行点出发，按给定方向增长负荷直至电压崩溃，则在功率注入空间中，当前运行点与电压崩溃点之间的距离即可作为度量当前电力系统电压稳定水平的一个性能指标，简称为裕度指标。目前这个距离一般是以可额外传输的负荷功率来表示的，因此又称为负荷裕度。负荷裕度的大小直接反应了当前系统承受负荷及故障扰动，维持电压稳定能力的大小。

另一个更困难的问题是计算出系统单(多)条线路故障后的负荷裕度，这对故障电压稳定分析、可用输电能力与预防控制等有重要意义。目前对故障后负荷裕度的计算，主要是采取逐一断开支路后运用连续法或直接法重新计算系统的临界负荷。连续法计算无须初值，但计算速度慢，当需要对大量支路故障进行分析时非常费时，无法达到在线应用的要求，同时还存在某些极为严重的故障使连续潮流在基态负荷起点就无法收敛。直接法虽然计算速度较快，但需要初值，不当的初值往往导致迭代不收敛。另外，有根据负荷裕度与故障参数一阶灵敏度的方法来估计线路切除以后的负荷裕度，多数情况下，用一阶灵敏度估计出来的负荷裕度误差较大(如图3与图4所示)，而且不能得到线路切除以后的系统运行状态(节点电压等)。

发明内容

本发明的目的是，针对现有技术的不足，提出一种预想事故电力系统电压稳定快速在线分析与预防控制方法，用于大规模电力系统在线电压稳定评估，为电网运行人员提供当前电网运行状态在正常网络情况下与预想故障情况下离电压崩溃点有多远；如果在预想故障下，电压稳定裕度为负，能给出在预想故障一旦发生时需采用多大的预防控制量来确保系统的电压稳定。

本发明的技术解决方案是，一种预想事故电力系统电压稳定快速在线分析与预防控制方法，包括如下步骤：

(1)由电力系统的数据采集系统SCADA(Supervisory Control And DataAcquisition)采集得到全网相关数据，如节点电压、网络拓扑、节点注入功率等；

(2)由状态估计进行数据处理后得到全网当前运行状态；状态估计方法可采用当前成熟的、在电力调度中心使用的任意商用软件算法；

(3)利用连续潮流方法计算得到当前N网络状态下电压稳定临界点(SNB)处全网节点电压与负荷裕度；

(4)计算N网络电压稳定临界点(SNB)处雅可比阵的0特征值的右特征向量；

(5)读取预想事故集；

(6)由N网络电压稳定临界点处雅可比阵形成计算临界点处全网节点电压与负荷裕度在不同故障下的各高阶导数的系数阵；

(7)利用同一系数阵计算不同故障下电压稳定临界点及负荷裕度对故障参数的高阶导数；

(8)计算预想事故下电压稳定临界点电压与负荷裕度，利用得到的电压稳定临界点处节点电压计算得到故障切除以后新的电压稳定临界点处系统支路有功、无功潮流，计算得到故障切除以后新的电压稳定临界点处发电机的有功无功功率，如果发电机无功越界，确定消除发电机无功越界后校正的电压稳定临界点处负荷裕度；

(9)警示负荷裕度为负的预想事故，给出预防控制量；

(10)重复进行上述步骤(3)至(9)，实现预想事故下电力系统电压稳定的在线分析与控制。

本发明的工作原理和过程进一步描述如下：

静态电压稳定意义下的电压稳定临界点SNB点(x^*，λ^*)满足的特征方程可表示为

$f(x,\lambda ,\mu )=\left(\begin{array}{c}P(x,\lambda ,\mu )-P^{\mathrm{int}}\\ Q(x,\lambda ,\mu )-Q^{\mathrm{int}}\end{array}\right)-\lambda \left[b\right]=0---\left(1\right)$

f_x(x，λ，μ)·v＝0                                    (2)

v^tv＝1                                                 (3)

这里方程(1)为潮流平衡方程，方程(2)为与零特征根对应的右特征向量方程式，方程(3)为特征向量模约束方程式；

其中式中v是雅可比(Jacobean)阵f_x(x，λ，μ)与零特征根对应的右特征向量，μ是故障参数，μ＝1时表示线路正常运行，μ＝0时表示线路发生三相断路故障，λ是负荷裕度，p^int与Q^int是节点有功无功起始功率列向量，[b]是节点功率增长的方向向量，状态变量为节点电压相角与幅值x＝(δ，V)∈R^m。

由已有连续潮流方法计算正常网络下电压稳定临界点(SNB)处的节点电压x^*与负荷裕度λ^*。

在SNB(x^*，λ^*)处求导可有

$f_x·\frac{{\mathrm{dx}}^{*}}{\mathrm{d\mu }}+f_{\lambda }·\frac{{\mathrm{d\lambda }}^{*}}{\mathrm{d\mu }}+f_{\mu }=0---\left(4\right)$

用x′表示dx^*/dμ，用λ′表示dλ^*/dμ(以下的求导符号′均表示对μ求导)，A＝[A₁ A₂…A_m]表示f_x，则

A·x′+f_λ·λ′＝-f_μ                                    (5)

由式(2)f_x·v＝0知矩阵A是奇异的，即A₁，A₂…A_m是线性相关的。不妨设v_p＝1，故有A_p＝-(A₁v₁+A₂v₂+…A_p-1v_p-1+A_p+1v_p+1+…A_mv_m)，将其代入式(4)有

$\underset{i\ne p}{\overset{m}{\underset{i=1}{\Sigma }}}{A}_i·(x_i^{\prime }-x_p^{\prime }·v_i)+f_{\lambda }·{\lambda }^{\prime }=-f_{\mu }---\left(6\right)$令一组新

系数

$s_i=\left(\begin{array}{cc}{x}_i^{\prime }-x_p^{\prime }·v_i& i=\mathrm{1,2},···(i\ne p)\\ {\lambda }^{\prime }& i=p\end{array}\right)---\left(7\right)$

则式(6)可等价为：

Λ·s＝-f_μ                                                (8)

由于Λ可逆，所以式(8)有唯一解s＝Λ^-1·(-f_μ)，其中s_p就是所要求得的负荷裕度灵敏度λ′。求解式(8)虽然能够得到负荷裕度对故障参数的一阶灵敏度，但不能得到节点电压对故障参数的一阶灵敏度，因而也无法得到负荷裕度对故障参数的高阶灵敏度与节点电压对故障参数的高阶灵敏度。

为了求得节点电压对故障参数的一阶灵敏度，首先选定v＝1，根据式(2)可以确定临界点处矩阵f_x的零特征值所对应的右特征向量v中的所有元素v_p，再由式(7)s的定义有

s_ip＝x_i′-x_p′·v_ip  i＝1，2，…m(i≠p)                     (9)

式(9)中有m个变量，但只有m-1个方程。

为了求解出x′，必须添加第m个方程。取v_q＝1，q≠p，再计算出v_q＝1时的特征向量v_q，同样根据s的定义可再得到m-1个方程

s_iq＝x_i′-x_q′·v_iq  i＝1，2，…m(i≠q)                     (10)

从其中任取一个方程，不妨取i＝1，q＝p-1所对应的方程，将其与(9)式联立可得

上式可以简写成

v_pqx′＝s_pq1                                                (12)

式(12)可以求得系统中所有节点电压对故障参数的一阶导数。

将式(5)两边对μ求导并整理可得

Ax″+f_λλ″＝-A′x′-f_λ′λ′-f_μ′                (13)

将式(13)两边对μ求导可得

${\mathrm{Ax}}^{\prime \prime \prime }+f_{\lambda }{\lambda }^{\prime \prime \prime }=-2A^{\prime }{x}^{\prime \prime }-A^{\prime \prime }{x}^{\prime }-2f_{\lambda }^{\prime }{\lambda }^{\prime \prime }-f_{\lambda }^{\prime \prime }{\lambda }^{\prime }-f_{\mu }^{\prime \prime }---\left(14\right)$

$=-C_2^1{A}^{\prime }{x}^{\prime \prime }-C_2^2{A}^{\prime \prime }{x}^{\prime }-C_2^1{f}_{\lambda }^{\prime }{\lambda }^{\prime \prime }-C_2^2{f}_{\lambda }^{\prime \prime }{\lambda }^{\prime }-f_{\mu }^{\prime \prime }$

一般地有

${\mathrm{Ax}}^{(n+1)}+f_{\lambda }{\lambda }^{(n+1)}=-\underset{t=1}{\overset{n}{\Sigma }}{C}_n^t{A}^{\left(t\right)}{x}^{(n+1-t)}-\underset{t=1}{\overset{n}{\Sigma }}{C}_n^t{f}_{\lambda }^{\left(t\right)}{\lambda }^{(n+1-t)}-f_{\mu }^{\left(n\right)}---\left(15\right)$

上面二项式系数$C_n^t=n!/[(n-t)!t!].$

再令

F＝-f_μ                                              (16)

F′＝-A′x′-f_λ′λ′-f_μ′                         (17)

$F^{\prime \prime }={-C}_2^1{A}^{\prime }{x}^{\prime \prime }-C_2^2{A}^{\prime \prime }{x}^{\prime }-C_2^1{f}_{\lambda }^{\prime }{\lambda }^{\prime \prime }-C_2^2{f}_{\lambda }^{\prime \prime }{\lambda }^{\prime }-f_{\mu }^{\prime \prime }---\left(18\right)$



$F^{\left(n\right)}=-\underset{t=1}{\overset{n}{\Sigma }}{C}_n^t{A}^{\left(t\right)}{x}^{(n+1-t)}-\underset{t=1}{\overset{n}{\Sigma }}{C}_n^t{f}_{\lambda }^{\left(t\right)}{\lambda }^{(n+1-t)}-f_{\mu }^{\left(n\right)}---\left(19\right)$

式(19)中雅可比阵A与f_μ的高阶导数通式见附后，对于不同的负荷增长方式f_λ取值不同，由节点功率增长的方向向量[b]确定。

式(13)～(15)可以写成

Ax″+f_λλ″＝F′                                    (20)

Ax+f_λλ＝F″                                    (21)

Ax⁽ⁿ⁺¹⁾+f_λλ⁽ⁿ⁺¹⁾＝F⁽ⁿ⁾                             (22)

方程(20-22)与方程(5)相似，可采用与方程(8)相似方法求解。由(16)～(19)式可知：要求取λ的n+1阶导数，需要先求出x的前n阶导数和λ的前n阶导数。

类似式(7)，定义新变量

$s_i^{\left(n\right)}=\left(\begin{array}{cc}{x}_i^{(n+1)}-x_p^{(n+1)}·v_i& i=\mathrm{1,2},···m(i\ne p)\\ {\lambda }^{(n+1)}& i=p\end{array}\right)---\left(23\right)$

方程式(22)变成

Λ·s⁽ⁿ⁾＝-F⁽ⁿ⁾                                        (24)

式(24)与式(8)中Λ完全一致，因此在一阶导数的基础上，不需要重新三角分解就可以求得高阶导数s⁽ⁿ⁾。

与式(9-12)类似，求取节点电压x的n阶导数x⁽ⁿ⁾时可有方程(25)。

v_pqx⁽ⁿ⁾＝s_pqn                                          (25)

在上式中v_pq与计算x′时的v_pq完全相同，在计算x⁽ⁿ⁾时无需反复进行三角分解。

设故障后系统的负荷裕度用λ(μ)表示，系统故障前，线路处于联通状态，其故障参数μ₀＝1，λ(1)表示故障前系统负荷裕度；系统故障后故障线路三相断路，其故障参数μ₁＝0，λ(0)表示故障后系统负荷裕度。将λ(μ)在μ₀＝1处展开成泰勒级数有

$\lambda \left(\mu \right)=\lambda \left({\mu }_0\right)+{\lambda }^{\prime }\left({\mu }_0\right)(\mu -{\mu }_0)+\frac{{\lambda }^{\prime \prime }\left({\mu }_0\right)}{2!}{(\mu -{\mu }_0)}^2+\frac{{\lambda }^{\prime \prime \prime }\left({\mu }_0\right)}{3!}{(\mu -{\mu }_0)}^3---\left(26\right)$

$+···+\frac{{\lambda }^n\left({\mu }_0\right)}{n!}{(\mu -{\mu }_0)}^n+···$

将μ₀＝1，μ＝μ1＝₀代入上式，有

$\lambda \left(0\right)=\lambda \left(1\right)-{\lambda }^{\prime }\left(1\right)+\frac{{\lambda }^{\prime \prime }\left(1\right)}{2!}-\frac{{\lambda }^{\prime \prime \prime }\left(1\right)}{3!}+···+\frac{{\lambda }^{\left(n\right)}\left(1\right)}{n!}{(-1)}^n+···---\left(27\right)$

在计算时可以设定当λ⁽ⁿ⁾(1)/n！小于某一极小数(取0.0001)时退出计算。

同上，可得SNB点电压状态变量如下

$x\left(0\right)=x\left(1\right)-x^{\prime }\left(1\right)+\frac{x^{\prime \prime }\left(1\right)}{2!}-\frac{x^{\prime \prime \prime }\left(1\right)}{3!}+···+\frac{x^{\left(n\right)}\left(1\right)}{n!}{(-1)}^n+···---\left(28\right)$

利用预想事故后电压稳定临界点处系统节点电压，计算得到故障切除以后新的电压稳定临界点处发电机的有功无功功率，如果发电机无功越界，利用灵敏度确定消除发电机无功越界后校正的电压稳定临界点处负荷裕度。

当预想故障下负荷裕度为负时，表明在该故障发生后系统会发生电压崩溃，本发明方法得到的负荷裕度就是为避免电压失稳的预防控制量。

其中关于雅可比矩阵A的高阶导数表达通式的说明：

令V_ij＝V_iV_j，则V对μ的r阶导数可以表示为${V_{\mathrm{ij}}}^{\left(r\right)}=\underset{t=0}{\overset{r}{\Sigma }}{C}_r^t{V}_i^{\left(t\right)}{V}_j^{(r-t)}$(二项式导数递推)，再令Y_ij＝[G_ij，B_ij]，S_ij＝[sinδ_ij，-cosδ_ij]^T，O_ij＝[cosδ_ij，sinδ_ij]^T，则S和O可以组成矩阵：

$T_{\mathrm{ij}}=[O_{\mathrm{ij}},S_{\mathrm{ij}}]=\left(\begin{array}{cc}{\cos \delta }_{\mathrm{ij}}& \sin {\delta }_{\mathrm{ij}}\\ \sin {\delta }_{\mathrm{ij}}& -\cos {\delta }_{\mathrm{ij}}\end{array}\right)$

其一阶导数为：

$T_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}=[O_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)},S_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}]=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)T_{\mathrm{ij}}{\delta }_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}$

其r阶导数(r≥2)可以表示为：

$T_{\mathrm{ij}}^{\left(r\right)}=[O_{\mathrm{ij}}^{\left(r\right)},S_{\mathrm{ij}}^{\left(r\right)}]=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\underset{t=1}{\overset{r}{\Sigma }}{C}_{r-1}^{t-1}{T}_{\mathrm{ij}}^{(r-t)}{\delta }_{\mathrm{ij}}^{\left(t\right)}$

雅可比矩阵A可以表达为：

$A=\left(\begin{array}{cc}H& N\\ K& L\end{array}\right)$

其中分块矩阵H、N、K、L的元素分别为H_ij、N_ij、K_ij、L_ij。

雅可比矩阵A中各矩阵元素块及其高阶导数通式表述如下：

1)当i≠j时A中各元素通式

H_ij＝-V_ijY_ijS_ij，N_ij＝-V_ijY_ijO_ij

K_ij＝V_ijY_ijO_ij，L_ij＝-V_ijY_ijS_ij

当i，j不为故障支路时，上式对μ的r次导数为：

$H_{\mathrm{ij}}^{\left(r\right)}=-Y_{\mathrm{ij}}\underset{t=0}{\overset{r}{\Sigma }}{C}_r^t{V}_{\mathrm{ij}}^{\left(t\right)}{S}_{\mathrm{ij}}^{(r-t)}$

$N_{\mathrm{ij}}^{\left(r\right)}=-Y_{\mathrm{ij}}\underset{t=0}{\overset{r}{\Sigma }}{C}_r^t{V}_{\mathrm{ij}}^{\left(t\right)}{O}_{\mathrm{ij}}^{(r-t)}$

$K_{\mathrm{ij}}^{\left(r\right)}=-Y_{\mathrm{ij}}\underset{t=0}{\overset{r}{\Sigma }}{C}_r^t{V}_{\mathrm{ij}}^{\left(t\right)}{O}_{\mathrm{ij}}^{(r-t)}$

$L_{\mathrm{ij}}^{\left(r\right)}=-Y_{\mathrm{ij}}\underset{t=0}{\overset{r}{\Sigma }}{C}_r^t{V}_{\mathrm{ij}}^{\left(t\right)}{S}_{\mathrm{ij}}^{(r-t)}$当i，j恰好为故障支路时有：

$\left(\begin{array}{c}{Y}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}=[-g_{\mathrm{ij}},-b_{\mathrm{ij}}]\\ Y_{\mathrm{ij}}^{\left(n\right)}=0,n>1\end{array}\right)$

所以对应的雅可比矩阵的元素为：

$H_{\mathrm{ij}}^{\left(r\right)}=-Y_{\mathrm{ij}}\underset{t=0}{\overset{r}{\Sigma }}{C}_r^t{V}_{\mathrm{ij}}^{\left(t\right)}{S}_{\mathrm{ij}}^{(r-t)}-r{Y}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}\underset{t=0}{\overset{r-1}{\Sigma }}{C}_{r-1}^t{V}_{\mathrm{ij}}^{\left(t\right)}{S}_{\mathrm{ij}}^{(r-1-t)}$

$N_{\mathrm{ij}}^{\left(r\right)}=-Y_{\mathrm{ij}}\underset{t=0}{\overset{r}{\Sigma }}{C}_r^t{V}_{\mathrm{ij}}^{\left(t\right)}{O}_{\mathrm{ij}}^{(r-t)}-r{Y}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}\underset{t=0}{\overset{r-1}{\Sigma }}{C}_{r-1}^t{V}_{\mathrm{ij}}^{\left(t\right)}{O}_{\mathrm{ij}}^{(r-1-t)}$

$K_{\mathrm{ij}}^{\left(r\right)}=-Y_{\mathrm{ij}}\underset{t=0}{\overset{r}{\Sigma }}{C}_r^t{V}_{\mathrm{ij}}^{\left(t\right)}{O}_{\mathrm{ij}}^{(r-t)}+r{Y}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}\underset{t=0}{\overset{r-1}{\Sigma }}{C}_{r-1}^t{V}_{\mathrm{ij}}^{\left(t\right)}{O}_{\mathrm{ij}}^{(r-1-t)}$

$L_{\mathrm{ij}}^{\left(r\right)}=-Y_{\mathrm{ij}}\underset{t=0}{\overset{r}{\Sigma }}{C}_r^t{V}_{\mathrm{ij}}^{\left(t\right)}{S}_{\mathrm{ij}}^{(r-t)}-r{Y}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}\underset{t=0}{\overset{r-1}{\Sigma }}{C}_{r-1}^t{V}_{\mathrm{ij}}^{\left(t\right)}{S}_{\mathrm{ij}}^{(r-1-t)}$

2)当i＝j时A中各元素通式：

$H_{\mathrm{ii}}=V_i^2{B}_{\mathrm{ii}}+\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{V}_{\mathrm{ij}}{Y}_{\mathrm{ij}}{S}_{\mathrm{ij}}=V_i^2{B}_{\mathrm{ii}}-\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{H}_{\mathrm{ij}}$

$N_{\mathrm{ii}}={-V}_i^2{G}_{\mathrm{ii}}-\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{V}_{\mathrm{ij}}{Y}_{\mathrm{ij}}{O}_{\mathrm{ij}}={-V}_i^2{G}_{\mathrm{ii}}+\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{N}_{\mathrm{ij}}$

$K_{\mathrm{ii}}=V_i^2{G}_{\mathrm{ii}}-\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{V}_{\mathrm{ij}}{Y}_{\mathrm{ij}}{O}_{\mathrm{ij}}=V_i^2{G}_{\mathrm{ii}}+\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{N}_{\mathrm{ij}}$

$L_{\mathrm{ii}}=V_i^2{B}_{\mathrm{ii}}-\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{V}_{\mathrm{ij}}{Y}_{\mathrm{ij}}{S}_{\mathrm{ij}}=V_i^2{B}_{\mathrm{ii}}+\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{H}_{\mathrm{ij}}$

上式中H_ij：当i＝j时仍取H_ij＝-V_ijY_ijS_ij，N_ij：当i＝j时仍取N_ij＝-V_ijY_ijO_ij，且以下公式中同样有此定义。

当i不等于故障支路其中一个端点时，其一阶导数为：

$H_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}={2V}_i{V}_i^{\left(1\right)}{B}_{\mathrm{ii}}-\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{H}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}$

$N_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}={-2V}_i{V}_i^{\left(1\right)}{G}_{\mathrm{ii}}+\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{N}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}$

$K_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}={2V}_i{V}_i^{\left(1\right)}{G}_{\mathrm{ii}}+\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{N}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}$

$L_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}={2V}_i{V}_i^{\left(1\right)}{B}_{\mathrm{ii}}+\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{H}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}$

其r阶导数，r＞1为：

$H_{\mathrm{ii}}^{\left(r\right)}=2\underset{t=1}{\overset{r}{\Sigma }}{C}_{r-1}^{t-1}{V}_i^{(r-t)}{V}_i^{\left(t\right)}{B}_{\mathrm{ii}}-\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{H}_{\mathrm{ij}}^{\left(r\right)}$

$N_{\mathrm{ii}}^{\left(r\right)}=-2\underset{t=1}{\overset{r}{\Sigma }}{C}_{r-1}^{t-1}{V}_i^{(r-t)}{V}_i^{\left(t\right)}{G}_{\mathrm{ii}}+\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{N}_{\mathrm{ij}}^{\left(r\right)}$

$K_{\mathrm{ii}}^{\left(r\right)}=2\underset{t=1}{\overset{r}{\Sigma }}{C}_{r-1}^{t-1}{V}_i^{(r-t)}{V}_i^{\left(t\right)}{G}_{\mathrm{ii}}+\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{N}_{\mathrm{ij}}^{\left(r\right)}$

$L_{\mathrm{ii}}^{\left(r\right)}=2\underset{t=1}{\overset{r}{\Sigma }}{C}_{r-1}^{t-1}{V}_i^{(r-t)}{V}_i^{\left(t\right)}{B}_{\mathrm{ii}}+\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{H}_{\mathrm{ij}}^{\left(r\right)}$

当i等于故障支路的任意一个端点时，设故障支路两端的端点为i，w，有

$\left(\begin{array}{c}{G}_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}=g_{i\left(w\right)0}+g_{\mathrm{iw}}\\ G_{\mathrm{ii}}^{\left(r\right)}=0,r>1\end{array}\right),$

$\left(\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}=b_{i\left(w\right)0}+b_{\mathrm{iw}}\\ B_{\mathrm{ii}}^{\left(r\right)}=0,r>1\end{array}\right)$

则其一次导数为

$H_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}=2V_i{V}_i^{\left(1\right)}{B}_{\mathrm{ii}}+V_i^2{B}_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}-\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{H}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}$

$N_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}=-2V_i{V}_i^{\left(1\right)}{G}_{\mathrm{ii}}-V_i^2{G}_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}+\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{N}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}$

$K_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}=2V_i{V}_i^{\left(1\right)}{G}_{\mathrm{ii}}+V_i^2{G}_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}+\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{N}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}$

$L_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}=2V_i{V}_i^{\left(1\right)}{B}_{\mathrm{ii}}+V_i^2{B}_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}+\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{H}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}$

二次导数为

$H_{\mathrm{ii}}^{\left(2\right)}=2\underset{t=1}{\overset{2}{\Sigma }}{C}_1^{t-1}{V}_i^{(2-t)}{V}_i^{\left(t\right)}{B}_{\mathrm{ii}}+2\times 2V_i{V}_i^{\left(1\right)}{B}_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}-\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{H}_{\mathrm{ij}}^{\left(2\right)}$

$N_{\mathrm{ii}}^{\left(2\right)}=-2\underset{t=1}{\overset{2}{\Sigma }}{C}_1^{t-1}{V}_i^{(2-t)}{V}_i^{\left(t\right)}{G}_{\mathrm{ii}}-2\times 2V_i{V}_i^{\left(1\right)}{G}_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}+\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{N}_{\mathrm{ij}}^{\left(2\right)}$

$K_{\mathrm{ii}}^{\left(2\right)}=2\underset{t=1}{\overset{2}{\Sigma }}{C}_1^{t-1}{V}_i^{(2-t)}{V}_i^{\left(t\right)}{G}_{\mathrm{ii}}+2\times 2V_i{V}_i^{\left(1\right)}{G}_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}+\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{N}_{\mathrm{ij}}^{\left(2\right)}$

$L_{\mathrm{ii}}^{\left(2\right)}=2\underset{t=1}{\overset{2}{\Sigma }}{C}_1^{t-1}{V}_i^{(2-t)}{V}_i^{\left(t\right)}{B}_{\mathrm{ii}}+2\times 2V_i{V}_i^{\left(1\right)}{B}_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}+\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{H}_{\mathrm{ij}}^{\left(2\right)}$

其r阶导数，r＞2为

$H_{\mathrm{ii}}^{\left(r\right)}=2\underset{t=1}{\overset{r}{\Sigma }}{C}_{r-1}^{t-1}{V}_i^{(r-t)}{V}_i^{\left(t\right)}{B}_{\mathrm{ii}}$

$+r\times 2\underset{t=1}{\overset{r-1}{\Sigma }}{C}_{r-2}^{t-1}{V}_i^{(r-1-t)}{V}_i^{\left(t\right)}{B}_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}-\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{H}_{\mathrm{ij}}^{\left(r\right)}$

$N_{\mathrm{ii}}^{\left(r\right)}=-2\underset{t=1}{\overset{r}{\Sigma }}{C}_{r-1}^{t-1}{V}_i^{(r-t)}{V}_i^{\left(t\right)}{G}_{\mathrm{ii}}$

$-r\times 2\underset{t=1}{\overset{r-1}{\Sigma }}{C}_{r-2}^{t-1}{V}_i^{(r-1-t)}{V}_i^{\left(t\right)}{G}_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}+\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{N}_{\mathrm{ij}}^{\left(r\right)}$

$K_{\mathrm{ii}}^{\left(r\right)}=2\underset{t=1}{\overset{r}{\Sigma }}{C}_{r-1}^{t-1}{V}_i^{(r-t)}{V}_i^{\left(t\right)}{G}_{\mathrm{ii}}$

$+r\times 2\underset{t=1}{\overset{r-1}{\Sigma }}{C}_{r-2}^{t-1}{V}_i^{(r-1-t)}{V}_i^{\left(t\right)}{G}_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}+\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{N}_{\mathrm{ij}}^{\left(r\right)}$

$L_{\mathrm{ii}}^{\left(r\right)}=2\underset{t=1}{\overset{r}{\Sigma }}{C}_{r-1}^{t-1}{V}_i^{(r-t)}{V}_i^{\left(t\right)}{B}_{\mathrm{ii}}$

$+r\times 2\underset{t=1}{\overset{r-1}{\Sigma }}{C}_{r-2}^{t-1}{V}_i^{(r-1-t)}{V}_i^{\left(t\right)}{B}_{\mathrm{ii}}^{\left(1\right)}+\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{H}_{\mathrm{ij}}^{\left(r\right)}$

关于f_μ的高阶导数表达通式的说明：

f_μ的表达式为

$f_{\mu }={[\frac{d{\mathrm{\Delta P}}_1}{\mathrm{d\mu }}···\frac{\mathrm{d\Delta }{P}_i}{\mathrm{d\mu }}···\frac{{\mathrm{d\Delta P}}_{k-1}}{\mathrm{d\mu }}\frac{\mathrm{d\Delta }{Q}_1}{\mathrm{d\mu }}···\frac{\mathrm{d\Delta }{Q}_i}{\mathrm{d\mu }}···\frac{\mathrm{d\Delta }{Q}_l}{\mathrm{d\mu }}]}^T$

上式中k为网络节点数，l为PQ节点数。

则f_μ的r阶导数可以表示为

${f_{\mu }^{\left(r\right)}=[{\left(\frac{d{\mathrm{\Delta P}}_1}{\mathrm{d\mu }}\right)}^{\left(r\right)}···{\left(\frac{\mathrm{d\Delta }{P}_i}{\mathrm{d\mu }}\right)}^{\left(r\right)}···{\left(\frac{{\mathrm{d\Delta P}}_{k-1}}{\mathrm{d\mu }}\right)}^{\left(r\right)}···{\left(\frac{\mathrm{d\Delta }{Q}_1}{\mathrm{d\mu }}\right)}^{\left(r\right)}···{\left(\frac{\mathrm{d\Delta }{Q}_i}{\mathrm{d\mu }}\right)}^{\left(r\right)}···{\left(\frac{\mathrm{d\Delta }{Q}_l}{\mathrm{d\mu }}\right)}^{\left(r\right)}]}^T$设

故障线路两端的节点编号分别为a和b。

当i≠a且i≠b时，有

3)若i为PQ节点则

$\frac{{\mathrm{d\Delta P}}_i}{\mathrm{d\mu }}=0\frac{{\mathrm{d\Delta Q}}_i}{\mathrm{d\mu }}=0$

${\left(\frac{{\mathrm{d\Delta P}}_i}{\mathrm{d\mu }}\right)}^{\left(r\right)}=0{\left(\frac{\mathrm{d\Delta }{Q}_i}{\mathrm{d\mu }}\right)}^{\left(r\right)}=0$

4)若i为PV节点则仅有

$\frac{{\mathrm{d\Delta P}}_i}{\mathrm{d\mu }}=0{\left(\frac{{\mathrm{d\Delta P}}_i}{\mathrm{d\mu }}\right)}^{\left(r\right)}=0$

当i＝a或i＝b时有

2)若i为PQ节点则

$\frac{{\mathrm{d\Delta P}}_i}{\mathrm{d\mu }}=-V_{\mathrm{iw}}{Y}_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}{O}_{\mathrm{iw}}-V_i^2{G}_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}$

$\frac{{\mathrm{d\Delta Q}}_i}{\mathrm{d\mu }}=-V_{\mathrm{iw}}{Y}_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}{S}_{\mathrm{iw}}+V_i^2{B}_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}$

${\left(\frac{{\mathrm{d\Delta P}}_i}{\mathrm{d\mu }}\right)}^{\left(1\right)}=-Y_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}(V_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}{O}_{\mathrm{iw}}+V_{\mathrm{iw}}{O}_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)})-2V_i{V}_i^{\left(1\right)}{G}_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}$

${\left(\frac{{\mathrm{d\Delta Q}}_i}{\mathrm{d\mu }}\right)}^{\left(1\right)}=-Y_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}(V_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}{S}_{\mathrm{iw}}+V_{\mathrm{iw}}{S}_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)})+2V_i{V}_i^{\left(1\right)}{B}_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}$

${\left(\frac{\mathrm{d\Delta }{P}_i}{\mathrm{d\mu }}\right)}^{\left(r\right)}=-Y_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}(\underset{t=0}{\overset{r-1}{\Sigma }}{C}_{r-1}^t{V}_{\mathrm{iw}}^{(t+1)}{O}_{\mathrm{iw}}^{(r-1-t)}+\underset{t=0}{\overset{r-1}{\Sigma }}{C}_{r-1}^t{V}_{\mathrm{iw}}^{\left(t\right)}{O}_{\mathrm{iw}}^{(r-t)})$

$-2G_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}\underset{t=0}{\overset{r-1}{\Sigma }}{C}_{r-1}^t{V}_i^{\left(t\right)}{V}_i^{(r-t)}$

${\left(\frac{\mathrm{d\Delta }{Q}_i}{\mathrm{d\mu }}\right)}^{\left(r\right)}=-Y_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}(\underset{t=0}{\overset{r-1}{\Sigma }}{C}_{r-1}^t{V}_{\mathrm{iw}}^{(t+1)}{S}_{\mathrm{iw}}^{(r-1-t)}+\underset{t=0}{\overset{r-1}{\Sigma }}{C}_{r-1}^t{V}_{\mathrm{iw}}^{\left(t\right)}{S}_{\mathrm{iw}}^{(r-t)})$

$+2B_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}\underset{t=0}{\overset{r-1}{\Sigma }}{C}_{r-1}^t{V}_i^{\left(t\right)}{V}_i^{(r-t)}$

上式中w指故障线路的另一个端点，下同。

2)若i为PV节点则仅有

$\frac{{\mathrm{d\Delta P}}_i}{\mathrm{d\mu }}=-V_{\mathrm{iw}}{Y}_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}{O}_{\mathrm{iw}}-V_i^2{G}_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}$

${\left(\frac{{\mathrm{d\Delta P}}_i}{\mathrm{d\mu }}\right)}^{\left(1\right)}=-Y_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}(V_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}{O}_{\mathrm{iw}}+V_{\mathrm{iw}}{O}_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)})-2V_i{V}_i^{\left(1\right)}{G}_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}$

${\left(\frac{\mathrm{d\Delta }{P}_i}{\mathrm{d\mu }}\right)}^{\left(r\right)}=-Y_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}(\underset{t=0}{\overset{r-1}{\Sigma }}{C}_{r-1}^t{V}_{\mathrm{iw}}^{(t+1)}{O}_{\mathrm{iw}}^{(r-1-t)}+\underset{t=0}{\overset{r-1}{\Sigma }}{C}_{r-1}^t{V}_{\mathrm{iw}}^{\left(t\right)}{O}_{\mathrm{iw}}^{(r-t)})$

$-2G_{\mathrm{iw}}^{\left(1\right)}\underset{t=0}{\overset{r-1}{\Sigma }}{C}_{r-1}^t{V}_i^{\left(t\right)}{V}_i^{(r-t)}$

多重故障时，只需将所有故障支路用同一个故障参数μ表示，计算过程同上。

综上所述，本发明提供的所述预想事故电力系统电压稳定快速在线分析与预防控制方法的优点包括如下几个方面：

(1)本发明方法能够求得正常网络情况下给定负荷与发电节点功率增长方式下临界电压稳定点电压与负荷裕度对故障参数的任意阶导数。目前已有技术无法得到临界点电压的一阶及高阶导数，也无法得到负荷裕度的高阶(2阶及以上)导数。

(2)提出的高阶导数计算公式规律性好且可解析表达。在求解不同故障下的n阶高阶导数时，各高阶导数的系数矩阵都是同一个矩阵，只需进行一次LDU分解，不需反复形成与分解系数矩阵，计算量小。

(3)本发明方法不需计算特征向量的导数。

(4)本发明方法既可以计算单重故障，也可以计算多重故障下，电压稳定临界点的系统节点电压与负荷裕度。

(5)可以得到故障后电压稳定临界点处系统所有节点电压，因而可以得到故障后支路潮流、发电机无功出力等信息。

(6)本发明方法可以得到采用其它方法无法得到的故障后潮流不收敛场景的负荷裕度(负荷裕度为负)及系统运行状态(节点电压)。

(7)当预想故障下负荷裕度为负时，表明在该故障发生后系统会发生电压崩溃，且所得到的负荷裕度就是为避免电压失稳的预防控制量。

(8)计算速度快和计算精度高是本发明方法的突出特点，平均计算时间仅为连续潮流的1％。

本发明方法适用于大规模电力系统预想事故在线电压稳定评估。

附图说明

图1为本发明方法的实施流程。

图2为用故障参数μ表示的线路。

图3为实施例一提供的所述IEEE-30节点系统，选取“5-7”，“15-23”，“22-24”及“4-12”4条故障支路发生三相断路故障时对SNB点负荷裕度的逼近轨迹。

图中的横坐标为展开阶数，纵坐标为负荷裕度。

图4为实施例二提供的IEEE-118节点系统，选取“15-19”，“44-45”，“30-38”及“45-46”4条故障支路发生三相断路故障时对SNB点负荷裕度的逼近轨迹。

图中的横坐标为展开阶数，纵坐标为负荷裕度。