一种基于分数阶傅里叶域滤波器组的数字水印技术

技术领域

本发明涉及信息安全领域，特别是数字水印技术，适用于数字图像信息的版权保护。

背景技术

多媒体信息的数字化和网络化时代使得数字多媒体信息的获取、传输、处理更加便捷，如何有效进行版权保护成为十分迫切的问题。数字水印技术的诞生为数字产品的版权保护及其真实性和完整性的认证提供了一个非常好的途径。数字水印按其功能可以分为稳健水印和脆弱水印两类：稳健水印主要用于解决版权争议、设置用户标识、进行数据管理和跟踪等；脆弱水印主要用于检测攻击者对宿主图像的篡改，并且可以定位篡改，甚至修复篡改。本发明专利提出的基于分数阶傅里叶域滤波器组理论的数字水印技术属于稳健水印。

离散小波变换(DWT)可以实现信号的多分辨率分析，它相对于傅里叶变换、离散余弦变换具有更好的能量集中特性，因此小波变换被MPEG-4及JPEG 2000等新一代压缩标准采用。利用小波的多分辨率分析特性，可以在不同的分辨率层上嵌入水印，使其具备不同的不可见性和稳健性。因此，很多学者提出了基于DWT的数字水印，由于它与各种压缩标准互相兼容，因此它相对于各种压缩攻击有较好的稳健性。但是，DWT域水印本质上是将水印嵌入到信号在傅里叶域的不同系数上，由于傅里叶变换对非平稳信号及系统分析的局限性，基于DWT的数字水印对各种攻击的稳健性仍有待提高。

分数阶傅里叶变换的概念早在1929年即被提出，在20世纪80年代应用于光学领域，从90年代起成为信号处理领域的研究热点之一。分数阶傅里叶变换是傅里叶变换的广义形式，它在统一的时频域上进行信号处理，因此它相对于传统的傅里叶变换灵活性更强，适合于进行非平稳信号的处理。因此在选定的最优阶次分数阶傅里叶域对信号进行滤波可以实现对某些形式信号和噪声的滤除和分析，获得比傅里叶域最优滤波更好的特性。另外，分数阶傅里叶变换相对于传统的傅里叶变换，增加了变换阶次这一参数，因此，不少学者提出了基于分数阶变换的数字水印技术，该算法将水印按照一定规则嵌入到选定的分数阶傅里叶变换系数上，利用分数阶傅里叶域的时频特性提高了水印的隐蔽性和稳健性。但是，该算法只能实现无意义水印的嵌入，无法实现有意义水印的嵌入。

分数阶傅里叶域滤波器组理论的提出，建立了分数阶傅里叶域信号多分辨率分析思想，不仅实现了非平稳信号在最佳能量聚焦特性下的多分辨率分析，而且实现了对某些形式干扰及噪声的滤除。利用分数阶傅里叶域滤波器组可以实现数字图像在行、列两维上的分数阶傅里叶域多分辨率分析，这就为我们设计图像数字水印提供了一种新的思路。

发明内容

本发明的目的是为了克服基于分数阶傅里叶变换水印技术无法嵌入有意义水印的缺点，改善DWT域数字水印抵抗各种攻击的稳健性，而提出了一种基于分数阶傅里叶域滤波器组的数字水印技术。

为了更好的介绍本发明内容，首先我们将简要介绍一下发明设计中所采用的离散分数阶傅里叶变换的选择方法，以及分数阶傅里叶域准确重建滤波器组的设计方法。

信号x(t)的FRFT定义为：

$X_p\left(u\right)=\left\{F_p\left[x\left(t\right)\right]\right\}\left(u\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\left(t\right)·K_p(t,u)\mathrm{dt}---\left(1\right)$

其中：p＝2·α/π为FRFT的阶次，α为旋转角度，F_p[·]为FRFT算子符号，K_p(t，u)为FRFT的变换核：

$K_p(t,u)=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{\frac{1-j·\cot \alpha }{2\pi }}·\exp (j·\frac{t^2+u^2}{2}·\cot \alpha -j·u·t·\csc \alpha )& \alpha \ne \mathrm{n\pi }\\ \delta (t-u)& \alpha =2\mathrm{n\pi }\\ \delta (t+u)& \alpha =(2n\pm 1)\pi \end{array}\right)---\left(2\right)$

FRFT的逆变换为：

$x\left(t\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{X}_p\left(u\right)·K_{-p}(t,u)\mathrm{du}---\left(3\right)$

在实际应用中处理离散信号时，需要使用离散分数阶傅里叶变换(DFRFT)。目前，DFRFT算法主要有三种类型：离散采样型、线性组合型以及特征分解型。离散采样型算法具备可逆性和快速算法，计算精度较高，同时可以写成闭式解的形式，但是失去分数阶傅里叶变换特有的阶次旋转相加性；线性组合型及特征分解型DFRFT算法虽然可以满足分数阶傅里叶变换的阶次旋转相加性，但是，线性组合型算法计算精度较低、特征分解型算法不能写为闭式解的形式。在分数阶傅里叶域滤波器组的设计与分析中，需要采用的DFRFT具有计算精度高，可写成闭式解形式的特点。又分数阶傅里叶域滤波器组理论在某一特定阶次分数阶傅里叶域中对信号进行分析，因此阶次旋转相加性并不必要，所以采用的DFRFT算法不必具备阶次旋转相加性。因此，在本发明设计中，我们采用Soo-Chang Pei在2000年提出的直接采样型DFRFT快速算法。该算法在保持同分解型快速算法变换精度和复杂度相当的情况下(计算复杂度为O(Nlog₂N)，N为采样点数)，通过对输入输出采样间隔的限定，使DFRFT的变换核保持正交性，从而可以在输出端比较精确的通过逆离散变换恢复原序列。

对分数阶傅里叶变换的输入输出信号分别以间隔Δt和Δu进行采样，当分数阶傅里叶域的输出采样点数M大于等于时域输入采样点数N，并且采样间隔满足

Δu·Δt＝|S|·2π·sinα/M                              (4)

其中|S|是与M互质的整数(常取为1)，DFRFT可以表示为：

其中$A_{\alpha }=\sqrt{\frac{\sin \alpha -j·\cos \alpha }{N}},$D为整数。

另外，由于本发明研究的分数阶傅里叶域系统输入输出关系针对的是有限长信号，因此，我们使用分数阶圆周卷积定理来表示该关系。分数阶圆周卷积定理指出：

时域上两个周期为N的序列p阶分数阶圆周卷积对应于它们p阶离散分数阶傅里叶变换的乘积再乘以一个线性调频信号，即

$F_p\left[x_1\left(n\right)\underset{p}{\overset{N}{\otimes }}{x}_2\left(n\right)\right]=X_{1,p}\left(m\right)X_{2,p}\left(m\right)e^{-j\frac{1}{2}\cot \alpha m^2{\mathrm{\Delta u}}^2}---\left(6\right)$

其中

$x_1\left(n\right)\underset{p}{\overset{N}{\otimes }}{x}_2\left(n\right)=\left[{\tilde{x}}_1\left(n\right)\underset{p}{\otimes }{\tilde{x}}_2\left(n\right)\right]R_N\left(n\right)$

      $=\sqrt{\frac{\sin \alpha -j\cos \alpha }{N}}{e}^{-j\frac{1}{2}\cot {\mathrm{\alpha n}}^2{\mathrm{\Delta t}}^2}\underset{i=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}{x}_1\left(i\right)e^{j\frac{1}{2}\cot \alpha ·i^2{\mathrm{\Delta t}}^2}{x}_2{\left((n-i)\right)}_{p,N}{R}_N\left(n\right)e^{j\frac{1}{2}\cot \alpha ·{(n-i)}^2{\mathrm{\Delta t}}^2}$

((·))_p，N表示p阶分数阶傅里叶域的N点chirp周期延拓，R_N(n)表示为

根据分数阶圆周卷积定理，若分数阶傅里叶域滤波器组的输出信号可以表示为其输入信号x(n)与δ(n)的p阶N点分数阶圆周卷积的形式，即

$\hat{x}\left(n\right)=c·x\left(n\right)=c·\left[x\left(n\right)\underset{p}{\overset{N}{\otimes }}\delta \left(n\right)\right]$

那么，我们称该滤波器组为分数阶傅里叶域准确重建滤波器组。

分数阶傅里叶域M通道滤波器组如图3所示，假设信号在时域的采样间隔为Δt，由分数阶圆周卷积定理及分数阶傅里叶域滤波器组的准确重建条件可以得到

$e^{-j\frac{1}{2}\cot \alpha {\left(\mathrm{k\Delta u}\right)}^2}\mathrm{diag}{\left\{e^{j\cot \alpha (2\mathrm{mL}-m^2{L}^2){\mathrm{\Delta u}}^2}\right\}}_{m=\mathrm{0,1},···,M-1}{\left\{H_{l,p}{\left((k-\mathrm{mL})\right)}_{N,p}{R}_N\left(k\right)\right\}}_{l,m=\mathrm{0,1},···,M-1}{\left\{G_{l,p}\left(k\right)\right\}}_{l=\mathrm{0,1},···,M-1}$

                                  $={\left(\begin{array}{cccc}1& 0& ···& 0\end{array}\right)}^T$

假设h₀(n)，h₁(n)，...，h_M-1(n)和g₀(n)，g₁(n)，...，g_M-1(n)分别为傅里叶域M通道准确重建滤波器组的分析滤波器和综合滤波器其在时域的采样间隔为Δt，那么设图3中p阶分数阶傅里叶域准确重建滤波器组的分析滤波器h_l，p(n)和综合滤波器g_l，p(n)由下面两个式子得到

$h_{l,p}\left(n\right)=h_l\left(n\right)e^{-j\frac{1}{2}\cot {\mathrm{\alpha n}}^2{\mathrm{\Delta t}}^2}---(7.a)$

$g_{l,p}\left(n\right)=g_l\left(n\right)e^{-j\frac{1}{2}\cot {\mathrm{\alpha n}}^2{\mathrm{\Delta t}}^2}---(7.b)$

其中α＝pπ/2，l＝0，1，…，M-1。通过分数阶圆周卷积定理及分数阶傅里叶域抽样率转换理论的分析可以知道，由h_0，p(n)，h_1，p(n)，...，h_M-1，p(n)和g_0，p(n)，g_1，p(n)，...，g_M-1，p(n)构成的滤波器组为分数阶傅里叶域准确重建滤波器组。因此，分数阶傅里叶域准确重建滤波器组中的各滤波器可以由傅里叶域准确重建滤波器组中对应的滤波器乘以相应的chirp基得到。

对于N x N大小的图像，根据所受攻击的不同类型，选取采用DFRFT的最优变换阶次和时域采样间隔组合。进行水印嵌入时，先采用N点长分数阶傅里叶域两通道分析滤波器组{h_l，p(n)}_l＝0，1对图像的行、列两维元素进行多分辨率分析，再采用N/2点长两通道分析滤波器组{h_l，p(n)}_l＝0，1对V₀₀的行、列两维元素进行分数阶傅里叶域多分辨率分析，提取出VV₁₀子带，按照一定的准则进行水印嵌入，再通过N/2点长两通道综合滤波器组{g_l，p(n)}_l＝0，1和N点长两通道综合滤波器组{g_l，p(n)}_l＝0，1实现嵌入水印子带的综合，完成数字水印的嵌入。在提取水印时，采用与嵌入水印过程相同的分数阶傅里叶域分析滤波器组，提取出嵌水印图像的VV₁₀子带，采用与嵌入规则相对应的提取规则，提取出水印，完成版权的认证。

基于上述的基本理论，本发明设计的技术方案如下：

本发明的一种基于分数阶傅里叶域滤波器组的数字水印技术是选择离散采样型离散分数阶傅里叶变换和分数阶圆周卷积定理作为基本工具，利用由傅里叶域准确重建滤波器组乘以线性调频信号得到的分数阶傅里叶域准确重建滤波器组对图像进行分数阶傅里叶域多分辨率分析，通过对所采用离散分数阶傅里叶变换阶次和采样间隔的选择来提高水印针对各种常见攻击的稳健性。

本发明的一种基于分数阶傅里叶域滤波器组的数字水印技术，具体分为嵌入和提取两部分；

实现嵌入的步骤如下：

(一)根据图像所在的不同环境，选择最优的分数阶傅里叶域阶次和时域采样间隔组合，设计树状级联的分数阶傅里叶域滤波器组；

(二)采用由嵌入步骤(一)所得的最优阶次分数阶傅里叶域分析滤波组对图像的行、列两维进行多分辨率分析，将图像分解为分数阶傅里叶域多分辨率子带结构；

(三)将水印信息按照量化准则嵌入到由嵌入步骤(二)分解而得的VV₁₀子带中，得到嵌水印子带

(四)采用由嵌入步骤(一)所得的最优阶次分数阶傅里叶域综合滤波器组对嵌入步骤(三)中嵌入水印后的图像行、列两维子带进行综合，获得嵌水印图像；

实现提取的步骤如下：

(一)采用与嵌入步骤相同的最优阶次分数阶傅里叶域分析滤波器组对图像的行、列两维进行多分辨率分析，提取出嵌水印子带；

(二)利用与嵌入步骤(三)相对应的水印提取算法从提取步骤(一)所得子带中提取出稳健水印信息，与正确的版权信息相比对，进行版权的证明。

有益效果

①本发明提出的数字水印设计技术对图像行、列二维元素在分数阶傅里叶域进行多分辨率分析，改善了现有基于分数阶傅里叶变换数字水印技术无法实现有意义水印嵌入的缺点，实现了分数阶傅里叶域有意义水印的嵌入；

②本发明提出的数字水印设计技术采用了DFRFT作为基本工具，相对于基于传统小波理论的数字水印技术增加了变换阶次和时域采样间隔两个变换参数，提高了水印的安全性；

③本发明提出的数字水印设计技术利用最优阶次分数阶傅里叶域滤波的思想，相对于基于小波的数字水印技术，可以在不降低水印不可见性的前提下，提高水印针对各种常见攻击的稳健性。

附图说明

图1—基于分数阶傅里叶滤波器组的数字水印嵌入结构图；

图2—数字图像分数阶傅里叶域子带划分结构图；

图3—分数阶傅里叶域M通道滤波器组；

图4(a)—原始图像、(b)—二值水印图像；(c)—嵌水印图像；

图5—嵌水印图像PSNR值变化曲线；

图6—噪声攻击后的嵌水印图像；

图7—剪切攻击后的嵌水印图像。