一种图像薛定谔变换方法及其应用

具体实施方式

本发明通过研究量子力学基本方程——薛定谔方程，发明了一种新的图像处理与分析方法——图像的薛定谔变换，图像的薛定谔变换可以应用于图像边缘检测、目标轮廓提取、图像平滑、图像增强、图像修描和图像复原等方面。

基于量子力学的目标轮廓提取方法必须确定粒子从一点X_a运动到另一点X_b的概率P(b，a)，而此概率与粒子的传播子K(b，a)有关。K(b，a)表示一个从点到点的传播子(KernelPropagator)，是端点间所有路径的贡献之和。梯度图像与传播子K(b，a)之间的关系是基于量子力学的目标轮廓提取方法中最为关键的问题，为此，定义它们之间的关系为图像的薛定谔变换。

粒子的传播子K(b，a)描述了粒子的运动规律(即统计规律)。对于一些简单的拉氏函数，费曼(Feynman)和希比斯(Hibbs)用路径积分的方法可计算出粒子的传播子K(b，a)。但对于复杂的拉氏函数，粒子传播子K(b，a)的计算则是很困难的。用粒子在时刻t点x(黑体字表示矢量，下同)处的波函数u(x，t)代替粒子的传播子K(b，a)。则u(x，t)满足以下的薛定谔方程：

$\bar{h}i·\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{{\bar{h}}^2}{2M}(\frac{{\partial }^{2}u}{{\partial x}^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{{\partial y}^2})+V(x,t)u(x,t)---\left(1\right)$

其中h＝h/2π＝1.054×10^-27crg·s，h为普朗克(Planck)常数，i为虚数单位，t为时间，M为质量，x和y为点x的坐标，V(x，t)表示势场。

在经典力学中，牛顿定律描述了物体的运动规律。而按量子力学的观点，粒子的运动规律是由粒子的传播子u(x，t)所满足的薛定谔方程来描述。

将方程(1)改写为下面的初值问题：

两边取傅立叶变换，得：

其中u_t表示对时间求偏导，a为常数参量，y为傅立叶变换后的位置变量，表示x处的初值(即图像原始的灰度分布函数)，*表示函数的卷积，^表示函数的傅立叶变换。当势场v(x)＝0时，及u(x，t)均有比较简单的解析解，分别为(4)式和(5)式：

当v(x)≠0时，u(x，t)及也有形式上的解析解，但计算公式相当复杂，无法用于数值解的计算。下面，给出图像的薛定谔变换定义。

图像u(x，t)在势V(x，t)下的薛定谔变换(Schrodinger Transform of Image)定义为初值问题(2)的解，当v(x)＝0时称变换为I-型薛定谔变换，当v(x)≠0时称变换为II-型薛定谔变换。

设图像及势v(x)的大小均为m×n(m为长度，n为高度)，则二维离散薛定谔变换可以用其傅立叶变换所满足的微分方程(6)来表示：

其中→表示矩阵的行拉直，是m×n矩阵的行拉直得到的mn维列向量，mn×mn矩阵|y|是对角矩阵，对角线元素表示距离。mn×mn矩阵V是分块循环矩阵(7)，

$V=\left(\begin{array}{cccc}{V}_0& V_{m-1}& ···& V_1\\ V_1& V_0& ···& V_2\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ V_{m-1}& V_{m-2}& ···& V_0\end{array}\right),---\left(7\right)$

其中V_j是由的第j行产生的n阶循环矩阵，即

$V_j=\left(\begin{array}{cccc}v(j,0)& v(j,n-1)& ···& v(j,1)\\ v(j,1)& v(j,0)& ···& v(j,2)\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ v(j,n-1)& v(j,n-2)& ···& v(j,0)\end{array}\right),---\left(8\right)$

方程(6)的解为

如果矩阵V+a|y|²可以对角化，并且V+a|y|²＝P^-1DP，则

其中P为可逆矩阵，D＝Diag(d₁，d₂，…，d_mn)为对角阵。当v(x)＝0时，方程(10)退化为方程(4)。

本发明主要采用I-型薛定谔变换，其变换步骤包括：

1)将大小为m×n的图像从计算机存储装置中提取，获取其灰度分布函数I(x，y)，并给定常数at，其中x和y为位置坐标；

2)通过计算机上运行的计算软件(如matlab)，构造一个m×n的距离矩阵D＝(d_pq)，其中d_pq＝(p-m/2)²+(q-n/2)²，将距离矩阵中的距离中心移至图像的中心，是因为在matlab中计算傅立叶变换时，低频分量是在图像的中心；

3)计算I-型薛定谔变换的传递函数H＝(h_pq)，其中

4)计算I(x，y)的傅立叶变换

5)根据下式计算传播子u(x，y，t)的的傅立叶变换

$\hat{u}=H\hat{I};$

6)计算的傅立叶逆变换并取模，即可得传播子u(x，y，t)；

7)根据传播子u(x，y，t)，重建变换后的图像，并将之存入计算机的存贮装置。

注意：在实际使用时，可以根据使用的需要选择合适的参数at。对于较小的参数at，可以直接根据上面步骤计算薛定谔变换，而对于较大的参数at有时需要通过使用多次薛定谔变换(每次变换使用较小的参数at)来实现，这样可以避免用较大的参数at带来的影响。

图像的薛定谔变换可以用日常生活中一些常见现象来解释，一粒小石子掉进池塘里，泛起水波，水波以小石子的落点为圆心向四周传播开来，水波的能量是以水波的形式传播，等同于波函数向内和向外两个方向传播(图像能量的向内向外传播)。水波的能量越大，传播的越远；时间越长，水波传播的越远。这与薛定谔变换何其相似，图像的能量越大(相对背景来说)，单位时间内往外扩散的范围越大；薛定谔变换反应的时间越长，反应后的图像和原图像分离的越远。

图像的薛定谔变换的作用是可以将一副静态图像变“活”，活动的是图像灰度有显著变化的地方(即边缘部分)，而图像的背景则保持不变。通过图像的薛定谔变换，可以将图像的背景和目标分离开来。

下面的几个实验进一步解释了图像薛定谔变换的意义及作用。图1给出了一个圆环图像经I型-薛定谔变换后的图像，其中：图1(a)原图像，图1(b)at＝0.00001，图1(c)at＝0.00005，图1(d)at＝0.0005，图1(e)at＝0.001。

图2是一个不规则封闭曲线的图像经I型-薛定谔变换后的图像，其中：图2(a)原图像，图2(b)at＝0.00001，图2(c)at＝0.00005，图2(d)at＝0.0005，图2(e)at＝0.001。

图1和图2的两组实验结果表明变换后的图像是原始图像向内收缩和向外传播后的结果，也就是波函数向内和向外两个方向传播，在传播过程中还会产生干涉现象，并且当at越大干涉现象越明显。当at较小时，干涉现象不明显，但边缘部分还是有一定的位移，因此可以通过将薛定谔变换后的图像与原始图像叠加来增强图像的边缘。

这两组实验结果还表明，利用薛定谔变换也可以估计粒子在一定的时间范围内运动的轨迹范围，在较短时间范围内，它只能在两个内外两条轮廓形成的带形区域内部活动，而不会运动到带形区域的外部，并且由于P(b，a)＝|K(b，a)|²，图像的薛定谔变换可以作为粒子从一点运动到另一点的概率的估计值，由此，利用量子轮廓模型可以提取目标轮廓。这两组实验结果及薛定谔变换的意义也表明量子轮廓模型得到的轮廓虽然是“之”字形，但它是围绕在目标的实际轮廓上，系统偏差较小。

同时图像的薛定谔变换不仅能够加宽图像的边缘，而且能对图像进行修描。

图3是小圆盘的I型-薛定谔变换，其中：图3(a)原图像，图3(b)at＝0.00001，图3(c)at＝0.00005，图3(d)at＝0.0005，图3(e)at＝0.001。当at＝0.00005和at＝0.00001时，和原图像相比，经过薛定谔变换后的圆点图像变模糊了，可见图像的薛定谔变换能模糊图像。当at＝0.0005和at＝0.001时，和原图像相比，经过薛定谔变换后的圆点图像向四周发散，这是由于图像能量由高向低传播的结果。可见图像的薛定谔变换能够显示图像能量的传播方向和轨迹。

图4是一幅扇子图像的梯度图像的I型-薛定谔变换，其中：图4(a)原图像，图4(b)at＝0.00001，图4(c)at＝0.00005，图4(d)at＝0.0005，图4(e)at＝0.001。当at＝0.00005和at＝0.00001时，和原图像相比，经过薛定谔变换后扇子及梅花边缘明显得到增强，因此使用较小的参数at可以利用图像的薛定谔变换对图像进行增强同时，既不会增大图像的噪声也不会使图像变模糊。当at＝0.0005和at＝0.001时，和原图像相比，经过薛定谔变换后的图像边缘出现了重影，并且重影是围绕在真实的边缘，也就是出现了两个与原始边缘相似的一大一小的两个边缘，其相似程度手工是难以完成。

图5给出了利用薛定谔变换进行图像边缘检测的实验结果，其中图5(a)、图5(b)、图5(c)是原始图像，图5(d)、图5(e)、图5(f)分别是其图像边缘检测的结果。图6是扇子图像的各种边缘检测算子对比实验结果，其中：图6(a)薛定谔变换高通滤波器，图6(b)Robert算子，图6(c)Prewitt算子，图6(d)Sobel算子，图6(e)Canny算子，图6(f)Laplace算子。实验结果表明，与传统的边缘检测算子相比，利用薛定谔变换设计出的高通滤波器既能较好地检测出图像的边缘，同时又没有增加图像的噪声。事实上，利用薛定谔变换设计出的滤波器既考虑了图像局部特征，又考虑了图像的整体特征，有较好的滤波效果。

图7是一幅扇子图像用不同方法进行平滑后的结果，其中：图7(a)原始图像，图7(b)用薛定谔变换平滑后的图像，图7(c)3×3平滑图像，图7(d)5×5平滑图像。图8是Lena图像用不同的低通滤波器平滑后的效果，其中：图8(a)原始图像，图8(b)薛定谔低通滤波，图8(c)巴特沃斯低通滤波，图8(d)理想低通滤波，图8(e)3*3图像平滑。由实验结果可以看出，用薛定谔变换平滑后的图像既平滑了图像，又不至于使边缘和细节有明显的模糊。

为评价所提出的方法提取目标轮廓的效果，图9给出了人工图像和真实图像两组实验，其中：图9(a)原始人工图像，图9(b)目标的内部点(白色像素)，图9(c)目标的外部点(白色像素)，图9(d)提取的轮廓。图9是一幅含有三个目标的人工图像，实验结果表明，图像的薛定谔变换是图像中高能量向低能量传播的结果，它能图像中的目标从背景中分离再来，并且能提取出目标的内部和外部区域(见图9(b)和(c))，从而准确地提取图像中多个目标的轮廓(见图9(d))。

综上所述，图像的薛定谔变换是原始图像向内收缩和向外传播后的结果，也就是波函数向内和向外两个方向传播，变换后的图像是原始图像向内收缩或向外传播后的结果。at是薛定谔变换的时间，即是粒子离开边缘的时间，at越大，即薛定谔变换反应的时间越长，图像往外扩的越多，能量往外振动的越多，图像的内外部分离的越大，越能显示图像内外部的差异。反之，at越小，即薛定谔变换反应的时间越短，图像往外扩的越少，能量往外振动的越少，图像的内外部分离的越小，图像的内外部差异越不明显。可见，薛定谔变换可以用来显示图像内外部的差异。由于at取值可以人为控制，不同图像差别很大，通过选择合适的at值可以针对不同的图像得到不同的效果。以上实验证明，根据需求不同，选择不同的参数at，利用相应的薛定谔变换可以得到较理想的效果。