一种图像Ⅱ型薛定谔变换方法

具体实施方式

下面所举的实施例将有助于理解本发明。 

本发明给出了一种图像II-型薛定谔变换的两步实现方法，第一步在图像频域中实现，第二步在图像空域中实现，避免了大矩阵的对角化，计算量及计算时间大大减少，图像的II-型薛定谔变换可以应用于图像分割、目标轮廓提取等方面。 

基于量子力学的目标轮廓提取方法必须确定粒子从一点X_a运动到另一点X_b的概率P(b，a)，而此概率与粒子的载流子K(b，a)有关，梯度图像与载流子K(b，a)之间的关系是基于量子力学的目标轮廓提取方法中最为关键的问题，为此，定义它们之间的关系为图像的薛定谔变换。 

用粒子在时刻t点x处的波函数u(x，t)代替粒子的载流子K(b，a)。则u(x，t)满足以下的薛定谔方程： 

$\bar{h}i·\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{{\bar{h}}^2}{2m}(\frac{{\partial }^{2}u}{{\partial x}^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{{\partial y}^2})+V(x,t)u(x,t),---\left(1\right)$

其中 h为planck(普朗克)常数，i为虚数单位，t为时间，m为质量，x和y为点x的坐标，V(x，t)表示势场。 

在经典力学中，牛顿定律描述了物体的运动规律。而按量子力学的观点，粒子的运动规律是由粒子的载流子u(x，t)所满足的薛定谔方程来描述的。 

将方程(1)改写为下面的初值问题： 

其中，u_t表示对时间求偏导，a为常数产量， 表示x处的初值(即图像原始的灰度分布函数)， 

图像 在势v(x)下的薛定谔变换(Schrodinger Transform of Image)定义为初值问题(2)的解，当势场v(x)＝0时称变换为I-型薛定谔变换，当v(x)≠0时称变换为II-型薛定谔变换。 

设图像 及势v(x)的大小均为m×n(m为长度，n为高度)，则二维离散薛定谔变换可以用其傅里叶变换所满足的微分方程(3)来表示： 

其中→表示矩阵的行拉直， 是m×n矩阵 的行拉直得到的mn维列向量，mn×mn矩阵|y|是对角矩阵，对角线元素表示距离。mn×mn矩阵V是分块循环矩阵(4)， 

$V=\left(\begin{array}{cccc}{V}_0& V_{m-1}& L& V_1\\ V_1& V_0& L& V_2\\ M& M& M& M\\ V_{m-1}& V_{m-2}& L& V_0\end{array}\right)---\left(4\right)$

其中V_i是由 的第i行产生的n阶循环矩阵，即 

$V_i=\left(\begin{array}{cccc}v(i,0)& v(i,n-1)& L& v(i,1)\\ v(i,1)& v(i,0)& L& v(i,2)\\ M& M& M& M\\ v(i,n-1)& v(i,n-2)& L& v(i,0)\end{array}\right),---\left(5\right)$

方程(3)的解为 

如果矩阵V+a|y|²可以对角化，并且V+a|y|²＝P^-1DP，则 

其中P为可逆矩阵，D＝Diag(d₁，d₂，L，d_mn)为对角阵。当v(x)＝0时，方程式(7)退化为I-型离散薛定谔变换。 

中国发明专利公开文件CN101697227A，给出了一种图像薛定谔变换方法及其应用，其给出了I-型离散薛定谔变换u_I(x，t)的实现方法。但是，直接利用方程式(7)实现II-型离散薛定谔变换就要对一个mn×mn矩阵V进行对角化，这样做计算量太大，并且在对一幅图像进行II-型离散薛定谔变换时，不是仅作一次薛定谔变换，而是要连续多次，计算所花的时间无法承受。 

而本发明给出了一种图像II-型薛定谔变换的两步实现方法，其中，第一步在图像频域中实现I-型离散薛定谔变换，第二步在图像空域中实现，避免了大矩阵的对角化，计算量及时间大大减少，理由如下： 

因为距离矩阵|y|²是对角矩阵，与分块循环矩阵可交换，所以可改写(6)式为 

上式中的 实际上就是图像 的I-型离散薛定谔变换u_I(x，t)的傅里叶变换。分块循环矩阵V是可以对角化，令V＝P^-1DP，则 

于是 

由分块循环矩阵对角化过程知道 实际上就是对 进行逆变换，即 为图像的II-型离散薛定谔变换，而 为图像 的I-型离散薛定谔变换，于是(10)式可以改写为： 

u(x，t)＝e^-itv(x)u_I(x，t)，                                    (11) 

实际上，直接从方程式(2)也可以得到类似的近似计算结果，当a，t较小，可以把方程式(2)拆成两个简单的偏微分方程： 

$\left(\begin{array}{c}i·u_t=v\left(x\right)u\\ u{|}_{t=0}=u_I\left(x\right),\end{array}\right)---\left(13\right)$

其中u_I(x)为初值问题(12)的解，也即为图像 的I-型离散薛定谔变换。 

本发明主要采用II-型薛定谔变换，其变换步骤包括： 

一种图像II型薛定谔变换方法，包括有以下步骤： 

1)将大小为m×n的图像从计算机存储装置中提取，获取其灰度分布函数I(x)，并令并令图像II型薛定谔变换势函数v(x)＝-J·I(x)，其中J为虚数单位； 

2)创建一个大小为m×n的二值图像 图像 中只有一矩形是白色，其余均为黑色，此矩形对应于图像v(x)中某目标的内部区域中； 

3)给定常数a和t； 

4)在频域中计算图像 的I-型离散薛定谔变换 包括有以下步骤：a)通过计算机上运行的计算软件(例如matlab)，构造一个m×n的距离矩阵D＝(d_pq)，其中d_pq＝(p-m/2)²+(q-n/2)²，将距离矩阵中的距离中心移至图像的中心，是因为在matlab中计算付里叶变换时，低频分量是在图像的中心；b)计算I-型薛定谔变换的传递函数H＝(h_pq)，其中 J为虚数单位；c)计算 的傅立叶变换 d)根据下式计算传播子 的的傅立叶变换 e)计算 的傅立叶逆变换并取模，即得 

5)在空域中利用公式 计算II-型离散薛定谔变换u(x，t)； 

6)用图像u(x，t)的灰度平均值作为门限对图像u(x，t)进行二值化得二值图像u₁(x，t)； 

7)令 则u₂(x，t)为经一次II型薛定谔变换后得到的目标区域； 

8)若u₂(x，t)与 没有变化，或者用户选择了中止程序，则退出程序，u₂(x，t)即为最后提取的目标图像，否则 跳转到步骤4)。 

注意：在实际使用时，可以根据使用的需要选择合适的参数at。对于较小的参数参数at，可以直接根据上面步骤计算薛定谔变换，而对于较大的参数at有时需要通过使用多次薛定谔变换(每次变换使用较小的参数at)来实现，这样可以避免用较大的参数at带来的影响。 

另外，可以根据实际的需要选择不同的初始图像 和势图像v(x)，例如为了得到图像I(x)中某一个目标的完整区域，初始图像 可以定为与I(x)大小相同的一个二值图像，其中与I(x)目标区域内部一小方块对应的像素全部为白色，其余的像素全部为黑色(如图)，而为了保证在作薛定谔变换时，不会越过目标边界，可以选择v(x)＝-J·I(x)或者v(x)＝-J·G(I(x))，其中G(I(x))为I(x)的梯度图像。 

下面的两个实验给出如何利用图像的II型薛定谔变换进行目标区域的分割。实验中使用的主要参数：t＝0.03，at＝0.0002，在一个周期内，I-型薛定谔变换(即步骤4)中的a)至e))连续执行10次，每次使用的参数at＝0.00002；实验中对初始轮廓的选择要求不高，只要在目标区域内或者外面即可；两个实验均是在目标区域检测过程目标区域不再发生变化的情况下停止的，没有进行人工干预。 

图1给出了一个含有三个目标的人工图像的分割结果，图像大小为256×256，图中四幅图像图1(a)、图1(b)、图1(c)和图1(d)分别为原始图像I(x)，势图像v(x)，初始目标区域图像以及经II型薛定谔变换多次变换后得到的最终目标图像。 

图2给出了一幅扇子图像目标分割结果，图像大小为256×256，图中四幅图像图2(a)、图2(b)、图2(c)和图2(d)分别为原始图像I(x)，势图像v(x)，初始目标区域图像以及经II型薛定谔变换多次变换后得到的最终目标图像。 

这两组实验结果表明，利用II型薛定谔变换对图像进行演化可以实现对目标的分割，并且对初始轮廓的选择要求不高，只要在目标区域内或者外面即可。