周期性非均匀介质波导特征模分析的七点频域有限差分方法

技术领域

本发明属于毫米波集成电路技术领域，涉及电磁场数值分析中的不均 匀介质分析方法，是基于频域有限差分方法以及周期性边界条件对非均匀 介质波导传播模式的分析，结合介质分界面边界条件以及三维空间离散建 立特征方程，可用于周期性毫米波集成电路中非均匀介质波导的模式分析， 从而指导其系统设计，本发明具体是一种周期性非均匀介质波导特征模分 析的七点频域有限差分方法。

背景技术

毫米波技术、系统及应用是工业界、学术界以及商业界长期以来最为 关注的领域之一。其工作频段介于微波及光波之间，兼有二者的优点，同 时又有其独特的特点。相对于微波波段，毫米波具有极宽的带宽，对于目 前日趋紧张的频率资源显得尤为引人注目；与此同时，毫米波天线具有极 窄的波束宽度，因此可以提供更高的空间分辨率；最为重要的是，毫米波 器件体积极小，其系统更易小型化、集成化，同时也带来了质量轻的特点， 提高其便携性。而相对于光波，毫米波穿透雾、烟、灰尘的能力强，具有 全天候全天时的特点。

正是因为这些特点，毫米波技术得到了广泛的应用，诸如可以提供更 为细节信息的安检系统，可用于提高制药、材料工艺等其它技术的高精度 分谱技术，高安全性的地面通信系统，高效的星际通信系统，高精度汽车 防撞雷达系统，等等其它与民生息息相关的领域；与此同时，毫米波技术 在国防领域也有着重要的应用，诸如可与微波雷达互补的毫米波雷达，高 抗干扰能力的制导系统等等。虽然毫米波电路具有小型化的天生优势，但 相对于已有完善理论体系的微波电路，毫米波集成电路的理论体系尚不完 善，迫切需要能够完成复杂电路工作模式分析的技术。

工程技术人员常用的商业软件虽然能够实现对复杂毫米波电路的场分 析，但大多只能提供给定激励模式下沿传输线的场分布或者网络参数，难 以提供特征模式的分析。因此，有众多学者和机构基于计算电磁学技术， 开展了针对毫米波集成电路传输线结构的特征模式分析。目前已开展的研 究多是基于均匀介质传输线，或者横截面非均匀传输线，然而目前毫米波 集成电路中广泛应用的基片集成波导结构以及基片集成介质波导结构都是 在传播方向上存在介质不均匀，虽然有学者开展过此类结构的模式分析， 但都基于主模分析，无法分析多模问题。Karlhein等人在 Finite-Difference Analysis of Rectangular Dielectric Waveguide  Structures文章中提出采用五点差分技术实现分层介质的模式分析，但无 法适用于延传播方向非均匀的结构。Xu Feng等人在Equivalent Resonant  cavity model of periodic guide-wave structures and its application  in finite difference frequency domain algorithm一文中提出采用等效 谐振腔模型结合频域有限差分方法分析周期性金属介质混合非均匀结构， 但只适用于分析该类结构的主模。

随着毫米波集成技术的发展，多模问题已经是毫米波集成电路亟需解 决的关键问题之一，然而对于沿传播方向存在复杂周期性的非均匀介质结 构，目前尚缺少适用的特征模式分析技术。

发明内容

本发明的目的是克服上述现有技术中存在的问题，提供一种可以分析 类似于基片集成介质波导结构特征模式的方法，使得既能够分析延传播方 向的非均匀结构，也能够分析周期性非均匀结构，能够适用于周期性非均 匀介质边界。

为此，本发明提供了一种周期性非均匀介质波导特征模分析的七点频 域有限差分方法，其技术方案是：周期性非均匀介质波导特征模分析的七 点频域有限差分方法，包含以下步骤：

01)对周期性非均匀介质波导结构在计算机中进行电磁建模：将波导 体放置在直角坐标系中,使波导壁与坐标平面平行,且波导中填充的介质 沿z轴方向呈现周期性,周期为d，建立三维坐标数组记录外形及非均匀介 质分布的三维坐标参数,同时建立介电常数数组记录该波导结构中介电常 数的空间分布；

02)基于三维坐标数组以及介电常数数组对该波导结构进行离散剖分；

03)对传播常数β进行赋初值；

04)选取传播常数β的最大值,判断待分析的传播常数是否小于选取的 最大传播常数，如果满足条件，执行步骤05)，否则跳转至步骤11)；

05)利用Floquet定理在周期性单元沿z轴方向的两个边界面上施加 周期性边界条件：选取周期性非均匀介质波导结构的一个周期性单元作为 分析目标，若周期单元长度为d，单元中传播的电磁场角频率为ω，复传 播常数为γ＝α+jβ，其中α为衰减因子，β为传播常数；由周期性边界条件 可知，其中和 分别为点(x,y,z)处电场强度矢量和磁场强度矢量，且均为周期函 数，即

06)提取等效谐振腔模型：定义复频率ω'＝ω+jαv_g，其中v_g为群速， 利用复频率定义复振幅矢量, 利用步骤02)的离散结果以及步骤05)在z＝0和z＝d面施加周期性边界条件 进一步在周期性单元四壁 施加理想导体边界条件ε_x(l,0,n)＝ε_x(l,M_y,n)＝0，ε_y(0,m,n)＝ε_y(L_x,m,n)＝0，即 可得到将周期性单元等效为谐振腔模型，其内部电磁场满足复频域Maxwell 方程组

07)建立离散FDFD方程组，利用步骤06)结果，将周期性单元内部任 意点P处满足的复频域Maxwell方程组，利用七点差分技术将方程组中的 微分用差分表示，此时可得

其中，下标F、B、L、R、U、D、P分别表示前、后、左、右、上、下及自 身7个节点；遍取周期性单元的所有计算节点，可得矩阵方程其中[x]为计算节点处磁场强度矢量z及x方向的分量，[A]为上式形成的 系数矩阵，显然该矩阵方程为矩阵[A]的特征值方程；

08)提取特征值及特征向量：对步骤07)形成的特征值方程进行特征 值分解，得到矩阵[A]的复特征值及其对应的特征向量[x]；

09)提取实特征频率：利用步骤08)中的复特征值得到实特征频 率其中c为真空中的光速，即c＝3×10⁸m/s；

10)增加传播常数：根据选定的传播常数增量步进，增大传播常数， 增大传播常数后转至步骤04)；

11)建立传播常数随特征频率变化关系，利用步骤05)至09)，得到不 同传播常数下周期性单元所能激励起的所有模式的特征频率，从而得传播 常数与特征频率变化关系的曲线。

上述步骤02)中所述的基于三维坐标数组以及介电常数数组对该波导 结构进行离散剖分，具体是将周期性非均匀介质波导结构剖分为正六面体 单元的组合,若该结构工作在频带f₁～f₂之间，则采用边长不超过λ₂/20的正 六面体单元进行剖分，其中λ₂为f₂所对应电磁波波长；在介电常数发生变化 区域的剖分单元，必须保证顶点位于非均匀介质分界面，剖分单元的顶点 即为计算节点，若该周期性单元在x方向剖分为L_x个单元，在y方向剖分 为M_y个单元，在z方向剖分为N_z个单元，则节点序号从(0,0,0)开始，终止 于(L_x,M_y,N_z)，其间的任意计算节点表示为(l,m,n)，l,m,n分别表示该计算 节点在x、y、z方向上与起始计算节点相距l×d，m×d，n×d；此时可用周期 性单元表面及内部所有计算节点处电场强度及磁场强度离散表示整个周期 性单元的电磁场分布；

上述步骤3)中，当分析传播常数与频率的关系时，取传播常数的初值 为0rad/s。

上述步骤4)中，当分析传播常数与频率的关系时，取传播常数的最大 值为1000rad/s。

上述步骤10)中，当传播常数小于100rad/s时，选择增量步进为10 rad/s，当传播常数大于100rad/s时，选择增量步进为100rad/s。

本发明的有益效果：本发明解决了现有技术无法实现沿传播方向介质 分布非均匀的问题，提供了一种可以分析类似于基片集成介质波导结构特 征模式的方法，既能够分析沿传播方向的非均匀结构，也能够分析周期性 非均匀结构，能够适用于周期性非均匀介质边界。本发明有如下优点：

1)可以分析周期性3维非均匀结构的所有特征模式；

2)具有频域7点差分方法的高效性；

3)可以分析传播模式的传播常数模型。

附图说明

图1周期性非均匀介质波导及周期性单元示意图；

图2发明实施步骤流程图；

图3非均匀介质剖分单元及其相邻单元示意图；

图4非均匀介质剖分节点编码示意图；

图5周期性非均匀介质波导传播常数的七点频域有限差分法分析结果；

图6周期性非均匀介质波导横截面TE10模的电场模值分布结果；

图7周期性非均匀介质波导横截面TE20模的电场模值分布结果；

图8周期性非均匀介质波导横截面TE30模的电场模值分布结果；

图9周期性非均匀介质波导横截面TE40模的电场模值分布结果；

图10周期性非均匀介质波导横截面TE01模的电场模值分布结果；

图11周期性非均匀介质波导横截面TE11模的电场模值分布结果；

图12周期性非均匀介质波导横截面TM11模的电场模值分布结果；

图13周期性非均匀介质波导横截面TE21模的电场模值分布结果；

图14周期性非均匀介质波导横截面TM21模的电场模值分布结果；

图15周期性非均匀介质波导横截面TE31模的电场模值分布结果；

图16周期性非均匀介质波导横截面TM31模的电场模值分布结果。

具体实施方式

以下将结合附图对本发明做进一步详细说明。

如图2所示，本发明提供了一种周期性非均匀介质波导特征模分析的 七点频域有限差分方法，其具体步骤如下：

01)对周期性非均匀介质波导结构在计算机中进行电磁建模，在计算机 中实现对结构的外形参数以及介电常数分布的数据录入：将该波导体放置 在直角坐标系中,使波导壁与坐标平面平行,且波导中填充的介质沿z轴方 向呈现周期性,周期为d，建立三维坐标数组记录外形及非均匀介质分布的 三维坐标参数,同时建立介电常数数组记录该波导结构中介电常数的空间 分布；

02)基于三维坐标数组以及介电常数数组对该结构进行离散剖分：即将 周期性非均匀介质波导结构剖分为正六面体单元的组合,若该结构工作在 频带f₁～f₂之间，则采用边长不超过λ₂/20的正六面体单元进行剖分，其中λ₂为f₂所对应电磁波波长。在介电常数发生变化区域的剖分单元，必须保证 顶点位于非均匀介质分界面，剖分单元的顶点即为计算节点，若该周期性 单元在x方向剖分为L_x个单元，在y方向剖分为M_y个单元，在z方向剖分 为N_z个单元，则节点序号从(0,0,0)开始，终止于(L_x,M_y，N_z)，其间的任意计 算节点表示为(l,m,n)，l,m,n分别表示该计算节点在x、y、z方向上与起始 计算节点相距l×d，m×d，n×d。此时可用周期性单元表面及内部所有计算 节点处电场强度及磁场强度离散表示整个周期性单元的电磁场分布；其中 图3非均匀介质剖分单元及其相邻单元示意图；

03)对传播常数β进行赋初值，在一般情况下，分析传播常数与频率的 关系时，取传播常数的初值为0rad/s即可；

04)选取传播常数β的最大值，在一般情况下，分析传播常数与频率的 关系时，取传播常数的最大值为1000rad/s即可,判断待分析的传播常数是 否小于选取的最大传播常数，如果满足条件，则进行步骤05)，否则跳转至 步骤11)；

05)利用Floquet定理在周期性单元沿z向的两个边界面上施加周期性 边界条件，即选取周期性非均匀介质波导结构的一个周期性单元作为分析 目标，若周期单元长度为d，单元中传播的电磁场角频率为ω，复传播常 数为γ＝α+jβ，α为衰减因子，β为传播常数。由周期性边界条件可知， 其中和分 别为点(x,y,z)处电场强度矢量和磁场强度矢量，且均为周期函数，即

06)提取等效谐振腔模型，即定义复频率ω'＝ω+jαv_g，其中v_g为群速， 利用复频率定义复振幅矢量,此时利用步骤02)离散结果，以及步骤05)在z＝0和z＝d面施加周期性边界 条件进一步在周期性单元 四壁施加理想导体边界条件ε_x(l,0,n)＝ε_x(l,M_y,n)＝0，ε_y(0,m,n)＝ε_y(L_x,m,n)＝0， 即可得到将周期性单元等效为谐振腔模型，其内部电磁场满足的复频域 Maxwell方程组

07)建立离散FDFD方程组，利用步骤06)结果，可以将周期性单元内部 任意点P处满足的复频域Maxwell方程组，利用七点差分技术将方程组中 的微分用差分表示，此时可得

其中，下标F、B、L、R、U、D、P分别表示前(图4F点)后(图4B点)左(图 4L点)右(图4R点)上(图4U点)下(图4D点)及自身(图4P点)7个节 点。遍取周期性单元的所有计算节点，可得矩阵方程其中[x] 为计算节点处磁场强度矢量z及x方向的分量，[A]为上式形成的系数矩阵， 显然，该矩阵方程为矩阵[A]的特征值方程。

08)提取特征值及特征向量，对步骤07)形成的特征值方程进行特征值 分解，可以得到矩阵[A]的复特征值及其对应的特征向量[x]；

09)提取实特征值，利用步骤08)中的复特征值可以得到实特征 频率其中c为真空中的光速，即为3×10⁸m/s；

10)增加传播常数，可选定传播常数增量步进，逐步增加传播常数，一 般当传播常数小于100rad/s时，可以选择增量步进为10rad/s，当传播 常数大于100rad/s时，可以选择增量步进为100rad/s，增大传播常数后 跳转至步骤04)；

11)建立传播常数随特征频率变化关系，利用步骤05)至09)，可以得 到不同传播常数下，周期性单元所能激励起的所有模式的特征频率，从而 得传播常数与特征频率变化关系的曲线。

现针对如图1所示三维非均匀介质结构中电磁波传播模式展开分析， 具体实施时可依据图2流程图开展，首先对周期性结构进行六面体单元的 剖分，对剖分单元的交点进行编号，使其成为计算节点，利用Floquet边 界条件截取周期性结构中的一个周期性单元，参与每个计算节点处场值差 分计算的7个相邻节点如图4所示，通过对计算节点的七点差分实现介质 中电磁场的分析。

依据本发明的实施方案，分析了一个横截面为6.25mm×3mm矩形波导 中填充相对介电常数为9.2介质的结构，介质采用方孔打孔，孔边长为1mm， 孔间距为0.25mm。通过本方案的实施，提取了该填充周期性打孔介质后的 矩形波导中传输的前11个模式的传播常数与频率的关系如图5所示，可以 看出填充非均匀介质后的矩形波导表现出与均匀介质填充波导不同的特性， 该11个模式每个模式的场分布如图6-图16所示。

对于周期性结构，利用周期性边界条件Floquet条件，可以得到电磁 场在传输线周期性单元结构的传输方向两端满足下式，

此处，γ＝α+jβ，α为衰减因子，β为传播常数。和分别为点(x,y,z)处电场强度矢量和磁场强度矢量，均为周期函数，即

进而利用群速v_g，定义复频率,

ω'＝ω+jαv_g

定义复振幅矢量,

进一步在周期性单元的四壁添加理想导体边界条件，使周期性单元等 效为谐振腔，考虑到结构的非均匀性，假定计算节点相邻的八个剖分单元 分别具有不同的介电常数ε_ri，则可以在计算节点上得到磁场应满足的公式，

上式中下标i表示与计算节点相邻的8个剖分单元编号，利用频域有 限差分对上式进行离散，对于单元1可以得到，

上式中，下标P代表计算节点，下标B、L、D分别代表计算节点延-z 方向、-x方向以及-y方向的相邻节点，具体可以参考图4。进而以此类推， 可以得到其余7个单元中磁场所应满足的离散场方程。进一步利用8个剖 分单元相邻12个面的切向电场及磁场连续边界条件，可将场方程中分界面 上的偏微分利用其它节点场值表示出来，最终得到7点频域有限差分公式，

遍取周期性单元的所有计算节点，利用以上两式可以建立周期性非均 匀介质结构磁场在z方向和x方向分量计算的方程组，整理可得关于磁场 方程系数的特征方程，求解即可得到周期性单元的特征频率以及特征模式 场矢量。

本发明能够解决现有技术无法实现沿传播方向介质分布非均匀的问题， 是一种可以分析类似于基片集成介质波导结构特征模式的方法，既能够分 析沿传播方向的非均匀结构，也能够分析周期性非均匀结构，能够适用于 周期性非均匀介质边界。本发明有如下优点：

1)可以分析周期性3维非均匀结构的特征模式；

2)具有频域7点差分方法的高效性；

3)可以分析传播模式的传播常数模型。

本实施方式中没有详细叙述的部分属本行业的公知的常用手段，这里 不一一叙述。以上例举仅仅是对本发明的举例说明，并不构成对本发明的 保护范围的限制，凡是与本发明相同或相似的设计均属于本发明的保护范 围之内。