一种基于3D-MIMO系统带噪信道系数的角度域稀疏波束成形算法

技术领域

本发明属于通信技术领域，具体涉及一种基于3D-MIMO空间信道信息在角度域的稀疏特性，针对带噪信道在角度域上进行3D波束成形优化设计方法。

背景技术

多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)是现代无线通信网络中一项重要的技术，尤其是在多用户MIMO系统中，基站通过波束成形技术能够在同一频谱资源上同时服务多个用户，从而提高系统吞吐量。多用户MIMO系统中存在的关键问题是用户间干扰，通常在基站端通过波束成形预编码来完全消除或按某种准则减小用户间干扰。比较经典的预编码方法包括迫零(ZF)^[1]，块对角化(BD)^[2]，最大信漏噪比(SLNR)^[3]等算法。其中，一种优化波束成形方法^[4][5]能够在满足各个用户服务质量的要求下，最小化基站的发射能量。

上述的波束成形预编码设计常常假设发射端已知完美的信道状态信息(CSI)。但在实际无线通信系统中，由于各种原因(例如估计误差、量化误差、较短的信道相关时间等)，信号发射端得到的信道状态信息往往存在一定误差噪声。信道状态信息的不准确会导致上述波束成形预编码算法性能的严重损失。因此，目前有很多文章^[6]-[8]就基于带噪信道的鲁棒波束成形算法进行了研究。这些研究的主要思想是将各种鲁棒优化理论^[9]-[11]的结果应用到波束成形设计中来。然而这些方法往往会将鲁棒的波束成形设计问题转换成一种半无限(有限的约束变量，无限的约束条件)的优化问题，带来较高的求解计算复杂度。

近年来，3D-MIMO概念越来越受到主流通信系统的重视。3D-MIMO系统充分考虑信号在三维空间的传播特性，相对于传统2D-MIMO系统引入垂直维度空间自由度，大大提高多用户的空间区分度。由于3D-MIMO系统在基站端采用2D天线阵列(均匀面阵、圆阵、L形阵等)，能够同时在水平和垂直维度上区分空间信号的传播方向，3D-MIMO信道系数在角度域上往往存在较强的稀疏特性。

发明内容

本发明的目的在于提供一种求解计算复杂度较低的，基于3D-MIMO系统带噪信道系数的角度域稀疏波束成形算法。

本发明提出的基于3D-MIMO系统带噪信道系数的角度域稀疏波束成形算法，具体步骤为：针对单小区MU-MIMO下行信道系统，将3D波束成形问题建模为最小化基站发射 功率的优化模型(这种优化方法对于理想信道状态信息的依赖非常强)；然后将原问题通过角度域变换转换为角度域上的等价优化问题；再利用3D-MIMO信道的角度域稀疏特性，在波束成形优化问题中添加角度域预编码的l₁范数惩罚项，使得到的角度域预编码满足一定的稀疏性，更加逼近真实的最优角度域预编码的解，从而使系统性能得到提升；最后，把该优化问题通过变量替换转换为二阶锥规划问题，再用凸优化工具求解。

该方法的运算复杂度相较于传统的半无限优化问题大幅降低。同时，仿真结果表明本发明的方法在较大信道噪声误差场景下的系统性能明显优于非鲁棒波束成形算法。

本发明方法进一步具体描述如下：

1、系统模型 

本发明考虑由一个基站和K个用户构成的单小区MU-MIMO下行通信系统。基站离地面高度为h_BS，装备有面阵天线(其水平天线阵元数目为N_h，阵元间距为d_h；垂直天线阵元数目为N_v，阵元间距为d_v)。用户离基站的最小水平距离为R_min，小区半径为R_max，用户均匀分布在小区范围内。假设每个用户的高度均为h_UE，并且只配备有单根天线。整个系统模型如图1所示，其中N_v＝4,N_h＝8。

1.1、3D-MIMO信道模型

本发明考虑一种简化的3D-MIMO信道模型，对于图1所描述的3D-MIMO下行通信系统，由于基站采用了面阵天线，在建立信道模型时需要考虑信号传播路径的俯仰角和方位角，如图2所示。其中，θ∈[0,π/2]表示俯仰角，φ∈[0,π]表示方位角。

考虑对于第k个用户的下行信道。假设共有L条传播路径，第l条径的水平和垂直离开角(Angle of Departure,AoD)分别为和定义垂直维度和水平维度的角度投影分别为${\Omega }_v^{k,l}=\frac{d_v}{\lambda }\cos \left({\theta }_k^l\right)$和${\Omega }_h^{k,l}=\frac{d_h}{\lambda }\sin \left({\theta }_k^l\right)\cos \left({\phi }_k^l\right),$其中d_v和d_h分别为面阵天线阵列的垂直和水平阵元间距，通常取值为半波长，λ为载波波长。于是用户k的信道系数可以表示为：

$H_k={\beta }_{k,0}{e}_v\left({\Omega }_v^{k,0}\right)e_h{\left({\Omega }_h^{k,0}\right)}^T+\underset{l=1}{\overset{L-1}{\Sigma }}{\beta }_{k,l}{e}_v\left({\Omega }_v^{k,l}\right)e_h{\left({\Omega }_h^{k,l}\right)}^T\in C^{N_v\times N_h}---\left(1\right)$

其中，β_k,0和β_k,l分别为视距(Line of Sight,LOS)路径和非视距(NLOS)路径的路 径损耗因子，β_k,0与基站到用户的距离d_k有关。e(Ω_v)和e(Ω_h)分别为均匀面阵天线阵列的垂直和水平导向矢量，其表达式如下：

$\left(\begin{array}{c}{e}_v\left({\Omega }_v\right)=\frac{1}{\sqrt{N_v}}{[1,e^{-j2\pi {\Omega }_v},...,e^{-j2\pi (N_v-1){\Omega }_v}]}^T,\\ e_h\left({\Omega }_h\right)=\frac{1}{\sqrt{N_h}}{[1,e^{-j2\pi {\Omega }_h},...,e^{-j2\pi (N_v-1){\Omega }_h}]}^T.\end{array}\right)---\left(2\right)$

在本发明考虑的3D-MIMO场景中，假设主要的传播路径是直视路径(LOS)，即β_k,0＞＞β_k,l，其中l≥1。于是信道系数可以写为：

$H_k\approx {\beta }_{k,0}{e}_v\left({\Omega }_v^{k,0}\right)e_h{\left({\Omega }_h^{k,0}\right)}^T.---\left(3\right)$

进一步将信道系数改写成向量形式，表达式如下：

$h_k=\mathrm{vec}\left(H_k\right)={\beta }_{k,0}{e}_h\left({\Omega }_h^{k,0}\right)\otimes e_v\left({\Omega }_v^{k,0}\right),---\left(4\right)$

其中，vec(A)表示由矩阵A中的各个列向量依次拼接而成的向量，代表克罗内特积运算符号。

下面，按照文献[12]的方法对信道系数进行角度域变换，可以得到3D-MIMO角度域信道系数如下：

$H_k^a=U_v^H{H}_k{U}_h,---\left(5\right)$

其中，$H_k^a\in C^{N_v\times N_h}$表示角度域上的信道系数矩阵，$U_v\in C^{N_v\times N_v}$和$U_h\in C^{N_h\times N_h}$分别为垂直和水平角度域变换矩阵，其表达式如下：

$\left(\begin{array}{c}{U}_v=[e_v\left(0\right),e_v\left(\frac{1}{N_v}\right),...,e_v\left(\frac{N_v-1}{N_v}\right)],\\ U_h=[e_h\left(0\right),e_h\left(\frac{1}{N_h}\right),...,e_h\left(\frac{N_h-1}{N_h}\right)]\end{array}\right)---\left(6\right)$

其中，U_v中的N_v个波束向量之间相互正交，它们共同构成了垂直角度空间上的一组正交基。类似的，U_h中的N_h个波束向量之间相互正交，它们共同构成了水平角度空间上 的一组正交基。因此，反映了信道能量在这些波束方向上的分布情况。下面给出向量形式的等价信道系数角度域变换：

$h_k^a=U^H{h}_k,$其中$U=U_h^{*}\otimes U_v---\left(7\right)$

图3给出了采用8×64均匀面阵天线阵列时，角度域信道系数的能量分布情况的两个示例。其中，横轴和纵轴分别表示水平和垂直维度天线序号，灰度深浅代表对应位置的角度域信道系数能量的强弱。很容易看到，对于本文考虑的直视信道模型，信道系数能量主要集中在直视方向上，角度域信道系数具有显著的稀疏特性。即便是对于有限多径信道模型，当发射天线数目足够多时，同样也可以认为角度域信道是稀疏的。

1.2、波束成形设计优化模型

本节将介绍一种最小发射功率的波束成形优化问题及其求解方法。首先对于下行传输场景，所有用户同时接收到基站发出的信号，用户k接收到的信号为：

$y_k=h_k^H{w}_k{x}_k+\underset{i=1,i\ne k}{\overset{K}{\Sigma }}{h}_k^H{w}_i{x}_i+n_k,---\left(8\right)$

其中，为用户k的波束成形预编码向量，x_i是用户k的发送信号，满足n_k为噪声并假设其服从复高斯分布于是，用户接收信号的信干噪比(SINR)可以表示为：

${\mathrm{SINR}}_k=\frac{{\left|h_k^H{w}_k\right|}^2}{\underset{i=1,i\ne k}{\overset{K}{\Sigma }}{\left|h_k^H{w}_i\right|}^2+{{\sigma }_k}^2}---\left(9\right)$

本发明用于表征波束成形预编码性能的指标是小区用户和速率，即各个用户的传输速率之和，与各个用户的SINR相关，其表达式如下：

$R_{\mathrm{sum}}=\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\log }_2(1+{\mathrm{SINR}}_k)---\left(10\right)$

下面考虑一种在保证每个用户的SINR门限的前提下，最小化基站的总发射功率的波束成形优化模型^[4][5]，建立优化问题如下：

$\left(\begin{array}{cc}\underset{w_k}{\min }& \underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\left|\right|w_k\left|\right|}^2\\ s.t.& \frac{{\left|{h_k^{H}w}_k\right|}^2}{\underset{i=1,i\ne k}{\overset{K}{\Sigma }}{\left|h_k^H{w}_i\right|}^2+{{\sigma }_k}^2}\ge {\gamma }_k,k=\mathrm{1,2},...,K\end{array}\right)---\left(11\right)$其中，γ_k为用户k的SINR门限。下面考虑优化问题(11)在角度域上的等价表达形式，通过变量代换可以得到下面的等价优化问题：

$\left(\begin{array}{cc}\underset{w_k^a}{\min }& \underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\left|\right|U{w}_k^a\left|\right|}_2^2\\ s.t.& \frac{{\left|{\left(h_k^a\right)}^H{w}_k^a\right|}^2}{\underset{i=1,i\ne k}{\overset{K}{\Sigma }}{\left|{\left(h_k^a\right)}^H{w}_i^a\right|}^2+{{\sigma }_k}^2}\ge {\gamma }_k,k=\mathrm{1,2},...,K\end{array}\right)---\left(12\right)$

其中表示角度域的波束成形预编码，表示角度域的信道系数向量。由于角度域变换矩阵U为酉矩阵，具有保范性，优化目标可以进一步简化为 ${\Sigma }_{k=1}^K{\left|\right|w_k^a\left|\right|}^2.$

优化问题(11)和优化问题(12)具有相同是数学表达形式，其本质上是对同一个优化问题在不同空间(阵列域和角度域)上的表述。它们都可以通过变量替换方法转换为凸优化问题进行求解^[13]。具体来说，以优化问题(11)为例，效用函数显然是关于预编码的凸函数。而针对限制条件SINR_k≥γ_k，可以采取类似文献[5]的变换方法。由于约束条件中的绝对值符号，w_k与完全等价，其中θ_k∈R可以是任意的相位偏转。于是不失一般性，假设的内积结果是一个正的实数，即能够得到 则限制条件SINR_k≥γ_k可以改写为：

其中，W为波束成形预编码矩阵，定义如下：

W＝[w₁,w₂...,w_k].  (14)

于是，优化问题(11)可以转换为下面的二阶锥规划问题(SOCP)：

$\left(\begin{array}{cc}\underset{W,t}{\min }& t\\ s.t.& \left|\right|\mathrm{vec}\left(W\right)\left|\right|\le t\\ & \left|\right|p{h}_k^{H}W,{\sigma }_k\left]\right||\le {\beta }_k{h}_k^H{w}_k,k=\mathrm{1,2},...,K\end{array}\right)---\left(15\right)$

继而可以通过凸优化工具包CVX[14]有效求解该问题。

2、带噪信道的稀疏预编码设计

在下行波束成形预编码设计中常常假设发射端已知完美的信道状态信息(CSI)。但在实际应用中，由于各种原因(例如估计误差、量化误差、较短的信道相关时间等)，信号发射端得到的信道状态信息往往存在一定误差噪声。基于带噪信道状态信息进行的波束成形预编码设计会导致较大的性能损失。本发明利用3D-MIMO信道的角度域稀疏特性，提出一种基于带噪信道系数的波束成形预编码设计方案，在存在较大信道估计误差的情况下有效提升系统性能。

2.1带噪信道模型 

我们采用确定边界的加性噪声来对带噪信道进行建模，更具体地，发射端得到的第k个用户的信道系数的估计值可以表示为：

${\hat{h}}_k=h_k+e_k,\left|\right|e_k\left|\right|\le {\delta }_k---\left(16\right)$

其中，h_k为发射端到第k个用户的真实信道系数，e_k为对应的估计误差，这里假设误差的能量满足||e_k||≤δ_k，δ_k为给定的噪声阈值。这样的建模方法对于在接收端量化信道系数再反馈回发射端的系统来说是十分便利的^[15]。

之后通过角度域变换，可以得到角度域上的带噪信道系数为：

${\hat{h}}_k^a=U^H{\hat{h}}_k=h_k^a+e_k^a---\left(17\right)$

其中，表示角度域上的信道噪声。由于酉矩阵U具有保范特性，所以通过前面的分析我们知道真实的3D-MIMO角度域信道系数具有一定的稀疏特性，但是由于噪声的能量随机均匀分布在各个角度域波束方向上，将不再稀疏。同时根据进行的波束成形预编码设计也将遭受一定的性能损失。

2.2角度域稀疏波束成形设计

根据2.1节的分析，角度域上的信道系数具有较强的稀疏特性(尤其是在发射天线阵元数目较多的场景下)。于是我们试图将优化问题转换到角度域上，并利用角度域信道稀疏这一先验知识来辅助我们进行基于带噪信道的波束成形设计，从而提升波束成形设计的系统性能。

根据前面的带噪信道模型，基于带噪信道的角度域信道波束成形优化问题可以表示为：

$\left(\begin{array}{cc}\underset{w_k^a}{\min }& \underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\left|\right|w_k^a\left|\right|}_2^2\\ s.t.& \frac{{\left|{\left({\hat{h}}_k^a\right)}^H{w}_k^a\right|}^2}{\underset{i=1,i\ne k}{\overset{K}{\Sigma }}{\left|{\left({\hat{h}}_k^a\right)}^H{w}_i^a\right|}^2+{{\sigma }_k}^2}\ge {\gamma }_k,k=\mathrm{1,2},...,K\end{array}\right)---\left(18\right)$

通过2.1节的分析可知真实的角度域信道应该是稀疏的，即3D-MIMO信道系数能量在角度域上只集中在有限的几个波束方向上。因此有理由认为，基于真实的角度域信道系数求解出的角度域预编码也应该具有一定的稀疏性。于是利用其稀疏特性作为先验，本发明提出一种基于带噪角度域信道系数的波束成形预编码优化设计问题如下：

$\left(\begin{array}{cc}\underset{w_k^a}{\min }& \underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\left|\right|w_k^a\left|\right|}_2^2+\lambda \underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\left|\right|w_k^a\left|\right|}_1\\ s.t.& \frac{{\left|{\left({\hat{h}}_k^a\right)}^H{w}_k^a\right|}^2}{\underset{i=1,i\ne k}{\overset{K}{\Sigma }}{\left|{\left({\hat{h}}_k^a\right)}^H{w}_i^a\right|}^2+{{\sigma }_k}^2}\ge {\gamma }_k,k=\mathrm{1,2},...,K\end{array}\right)---\left(19\right)$

可以看到，上述优化问题在传统功率优化目标的基础上增加了预编码的l₁范数惩罚项，从而要求最终的角度域预编码具有一定的稀疏性。λ为一个正的实数，用以调节的稀疏性强弱。套用1.2节的方法可以将该优化问题转换为如下的二阶锥规划问题(凸问题)进行求解：

$\left(\begin{array}{cc}\underset{W^a,t_1,t_2}{\min }& \lambda t_1+{t_2}^2\\ s.t.& {\left|\right|\mathrm{vec}\left(W^a\right)\left|\right|}_1\le t_1\\ & {\left|\right|\mathrm{vec}\left(W^a\right)\left|\right|}_2\le t_2\\ & {\left|\right|[{\left({\hat{h}}_k^a\right)}^H{W}^a,{\sigma }_k]\left|\right|}_2\le {\beta }_k{h}_k^H{w}_k,k=\mathrm{1,2},...,K\end{array}\right)---\left(20\right)$

其中，$W^a=[w_1^a,w_2^a...,w_k^a].$

假设求解优化问题(20)得到的最优解为则原空间的优化预编码为:

$W_k=U{w}_k^a---\left(21\right).$

附图说明

图1：3D-MIMO通信系统。

图2：面阵天线信号传播模型。

图3：3D-MIMO信道角度域稀疏性示例。

图4：带噪信道预编码设计性能。

图5：不同天线配置下系统和速率比较。

具体实施方式

实施例1

一、设实施例的参数

硬件平台：Intel Xeon CPU E5-2643@3.50GHz；32GB内存

操作系统：64位Windows Server 2008R2Enterprise 

仿真软件：MATLAB B2014a

信道模型：见发明内容中的信道模型

基站天线高度：25m

用户天线高度：1.5m

用户与基站最小水平距离：10m

小区半径：250m

基站天线数目(N_v×N_h)：4×8,4×16,8×16,8×32或8×64

基站天线阵元间距：半波长

用户天线数目：1

用户数目：8

Monte Carlo仿真次数：100

采用发明内容中的角度域稀疏波束成形设计方法。

二、仿真结果：

下面对本发明提出的角度域带噪信道的波束成形设计方法进行仿真验证。以8用户下行场景下的小区和速率作为性能指标，基站天线采用4×8面阵，用户端均为单接收天线。

图4显示了在不同信道误差条件下，取不同的角度域预编码稀疏性权重λ时，根据带噪信道求得的波束成形预编码的性能。在λ＝0时，采用的是传统的最小发射功率波束成形算法，此时，小区和速率性能随着信道估计误差的增大而显著下降。而当λ≠0时，在较高的信道估计误差情况下，采用带有角度域预编码的l₁范数惩罚项的优化算法得到的小区和速率具有一定的提升。

图5在δ＝1.4的信道误差场景下，比较了相同发射功率不同天线配置时的系统下行和速率。随着天线数目的增加，基站的空间分辨率增大，波束成形预编码形成的波束具有更强的指向性和针对性，从而使得系统性能得到提升。而本发明的角度域稀疏波束成形算法(λ＝0.1)在各种天线配置场景下均优于传统波束成形算法，且天线数目越大，信道在角度域上的稀疏度越强，角度域稀疏算法的性能越优。

综上所述，本发明的角度域稀疏算法针对基于带噪信道系数的预编码设计，在角度域 波束成形优化问题中添加角度域预编码的l₁范数惩罚项，迫使得到的角度域预编码满足一定的稀疏性，更加逼近真实的最优角度域预编码的解，从而使系统性能得到提升。

参考文献：

[1]Wiesel A,Eldar Y,Shamai S.Zero-Forcing Precoding and Generalized Inverses[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2008,56(9):4409-4418. 

[2]Spencer Q H,Swindlehurst A L,Haardt M.Zero-forcing methods for downlink spatial multiplexing in multiuser MIMO channels[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2004,52(2):461-471. 

[3]Sadek M,Tarighat A,Sayed A H.A Leakage-Based Precoding Scheme for Downlink Multi-User MIMO Channels[J].IEEE Transactions on Wireless Communications,2007,6(5):1711-1721. 

[4]Gershman A B,Sidiropoulos N D,ShahbazPanahi S,et al.Convex Optimization-Based Beamforming[J].IEEE Signal Processing Magazine,2010,27(3):62-75. 

[5]Bjornson E,Bengtsson M,Ottersten B.Optimal Multiuser Transmit Beamforming:A Difficult Problem with a Simple Solution Structure[J].IEEE Signal Processing Magazine,2014,31(4):142-148. 

[6]Vorobyov S A,Gershman A B,Luo Z Q.Robust adaptive beamforming using worst-case performance optimization:A solution to the signal mismatch problem[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2003,51(2):313-324. 

[7]Shenouda M B,Davidson T N.Convex conic formulations of robust downlink precoder designs with quality of service constraints[J].IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing,2007,1(4):714-724. 

[8]Vucic N,Boche H.Robust QoS-constrained optimization of down-link multiuser MISO systems[J].IEEE Transactions on Signal Processing.2009,57(2):714–725.

[9]Ben-Tal A,Nemirovski A.Robust convex optimization.Math.Oper.Res.,1998,23(4):769-805. 

[10]El-Ghaoui L,Oustry F,Lebret H.Robust solutions to uncertain semidefinite programs.SIAM J.Optim.,1998,9:33-52. 

[11]Bertsimas D,Brown D B,Caramanis C.Theory and applications of robust optimization.SIAM Rev.,2011,53(3):464-501. 

[12]Tse David,Viswanath Pramod.Fundamentals of wireless communication[M].Cambridge,U.K.:Cambridge Univ.Press,2005,ch.7. 

[13]Wiesel A,Eldar Y C,Shamai S,Linear precoding via conic optimization for fixed MIMO receivers[J].IEEE Transactions on Signal Processing.2006,54(1):161-176. 

[14]Grant Michael,Boyd Stephen.(2009).CVX:MATLAB software for disciplined convex programming.[Online].Available:http://www.stanford.edu/～boyd/cvx.

[15]Jindal N.MIMO broadcast channels with finite rate feedback[J].IEEE Transactions on Information Theory,2006,52(11):5045-5059。