一种不确定网络化多时滞系统的稳定性判断方法

技术领域

本发明属于自动控制技术领域，涉及一种不确定网络化多时滞系统的稳定性判断 方法。

背景技术

网络化控制系统需要共享和交换的数据量越来越大、类型越来越复杂，在实际工 程领域中，由于人类认知能力和方法的局限性，以及客观事物本身的复杂性，很难得到系统 确定或精确的描述，从而导致大量的不确定性存在；同时随着现代控制系统规模的不断扩 大，复杂性迅速增加，系统结构不定性、未建模参数不定性、外部环境不可预知性、外部干扰 的随机性等进一步加大了系统不确定因素的复杂性和来源。现代控制领域对复杂系统的安 全性和可靠性的要求越来越高，因此考虑系统的不确定因素，研究不确定系统的鲁棒控制 策略，以保证系统动态特性在一定摄动范围内变化时仍能保持较好性能具有重要的理论意 义和实践价值。

此外，随着通讯技术和复杂网络的发展，大规模网络化控制系统以其成本低、连接 灵活、易于安装扩展、维护简单、功能复杂等优点已成为复杂大系统客观需求。但是由于网 络对通信介质分时复用的特点，当多个节点通过网络进行数据交互时，常常出现数据碰撞、 信息阻塞、连接中断、多帧传输等现象，因而不可避免地出现信息的非实时传输，因此除了 系统的不确定性之外，时滞问题是网络化控制系统研究中面临的又一主要问题，它往往是 导致系统性能恶化的重要原因。

在描述系统的不确定性时常采用范数有界不确定模型和凸多面体；其中，范数有 界不确定性描述方法是基于小增益定理的，即限制了不确定性的最大容限，具有一定的局 限性；凸多面体不确定系统的稳定性分析和鲁棒控制器设计大多基于Lyapunov二次稳定性 理论。但由于Lyapunov二次稳定概念是对在不确定空间内对所有的凸多面体顶点使用相同 的Lyapunov函数，导致结果的保守性较大。随着参数依赖Lyapunov稳定性思想的提出和LMI 方法的发展完善，逐渐将此思路用于对凸多面体不确定控制系统的分析和设计中。

目前对于具有凸多面体不确定性的离散系统的鲁棒控制研究，主要有以下几种方 法：(1)公共Lyapunov函数法，对N凸多面体顶点构造N个线性矩阵不等式得到离散凸多面体 不确定系统的鲁棒稳定性判据，将无穷维问题转化为有限维问题。此方法要求凸多面体的 每个顶点都使用一个公共的Lypaunov矩阵，因此具有较大的保守性。(2)附加矩阵构造 Lyapunov函数法，通过引入附加矩阵变量如自由权阵法，解除Lyapunov函数中矩阵P(a)和 系统矩阵A(a)乘积项，从而降低系统鲁棒稳定条件存在的保守性。(3)代数结构构造 Lyapunov函数法，通过探索不确定系统参数依赖的Lyapunov稳定条件的代数结构，然后合 并同类项，以要求多项式中的每一项都正定来保证不确定系统的鲁棒稳定。基于此思路所 取得的结果比基于Lyapunov二次稳定性理论的结果保守性更小，但目前大多数研究成果都 是针对连续系统的，对于离散系统的研究还很少涉及。

发明内容

针对上述现有技术中存在的问题或缺陷，本发明的目的在于，提供一种不确定网 络化多时滞系统的稳定性判断方法。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种不确定网络化多时滞系统的稳定性判断方法，具体包括以下步骤：

步骤1，建立闭环网络化多时滞控制系统模型；

步骤2，将闭环网络化多时滞控制系统的不确定性映射到凸多面体参数空间中，得 到凸多面体不确定网络化多时滞控制系统模型；

步骤3，构造包含有多时滞信息的Lyapunov函数；

步骤4，利用自由权矩阵法，判断步骤2得到的凸多面体不确定网络化多时滞控制 系统的时滞相关鲁棒稳定性，得到时滞相关鲁棒稳定充分条件；若满足时滞相关鲁棒稳定 充分条件，则不确定网络化多时滞系统是稳定的，若不满足，则不确定网络化多时滞系统是 不稳定的。

具体地，所述步骤1中的闭环网络化多时滞控制系统模型为：

其中，

正整数i＝1,2,3为时变时滞；A_p,B_p,C_p是适维的实常系数矩阵，k是当前的采样 时刻，x(k)∈Rⁿ为增广的系统状态变量，A_c,B_c,C_c,D_c是适维的实常系数矩阵。

具体地，所述步骤2中的凸多面体不确定网络化多时滞控制系统模型为：

其中，A_0α,A_1α…,A_3α是系统矩阵组。

具体地，所述步骤3中构造的包含有多时滞信息的Lyapunov函数如下：

V(x(k))＝V₁+V₂+V₃+V₄

其中，

V₁＝x^T(k)P_αx(k)

式中，P_α,R_1α,R_2α,R_3α∈R^n×n为依赖参数α_i(t)的对称正定矩阵，0≤α_i(t)≤1，i＝1, 2,…,n是有界实标量函数。

具体地，所述步骤4中的凸多面体不确定网络化多时滞控制系统的时滞相关鲁棒 稳定的充分条件是：

对于时变时滞存在对称正定矩阵P_α＝P_α^T>0，Q_α＝ Q_α^T>0，以及任意适当维数的矩阵N_iα,M_iα,S_iα(i＝1,2)，X_α,Y_α,Z_α≥0 能够使下述一组线性矩阵不等式成立：

Λ_23α＝d_maxΞ_23α

Λ_33α＝d_maxΞ_24α

Λ_34α＝d_maxΞ_34α

Ξ_ijα＝X_ijα+Y_ijα+Z_ijα，i，j＝1，2，3

与现有技术相比，本发明具有以下技术效果：

1、本发明针对数据总线在控制系统中广泛应用，引入了传输时滞引起的不可靠通 信因素和来自系统内部和外部的不确定因素，完成了系统多重时滞和不确定性从物理空间 到数学空间的映射，建立了闭环不确定网路化多时滞控制系统模型。

2、本发明对控制系统的不确定性在三维空间中进行描述和建模，将系统不确定性 映射到凸多面体不确定空间中，和不确定性二维空间描述相比，描述方法更加符合系统动 态特性，可以灵活的描述来自系统外部和系统自身结构的不确定性，描述参数不确定性所 得到的系统对不确定性的最大容限比用二维空间描述具有更少的保守性。

3、本发明采用Lyapunov函数法，将动态系统多重时滞信息包含进Lyapunov函数 中。通过构造了一个显含时滞的Lyapunov函数，根据Lyapunov稳定性理论，基于自由权阵法 对网络控制系统的稳定性进行分析，避免了在不确定空间内对所有的凸多面体顶点使用相 同的Lyapunov函数，减少了鲁棒稳定充分条件的保守性。

4、在时滞相关鲁棒稳定性判定方法中，通过构造显含时滞的Lyapunov函数，并引 入了附加矩阵变量，抵消了Lyapunov函数差分中出现的二次型积分项，减少了时滞相关鲁 棒稳定充分条件的保守性。

附图说明

图1是闭环网络化控制系统时滞模型；

图2是当d_max＝9时凸多面体不确定网络化控制系统状态响应；

图3是当d_max＝4时凸多面体不确定网络化控制系统状态响应；

图4是当d_max＝9时确定性网络化控制系统在凸多面体顶点1的状态响应；

图5是当d_max＝9时确定性网络化控制系统在凸多面体顶点2的状态响应；

图6是当d_max＝9时确定性网络化控制系统在凸多面体顶点3的状态响应；

下面结合附图和具体实施方式对本发明的方案做进一步详细地解释和说明。

具体实施方式

对闭环网络化控制系统的时滞特性进行分析，按照时滞分布的位置划分，可以将 时滞分为三部分：采样传输时滞τ_SC，控制计算时滞τ_C，以及控制作用时滞τ_CA，其产生位置的 分布如图1所示，现对上述三部分时滞进行分析：

(1)采样传输时滞τ_SC，即传感器到控制器的传输时滞。在网络化控制系统中，将传 感器采样到采样数据到达控制器的这段时间称为“传感器－控制器时滞”，记为k是当 前的采样时刻，则定义为其中和分别表示控制器开始运算控制信号 的时刻和传感器开始采样系统输出的时刻。

(2)控制计算时滞τ_C，控制器执行运算产生的计算时滞。在网络化控制系统中，将 控制器开始计算到计算完成得到控制信号这段时间称为“控制器计算时滞”，记为k是 当前的采样时刻，则定义为其中和分别是控制器计算完成得到控制 信号的时刻和开始计算的时刻。

(3)控制作用时滞τ_CA，控制器到执行器的传输时滞。在网络化控制系统中，将控制 器发送控制信号的时刻起至该信号被执行器接收的这段时间称为“控制器－执行器时滞”， 记为k是当前的采样时刻，则定义为其中和分别是执行器接收 到控制信号开始动作的时刻和控制器运算完成得到控制信号的时刻。

通常是时变的，与和相比，它的值是可以忽略不计的，并且变化率几乎为 零。在进行网络化控制系统的分析和综合时，可以从硬件方面入手将其影响减少到最小，所 以一般情况控制总线引入的网络诱导时滞通常指的就是和这两种时滞。

本发明的不确定网络化多时滞系统的稳定性判断方法，具体包括以下步骤：

步骤1，建立闭环网络化多时滞控制系统模型，此模型建立过程中不考虑系统不确 定性。

基于图1中的闭环网络化控制系统的结构图，得到被控对象的离散状态方程为：

其中x_p∈Rⁿ表示被控对象的状态向量，u_p∈R^m表示输入向量，y_p∈R^p表示输出向量， k是当前的采样时刻；n,m,p分别表示控制系统中被控对象、执行器和传感器的维数；A_p,B_p, C_p是适维的实常系数矩阵。

控制器的离散状态方程可由如下方程表示：

其中x_c∈Rⁿ表示控制器的状态向量，u_c∈R^p表示控制器的输入向量，y_c∈R^m表示控 制器的输出向量；n,p,m表示控制器、传感器和执行器的维数；A_c,B_c,C_c,D_c是适维的实常系 数矩阵。

由图1可知，传感器采集到的经过模数转换的被控对象输出向量y_p经过传输信道 S-C后，附加了采样传输时滞τ_SC的信息，作为输入向量u_c进入控制器；而经过控制器运算的 控制向量y_c作为输出，经过传输信道C-A后，附加了控制作用时滞τ_CA的信息，作为输入量，并 经过数模转换后进入执行器。

定义表示第k个采样周期S-C间的采样传输时滞τ_SC，表示第k个采样周期C-A 间的控制作用时滞τ_CA，从而网络中的时滞可以用下述关系来描述：

其中，d_min,d_max分别是节点之间的最小传输时滞和 最大传输时滞。

引入增广的系统状态变量向量则基于时滞系统理论的网 络控制系统状态方程可以表示为：

定义

则闭环网络化多时滞控制系统可写成：

其中

从以上系统模型可以看出，公式(6)表示的闭环网络化多时滞控制系统是一个带 有多时滞的线性连续时不变自治系统，可以应用时滞系统理论对其进行研究。

步骤2，基于步骤1得到的闭环网络化多时滞控制系统模型，进一步考虑系统不确 定性，将闭环网络化多时滞控制系统的不确定性映射到凸多面体参数空间中，得到凸多面 体不确定网络化多时滞控制系统模型。

凸多面体不确定性可用如下模型表示：

其中，A_i∈R^n×m和A_di∈R^n×m为已知的实矩阵，不确定参数A和A_d是有界的，属于有限 已知矩阵的凸组合，A和A_d可以表示为：

S:＝{A₁,A₂,…,A_m,A_d1,A_d2,…,A_dn}∈Θ(8)

其中0≤α_i(t)≤1，i＝1,2,…,n是有界的实标量函数，并 且满足：

由于不确定参数α_i(t)可能是时变的，还需要假设其变化率是有界的，即满足：

式中表示不确定参数α_i(t)的变化率。

从几何上看不确定参数矩阵A和A_d分别是以A_i和A_di为顶点的凸多面体；θ_i，i＝ 1,…,m是确定的已知标量。

考虑如下具有多重状态时滞的凸多面体不确定网络化多时滞控制系统模型：

其中x(k)∈Rⁿ为增广的系统状态变量，正整数i＝1,2,3为时变时滞。系统矩阵 组(A_0α,A_1α,…,A_3α)描述系统的不确定性，其是有界的并属于有限已知矩阵的凸组合集：

$\Psi \stackrel{\Delta }{=}\{{(A_0,A_1,\mathrm{...}{A}_3)}_{\alpha }:{(A_0,A_1,\mathrm{...}{A}_3)}_{\alpha }=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\alpha }_i\left(t\right)(A_{0i},A_{1i},\mathrm{...}{A}_{3i}),\alpha \in N,q=3\}---\left(12\right)$

其中A_0i,A_1i,…,A_3i∈R^n×m为已知实矩阵。由上式可以看出，任何属于集合Ψ的矩阵 (A₀,A₁,…,A₃)_α都可以由集合Ψ中N个顶点矩阵(A_0i,A_1i，…,A_3i)，i＝1,…,N的凸组合表示。 上式中0≤α_i(t)≤1，i＝1,2,…,n是有界实标量函数，同时满足：

由于不确定参数α_i(t)可能是时变的，还需要假设其变化率是有界的，即满足：

从几何上看不确定参数空间是以A₀,A₁,A₂,A₃为顶点的凸多面体；θ_i，i＝1,…,m是 确定的已知标量。

凸多面体不确定性描述方法可以通过定义不确定参数空间描述任意凸多面体，在 实际建模过程中，系统内部和外部的多数不确定性都可以用凸多面体不确定参数模型方便 地描述。其实任何范数有界不

步骤3，基于步骤2得到的凸多面体不确定网络化多时滞控制系统模型，构造包含 有多时滞信息的Lyapunov函数。

构造公式(11)所示的凸多面体不确定网络化多时滞控制系统的Lyapunov函数：

V(x(k))＝V₁+V₂+V₃+V₄(15)

其中，

V₁＝x^T(k)P_αx(k)

式中，P_α,R_1α,R_2α,R_3α∈R^n×n为依赖参数α_i(t)的对称正定矩阵。

对于任意的初始条件，沿系统的任意轨迹，Lyapunov函数的一阶前向差分为：

其中，

对式(18)应用Schur补定理，可知Λ<0，等价于：

步骤4，基于步骤3构造的Lyapunov函数，利用自由权矩阵法，判断步骤2得到的凸 多面体不确定网络化多时滞控制系统的时滞相关鲁棒稳定性，得到时滞相关鲁棒稳定充分 条件。若满足时滞相关鲁棒稳定充分条件，则不确定网络化多时滞系统是稳定的，若不满 足，则不确定网络化多时滞系统是不稳定的。

按照是否与时滞信息相关，基于时滞系统稳定性分析方法所得到的稳定性判定方 法和充分条件可以分为两类：一类是时滞相关稳定性条件，一类是时滞无关稳定性条件。其 中时滞无关稳定性条件对时滞没有任何限制，不考虑时滞的大小。时滞无关条件对于任意 时滞都成立。由于不需要知道系统时滞的相关信息，时滞无关稳定性方法可以分析并处理 系统未知的时滞。通常情况下，时滞无关的结论比较简单而且容易验证。然而对于小时滞或 者时滞有界的情况，时滞无关的稳定条件必然带来较大的保守性。相应的，时滞相关稳定性 方法则将时滞信息考虑到系统稳定性的分析中，体现了时滞大小对系统稳定性的影响。通 常，在时滞有界或时滞较小的情况下，时滞相关稳定性条件比时滞无关稳定性条件具有更 低的保守性。进一步的，根据稳定性条件中是否包含时滞导数的信息，时滞相关稳定性条件 又可分为时滞相关且时滞导数相关和时滞相关且时滞导数无关两种。由于时滞相关且时滞 导数相关条件包含了更多的时滞信息，因而其与后者相比具有更小保守性。

为了进一步降低保守性，本发明基于自由权阵法判断步骤2得到的凸多面体不确 定网络化多时滞系统模型的时滞相关鲁棒稳定性，得到时滞相关鲁棒稳定充分条件。

首先定义状态x(l)前向差分为：

y(l)＝x(l+1)-x(l)(20)

则有下式等式成立：

构造公式(11)所示的凸多面体不确定网络化多时滞系统的Lyapunov函数：

V(k)＝V₁(k)+V₂(k)+V₃(k)+V₄(k)+V₅(k)(23)

V₁(k)＝x^T(k)P_αx(k)

其中P_α＝P_α^T>0，Q_α＝Q_α^T>0，为待定对称正定矩阵，定义 Lyapunov函数一阶前向差分ΔV(k)＝V(k+1)-V(k)，则有：

ΔV₁(k)＝2x^T(k)P_αy(k)+y^T(k)P_αy(k)(25)

同时，利用式(22)，对于任意矩阵N_iα,M_iα,S_iα(i＝1,2,3)，有下列零值等式成立：

另一方面，对于任意合适维数的矩阵X,Y,Z≥0，有下列零值等式成立：

其中将零值等式(30)和 (31)的左边加入到ΔV(k)，则Lyapunov函数的一阶前向差分ΔV(k)进一步变换为：

其中，根据Lyapunov 稳定性理论，公式(11)所示的凸多面体不确定网络化多时滞控制系统的时滞相关鲁棒稳定 的充分条件是ΔV(k)<0成立。

对于时变时滞如果存在对称正定矩阵P_α＝P_α^T>0，Q_α＝Q_α^T>0，以及任意适当维数的矩阵N_iα,M_iα,S_iα(i＝1,2)，X_α,Y_α,Z_α≥0 使得如下线性矩阵不等式成立，则ΔV(k)<0成立：

其中，

Λ_23α＝d_maxΞ_23α

Λ_24α＝d_maxΞ_24α

Λ_34α＝d_maxΞ_34α

Ξ_ijα＝X_ijα+Y_ijα+Z_ijα，i，j＝1，2，3

换言之，公式(11)所示的凸多面体不确定网络化多时滞控制系统的时滞相关鲁棒 稳定的充分条件是：对于时变时滞存在对称正定矩阵P_α＝P_α^T>0，Q_α＝Q_α^T>0，以及任意适当维数的矩阵N_iα,M_iα,S_iα(i＝1,2)，X_α, Y_α,Z_α≥0能够使上述一组线性矩阵不等式成立。

实施例：

采用本发明提出的不确定网络化多时滞系统的稳定性判断方法，在给定网络时滞 的最小时滞边界d_min时，找到凸多面体不确定网络化控制系统的网络时滞的最大时滞边界 d_max，使得当时，闭环网络化控制系统是鲁棒渐进稳定的。并且针对 网络化控制系统在凸多面体三个顶点的确定性情况，当给出最小网络时滞边界d_min时，得到 凸多面体三个顶点的最大网络时滞边界d_max，并将几种情况的结果加以比较。具体实现方法 如下：

步骤1：被控对象为具有凸多面体不确定网络化多时滞控制系统，其状态空间模型 为：

其中，x(k)∈Rⁿ为增广的系统状态变量，正整数i＝1,2,3为时变时滞。矩阵(A₀, A₁,…,A₃)为不确定矩阵组，属于凸多面体不确定集合：

$\Psi \stackrel{\Delta }{=}\{{(A_0,A_1,\mathrm{...}{A}_3)}_{\alpha }:{(A_0,A_1,\mathrm{...}{A}_3)}_{\alpha }=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\alpha }_i\left(t\right)(A_{0i},A_{1i},\mathrm{...}{A}_{3i}),\alpha \in N,q=3\}---\left(40\right)$

这里设α＝3，即集合Ψ为3个顶点矩阵(A_0i,A_1i,…,A_3i)，i＝1,2,3的凸组合。其中：

步骤2，利用MatlabLMI工具箱求解，当d_min＝6时，可以求得凸多面体不确定网络 化多时滞系统的最大时滞边界d_max＝9，并且LMIs的解为：

步骤3，根据不同的最小时滞边界d_min，凸多面体不确定网络化多时滞控制系统及 其在凸多面体的三个顶点的确定性情况，其最大时滞边界d_max的仿真结果如表1所示：

表1给定d_min的情况下，计算d_max

从表1中可以看出，基于自由权矩阵方法得到的具有凸多面体不确定性的时变多 时滞网络化控制系统时滞相关渐进稳定条件与确定性网络化控制系统在凸多面体三个顶 点时基于不等式法得到的时滞相关渐进稳定条件具有更高的保守性，保证不确定网络化控 制系统稳定的最大允许时滞要比确定性网络化控制系统的最大允许时滞小。

步骤4，给定动态系统初始状态为x(0)＝[58]^T时，以及步骤2中MatlabLMI工具 箱求解的结果，用Matlab仿真出不同时滞情况的闭环网络化控制系统状态响应，如图2至图 6所示。

图2和图3是凸多面体不确定网络化多时滞控制系统在不同最大时滞边界下的状 态响应曲线，可以看出当最大允许时滞边界增大时，系统稳定的调节时间也随之增加，可见 对于凸多面体不确定网络化控制系统而言，时滞影响了系统的响应时间。图2是求得的最大 时滞边界为d_max＝9的情况下的状态响应曲线，当时滞满足时，系统仍然 是渐进稳定的，表明了本方法的有效性。

图4、图5和图6是确定性网络化控制系统分别在凸多面体三个顶点时，最大时滞边 界d_max＝9时的状态响应曲线，与凸多面体不确定网络化控制系统在最大时滞边界d_max＝9时 的状态响应曲线图2比较，可以看出在相同时滞情况下，凸多面体不确定网络化控制系统的 系统稳定调节时间要长些，这也说明了系统的不确定性影响了系统的响应时间和稳定性性 能。