一种用于求解声波传感器中的弥散曲线数值的方法

技术领域

本发明属于声波传感器技术领域，尤其涉及一种实波数域及复波数域内弥 散方程的数值求解方法，可应用于表声波或体声波谐振器、滤波器和传感器等 结构中波传播问题的色散方程和频率特性的准确求解，为表声波或体声波器件 在设计过程中的频率和工作模态选择提供重要参考依据。

背景技术

传感器技术的发展给人们的生活带来了巨大变化。声波传感器就是一种广 泛使用的传感器。声波传感器的基本原理是：波在某一特定结构中传播时，其 弥散特性(即波数与频率之间的关系)是一定的。当外界物理量变化时，如温 度、电场、磁场以及结构质量等等发生变化，这种变化会改变波的传播特性如 波速或频率的变化，因此，通过波的波数与频率之间关系的变化可以反推外界 物理量的改变。所以，理论上计算波在特定结构中传播的弥散关系(即波数与 频率间的关系)可以指导声波传感器的实际设计。

波的弥散方程一般为一个关于波数与频率的二元超越方程，当求解复波数 域中弥散关系的解时，方程变为更复杂的三元超越方程，而且弥散方程的系数 是可能含有复数的，因此这类问题的求解很困难，一般只能对极特殊的十分简 单的情况求解出弥散关系，这对于各种不同结构的声波传感器的分析是远远不 够的。而利用本发明提供的方法，可以高效、广泛地求解各种表声波或体声波 谐振器、滤波器和传感器等结构中波传播问题的色散方程和频率特性。求解得 到弥散关系后，可以很容易求解出相应的位移场、应力场等传感器内的物理场。 这对传感器的工作模态选择，传感器的结构设计提供了有力的指导。

发明内容

本发明的目的在于提供一种用于求解声波传感器中的弥散曲线数值的方 法，旨在解决波在某一特定结构中传播时，其弥散特性(即波数与频率之间的 关系)的计算问题。

本发明是这样实现的，一种用于求解声波传感器中的弥散曲线数值的方法， 所述可有效求解波在某一特定结构中的弥散特性(即波数与频率之间的关系)， 进而可以求解该结构中相应的物理场(如位移场和应力场等)，适用于波在多 种传感器模型中的传播分析，包括：

根据波数的求解空间确定扫描单元的形式；

利用扫描单元比较找出在相应空间中弥散方程模值的极小值点；

利用弥散方程的模值在零点附近的收敛性判断极小值点是否为零点

进一步，所述根据波数的求解空间确定扫描单元的形式包括：

声波在不同结构中传播的弥散方程一般为二元超越方程f(ω,ξ)＝0，当在实 波数域和纯需波数的情况下求解此方程时，只考虑波数ξ为实数和纯虚数的情 况。此时，频率ω和波数ξ组成了一个二维平面，而方程f(ω,ξ)＝0的解则是一 条条平面内的曲线。因此，选择固定频率或者波数中的任意一个会得到ω-ξ二 维平面内的一条直线，再用线元对这条直线进行扫描。因为线元在ω-ξ二维平 面内与弥散曲线的交点是唯一的。

当在复波数域内求解此方程时，考虑波数ξ为复数，令ξ＝a+bi，a,b均为 实数，则方程g(a,b,ξ)＝f(ω,ξ)＝0。方程变为a,b,ξ的三元超越方程。此时， 波数的实部a，虚部b以及频率ω组成了一个三维空间，而方程g(a,b,ξ)＝0的解 是一条条空间内的曲线。因此，选择固定波数的实部a，虚部b以及频率ω中任 意一个会得到a-b-ξ空间中的一个平面，再用面元对这个平面进行扫描。因为 面元在a-b-ξ的三维空间中与弥散曲线的交点是唯一的。

在空间中，对于固定的一条曲线，任取一段线元，与固定曲线相交的可能 几乎为零，因此，若在复波数域采取线元扫描，几乎得不到任何解。

在平面内，对于固定的一条曲线，任取一个面元，当与固定曲线有交点时， 交点为一小段曲线，而这段曲线中只有一个点最终作为方程的解，因此，得到 方程的弥散曲线会遗漏很多。

进一步，所述利用扫描单元比较找出在相应空间中弥散方程模值的极小值 点包括：

在选择好相应的扫面微元后，取合适的步长划分微元，比较划分节点上方 程的模值|f(ω,ξ)|的大小，找出弥散方程模值取最小值的节点。若节点不取在扫 描微元的边界节点上，则此节点即为模值极小值点，然后依次进入下一个扫描 微元。为防止极小值点恰巧处在扫面微元的边界节点上，新的扫描微元需将上 一扫描微元中的部分边界节点包含在内部。最后，以某一步长改变初始固定的 频率或波数的值，找出空间中的所有弥散方程的模值极小值点。

进一步，所述利用弥散方程的模值在零点附近的收敛性判断极小值点是否 为零点为：

在扫描微元中得到方程模值取极小值的某个节点后，以此节点为中心，相 邻节点为边界节点，形成新的微元，取合适的步长划分此微元，计算新微元节 点上的方程模值，比较得出取最小值的节点。重复上述过程，可以得到一系列 模值递减的极小值节点，若初始极小值节点的模值比上最新极小值节点的模值 趋向于无穷，则此极小值节点为零点，这表明，在此声波传感器结构中，波可 以按照该点的波数与频率进行传播。若趋向于一个有限大的常数，则此极小值 节点不为零点，这表明，在此声波传感器结构中，波不可能按照该点的波数与 频率进行传播。可以利用收敛的步数控制此声波传感器中波传播时可能的波数 与频率的求解精度。波的弥散方程一般为一个关于波数与频率的二元超越方 程，当求解复波数域中弥散关系的解时，方程变为更复杂的三元超越方程，而 且弥散方程的系数是可能含有复数的，因此这类问题的求解很困难，一般只能 对极特殊的十分简单的情况求解出弥散关系，这对于各种不同结构的声波传感 器的分析是远远不够的；而利用本发明提供的方法，可以高效、广泛地求解各 种表声波或体声波谐振器、滤波器和传感器等结构中波传播问题的色散方程和 频率特性。求解得到弥散关系后，可以很容易求解出相应的位移场、应力场等 传感器内的物理场；这对传感器的工作模态选择，传感器的结构设计提供了有 力的指导。

附图说明

图1是本发明实施例提供的用于求解声波传感器中的弥散曲线数值的方法 流程图。

图2是本发明实施例提供的方程模值的变化图象示意图。

图3是本发明实施例提供的对波数频率平面扫描示意图。

图4是本发明实施例提供的用面元对平面ω＝ω₀扫描的示意图。

图5是本发明实施例提供的对称模态复波数域弥散曲线示意图(k＝0.48)。

图6是本发明实施例提供的反对称模态复波数域弥散曲线示意图 (k＝0.48)。

图7是本发明实施例提供的纵向模态复波数域弥散曲线示意图 $(\kappa ={\left[\frac{2(1-\upsilon )}{1-2\upsilon }\right]}^{\frac{1}{2}},\upsilon =0.25).$

图8是本发明实施例提供的弯曲模态复波数域弥散曲线示意图 $(\kappa ={\left[\frac{2(1-\upsilon )}{1-2\upsilon }\right]}^{\frac{1}{2}},\upsilon =0.25).$

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例， 对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以 解释本发明，并不用于限定本发明。

本发明提出了一种利用方程模值在零点附近的收敛性求解弥散方程实波数 域及复波数域解的数值算法，求解一般弥散方程复波数域内的解；论述理论依 据，然后介绍该方法的求解步骤，最后列举了采用该方法求解几种典型模型中 波传播的复波数域弥散曲线的实施结果。

下面结合附图对本发明的应用原理作详细的描述。

如图1所示，本发明实施例的用于复波数域空间弥散曲线求解的数值方法 包括以下步骤：

S101：根据波数的求解空间确定扫描单元的形式；

S102：利用扫描单元比较找出在相应空间中弥散方程模值的极小值点；

S103：利用弥散方程的模值在零点附近的收敛性判断极小值点是否为零点。

下面结合附图对本发明的应用原理作进一步的描述。

1、用模值收敛求解超越方程的理论描述

对于一个一般的一元超越方程f(x)＝0，考虑f(x)的模|f(x)|，方程f(x)＝0 与方程|f(x)|＝0等价。考虑|f(x)|随x的变化关系如图2：

由于取模，|f(x)|恒大于等于零，在区间[a,b]内，|f(x)|有非零极小值点c， 在区间[d,e]内有零点s。

在用模值收敛求解该方程时，先找出|f(x)|的极小值点。考察x轴上的任一 段小区间[m,n],将区间[m,n]等分10份，有11个等分点，分别为 $m,m+\frac{n-m}{10},m+\frac{2(n-m)}{10},...,m+\frac{9(n-m)}{10},n,$比较这11个节点上|f(x)|的值， 找出最小值所处的等分点x₀。若[m,n]内没有|f(x)|的极小值点，那么x₀＝m或 x₀＝n。若[m,n]内有|fx(的极小值点，那么x₀取 其中的某个值。因此，当x₀≠m且x₀≠n， 可以断定[m,n]内有|f(x)|的极小值点。此时，以与x₀相邻的等分点为端点，取 区间将其等分10份，同样找出最小值所处的等分点x₁， 且|f(x₁)|≤|f(x₀)|。不断重复以上过程，可以得到一系列的点x₀,x₁,x₂,...。这些点 就是[m,n]区间内极小值点在不同精度下的数值解。

找出极小值点后，接着从这些极小值点中区分出零点和非零点。

当极小值点为非零点时，如图2所示，将区间[a,b]按前述过程等分可得到 一系列的点x₀,x₁,x₂,...，且|f(x₀)|≥|f(x₁)|≥|f(x₂)|≥...≥|f(c)|, 由于|f(c)|为大于零的常数，因此为一个有限大 的常数在图2所示的情况中，$\frac{\left|f\left(x_0\right)\right|}{\left|f\left(x_n\right)\right|}\le \frac{\left|f\left(x_0\right)\right|}{\left|f\left(c\right)\right|}<\frac{\left|f\left(b\right)\right|}{\left|f\left(c\right)\right|}<2.$

当极小值点为零点时，如图2所示，将区间[d,e]按前述过程等分可得到一 系列的点x₀,x₁,x₂,...，且|f(x₀)|≥|f(x₁)|≥|f(x₂)|≥...≥0,因此$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left|f\left(x_0\right)\right|}{\left|f\left(x_n\right)\right|}=\infty .$

对比上述零点与非零点的分析，在得到极小值点x₀,x₁,x₂,...后，可以根据 的值来判断该极小值是否为零点，选取一个特定值M，当收敛n步后， 若则该极值点为零点。M以及收敛的步数视不同的问题而定。在 上述等分10份的情况下，一般均为零点。模值|f(x_n)|的收敛速度与 初始区间[m,n]所取的大小以及[m,n]的等分数量有关，初始区间越小、等分越多， 收敛的越快。

2、用模值收敛求解实波数及虚波数平面内的弥散曲线

波在不同结构中传播的弥散方程有不同的具体形式，一般性的形式为关于 频率ω和波数ξ的超越方程：

g(ω,ξ)＝0(1)

考虑在波数ξ为实数和纯虚数的情况下数值求解方程(1)。由于弥散方程在 频率ω和波数ξ的平面内的解为曲线，因此，用线元对整个平面扫描。

先固定频率ω和波数ξ中的任一个，不妨设固定波数为ξ₀，此时方程(1) 变为：

f(ω)＝g(ω,ξ₀)＝0(2)

用长为3t的线微元对直线ξ＝ξ₀进行扫描，假设扫描起始点为ω₀。如图3 所示：在区间[ω₀,ω₀+3t]内，比较节点ω₀,ω₀+t,ω₀+2t,ω₀+3t处模值 的t(大小，3)找|出最小值。若在ω₀+t或 ω₀+2t取得最小值，则按1中的过程进一步等分，并判断是否为零点。若最小 值取在端点上，则进入下一个区间扫描。为防止极小值点恰巧处在端点ω₀+3t 处，下一个区间取为[ω₀+2t,ω₀+5t]，此区间包含了ω₀+3t。因此，相邻的区间 相隔2t。更一般地，若将区间等分n份，则相邻区间相隔n-1份。当对直线ξ＝ξ₀扫描结束，进入下一条直线ξ＝ξ₀+Δξ扫描，重复以上过程，可以得到在整个ω,ξ 平面内方程的解。为了使得到的解曲线更加完整，在固定波数扫描结束后，可 再固定频率扫描。

3、用模值收敛求解复波数域内的弥散曲线

考虑在波数ξ为复数的情况下数值求解方程(1)。令ξ＝a+bi，其中a,b为 实数，则方程(1)化为：

h(ω,a,b)＝g(ω,a+bi)(3)

由于弥散方程在实频率ω和复波数ξ组成的空间内的解为曲线，因此，用面 元对整个空间扫描；先固定频率ω、波数实部a、波数虚部b中的任一个，不妨 设固定频率为ω₀，此时方程(3)变为：

q(a,b)＝h(ω₀,a,b)(4)

在平面ω＝ω₀内，用面微元[a,a+3t]×[b,b+3s]对平面进行扫描。假设扫描 起始点为(a₀,b₀)。如图4所示：

在面微元[a₀,a₀+3t]×[b₀,b₀+3s]内，比较16个节点(a₀,b₀)， (a₀+t,b₀)，…,(a₀+3t,b₀+3s)处|q(a,b)|的大小，找出最小值。若在面元的内部 节点处，即(a₀+t,b₀+s)，(a₀+2t,b₀+s)，(a₀+t,b₀+2s)，(a₀+2t,b₀+2s)，取 得最小值，则进一步等分，并判断是否为零点。若最小值取在面元的边界节点 上，则进入下一个区间扫描。为防止极小值点恰巧处在面元边界处，下一个区 间取为[a₀+2t,a₀+5t]×[b₀,b₀+3s]，因此，沿a轴扫描时，相邻的面元相隔2t。 更一般地，若面元沿a轴等分n份，则相邻面元相隔n-1份。沿a轴扫描结束后， 再沿b轴扫描，这样可以得到整个平面ω＝ω₀内方程(3)的解。

当对平面ω＝ω₀扫描结束，进入下一个平面ω＝ω₀+Δω扫描，重复以上过 程，可以得到在整个ω,a,b空间内方程(3)的解。为了使得到的解曲线更完整， 固定频率扫描结束后，再固定实波数扫描，然后固定虚波数扫描。

4、用模值收敛求解任意元超越方程的解

用模值收敛求解平面内的弥散方程与复数域内的弥散方程的过程具有更一 般性的形式。现在将此过程推广到n元超越方程的求解。假设一般性的n元超越 方程为：

f(x₁,x₂,...,x_n)＝0(5)

为使扫描微元与解曲线有且只有一个交点，若解曲线为m维(m≤n),则扫描 微元选为n-m维，即固定x₁,x₂,...,x_n中的m个量，不妨设固定x₁,x₂,...,x_m，用 [x_m+1,x_m+1+Δx_m+1]×[x_m+2,x_m+2+Δx_m+2]×...×[x_n,x_n+Δx_n]作为扫描微元扫描。当解 曲线为m维(m≤n)，若扫描微元维度大于n-m维，则每个微元与解曲线的交点 不唯一，因此很多解会被遗漏，若扫描微元维度小于n-m维，则每个微元与解 曲线几乎不会相交。举例为：在三维空间中，解曲线为一维曲线，则用平面微 元扫描；若解曲线为二维曲面，则固定方程(3)中的两个量，用线微元扫描； 若解曲线为离散的点，则用体微元扫描；若解曲线为三维空间，则直接验证空 间中的每个点的方程模值是否收敛到零即可。实际求解n元超越方程时，若不确 定解曲线维度m的值，可以将扫描微元的维度从高到低试验，得到的解会随着 扫描微元维度降低而致密直至解的突然消失，此时的扫描维度为n-m-1维，由 此确定m的值。

下面结合具体实施例对本发明的应用原理作进一步的说明。

实施例1：考察波在无限大压电板中的传播，其对称模态的弥散方程为：

$\frac{tan\left[\frac{\pi }{2}{({\Omega }^2-Z^2)}^{\frac{1}{2}}\right]}{\tanh \left(\frac{\pi }{2}Z\right)}=\frac{-k^{2}Z}{{({\Omega }^2-Z^2)}^{\frac{1}{2}}},---\left(6\right)$

Ω表示频率，Z表示波数。用本发明的模值收敛数值求解得到图5。

其反对称模态的弥散方程为：

$\frac{tan\left[\frac{\pi }{2}{({\Omega }^2-Z^2)}^{\frac{1}{2}}\right]}{\tanh \left(\frac{\pi }{2}Z\right)}=\frac{{({\Omega }^2-Z^2)}^{\frac{1}{2}}}{k^{2}Z},---\left(7\right)$

Ω表示频率，Z表示波数。用本发明的模值收敛数值求解得到图6：

实施例2：考察Rayleigh-Lamb波的频谱，其纵向模态的弥散方程为：

$\frac{tan\left[\frac{\pi }{2}{({\Omega }^2-Z^2)}^{\frac{1}{2}}\right]}{tan\left[\frac{\pi }{2}{({\Omega }^2/{\kappa }^2-Z^2)}^{\frac{1}{2}}\right]}=-\frac{4Z^2{({\Omega }^2/{\kappa }^2-Z^2)}^{\frac{1}{2}}{({\Omega }^2-Z^2)}^{\frac{1}{2}}}{{({\Omega }^2-2Z^2)}^2},---\left(8\right)$

Ω表示频率，Z表示波数。用本发明的模值收敛数值求解得到图7：

其弯曲模态的弥散方程为：

$\frac{tan\left[\frac{\pi }{2}{({\Omega }^2-Z^2)}^{\frac{1}{2}}\right]}{tan\left[\frac{\pi }{2}{({\Omega }^2/{\kappa }^2-Z^2)}^{\frac{1}{2}}\right]}=-\frac{{({\Omega }^2-2Z^2)}^2}{4Z^2{({\Omega }^2/{\kappa }^2-Z^2)}^{\frac{1}{2}}{({\Omega }^2-Z^2)}^{\frac{1}{2}}}.---\left(9\right)$

Ω表示频率，Z表示波数。用本发明的模值收敛数值求解得到图8：

本发明阐述了利用模值收敛求解复波数域弥散方程的方法，并推广至求解 一般的多元超越方程，并列举了两种模型中波的弥散方程的求解结果。本发明 求解复波数域内的弥散曲线是有效的，且对弥散方程的形式没有要求，通用性 强。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发 明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明 的保护范围之内。