一种含索网结构的天线展开动力学分析方法

技术领域

本发明涉及网状天线展开过程动力学分析及其应用技术领域，特别是可展开网状天线展开过程索网与桁架组合结构的动力学分析方法，具体是一种含索网结构的天线展开动力学分析方法。

背景技术

大型星载网状可展开天线的展开过程是一个复杂的非线性力学过程，柔性索网张拉结构在火箭发射运输过程中随着桁架折叠收拢在结构中间，抵达设计轨道后随桁架逐步展开至所设计的天线形面。索网反射面在整个展开过程经历了从松弛到张紧的状态，并由于其柔性强几何非线性特征，将会对天线整体产生一个复杂的非线性作用力，造成复杂多变的非线性动力学响应。

含索网的天线结构展开过程，索网在形态和力学上也应该是一个动态的复杂过程。由于索网结构的质量较轻，前人的研究当中大部分都假设索网展开过程中产生的惯性力可忽略不计，只考虑了将天线展开过程中索网对天线产生的作用力作为外载荷施加到桁架上进行桁架柔性多体动力学分析。然而，若要更准确分析网状天线的展开动力学响应，应将天线索网和桁架结构进行组合建模，充分考虑索网的动力学特性。

因此，需要从能量的角度出发，基于弹性悬链线单元，利用拉格朗日第二方程构建索网的动力学模型，并与柔性桁架结构进行组合建模。通过动力学求解分析，得到展开过程中索网的运动形态及其对桁架接头产生的作用力等动力学响应。

发明内容

本发明的目的是克服上述现有技术中存在的问题，提供一种含索网结构的天线展开动力学分析方法。基于弹性悬链线单元模型，推导出索网结构的动力学方程，并推导出柔性桁架索结构的动力学模型，与索网结构组合建模得到天线整体动力学模型。从而准确得到柔性桁架与非线性索网共同作用下的天线展开动力学响应，为工程设计与改善天线展开过程的规划控制等提供有效支撑。

本发明的技术方案是，一种含索网结构的天线展开动力学分析方法，其特征是：包括如下步骤：

步骤101：选择网状可展开天线桁架单元与索网的材料参数、几何参数、索网拓扑结构、索网节点的初始位置P；

步骤102：根据拉格朗日第二方程，构建索网的动力学模型：

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T_E}{\partial \stackrel{·}{q}}\right)-\frac{\partial T_E}{\partial q}+\frac{\partial U_E+U_g}{\partial q}=Q---\left(1\right)$

式中，q、为选取的广义坐标及其对应的广义速度，t为时间，T_E为系统的动能，U_E为系统的弹性势能，U_g为系统的重力势能，Q为非保守力对应的广义力；

步骤103：利用瑞丽-里兹法对桁架单元进行离散，推导柔性桁架的动力学模型；

步骤104：构建桁架单元与索网的约束方程，对索网与桁架的动力学模型进行组合；

步骤105：基于Newmark方法对该模型进行求解，即可得到索网形态的运动过程与索网对桁架产生的作用力变化情况。

上述的步骤102具体包括如下步骤：

步骤201：由索网拓扑关系可得到任一索单元i，其两节点为j和k，其中节点j的位置坐标为P_j＝[x_j>j>j]^T，节点k的位置坐标为P_k＝[x_k>k>k]^T；描述索单元i的广义坐标为：

q_i＝[x_jy_jz_jx_ky_kz_k]^T>

对应广义速度为：

${\stackrel{·}{q}}_i={\left[{\stackrel{·}{x}}_j{\stackrel{·}{y}}_j{\stackrel{·}{z}}_j{\stackrel{·}{x}}_k{\stackrel{·}{y}}_k{\stackrel{·}{z}}_k\right]}^T---\left(3\right)$

则描述整个索网系统的广义坐标为：

q＝[x_ny_nz_n]^T,n＝1,2,...,N>

描述整个索网系统的广义速度为：

$\stackrel{·}{q}={\left[{\stackrel{·}{x}}_n{\stackrel{·}{y}}_n{\stackrel{·}{z}}_n\right]}^T,n=1,2,\mathrm{...},N---\left(5\right)$

其中N为索网节点总数；T为矩阵转置符号；

步骤202：将索单元i的均布质量M_i等效为两端点集中质量有：

$M_j=M_k=\frac{1}{2}{M}_i---\left(6\right)$

设与任一节点k相连的单元编号为c_i，相连的单元总数为c_N，则节点k处的动能T_k为：

$T_k=\frac{1}{4}({{\stackrel{·}{x}}_k}^2+{{\stackrel{·}{y}}_k}^2+{{\stackrel{·}{z}}_k}^2)\underset{i=1}{\overset{c_N}{\Sigma }}{M}_{ci}---\left(7\right)$

则索网系统的动能T_c为：

$T_c=\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{T}_k---\left(8\right)$

步骤203：通过比较索单元弦长与原长的关系，判断索单元是否处于张紧状态；若索单元弦长大于原长，索单元张紧，转到步骤204；若索单元弦长小于或等于原长，索单元松弛，转到步骤205；

步骤204：索单元弦长大于原长，索单元张紧，其力学性态满足胡克定理；其中jk′为索单元发生弹性变形前状态，jk为悬链线单元受力后的张紧状态；此时，索单元弹性势能U_Ei可简化为：

$U_{Ei}=\frac{EA}{2L_{0i}}{(L_{jk}-L_{0i})}^2---\left(9\right)$

L_jk²＝(x_j-x_k)²+(y_j-y_k)²+(z_j-z_k)²>

其中E为弹性模量，A为索单元截面积；

单元重力势能U_gi为质心势能：

$U_{gi}=M_{i}g\frac{z_j+z_k}{2}---\left(11\right)$

式中，g为重力加速度。

直接转到步骤206；

步骤205：索单元弦长小于或等于原长，索单元松弛，通过单元推导得到松弛索单元的弹性势能与重力势能；

步骤206：索网系统的弹性势能为：

$U_E=\underset{i=1}{\overset{N_e}{\Sigma }}{U}_{Ei}---\left(12\right)$

索网系统的重力势能为：

$U_g=\underset{i=1}{\overset{N_e}{\Sigma }}{U}_{gi}---\left(13\right)$

其中，N_e为索单元总数；

步骤207：将索网广义坐标、动能、弹性势能、重力势能代入公式(1)，得到索网的动力学模型。

上述的步骤205，具体包括如下步骤：

步骤301：松弛悬链线单元受到均布载荷q₀时，单元呈下垂趋势；点S为点S₀发生弹性变形后对应的位置；T为索单元上任一点S处的张力，从起点到S点的长度为s，对应原长为s₀；对于任一点S都满足水平和垂直方向的整体平衡方程：

$T\frac{dx}{ds}=H---\left(14\right)$

$T\frac{dz}{ds}=q_0{s}_0-F_3^{\prime }---\left(15\right)$

步骤302：在任一点S处满足几何约束：

${\left(\frac{dx}{ds}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{ds}\right)}^2=1---\left(16\right)$

假设材料满足胡克定律：

$T=AE(\frac{ds}{{\mathrm{ds}}_0}-1)---\left(17\right)$

将方程(14)和(15)平方相加后代入方程(16)，可得任一点S点上的索张力：

$T\left(s_0\right)={[H^2+{(q_0{s}_0-F_3^{\prime })}^2]}^{1/2}---\left(18\right)$

其中H,F₃′由单元的基本方程，通过数值求解得到；

步骤303：由应变能公式可得任一点S上的弹性势能dU_E：

${\mathrm{dU}}_E=\frac{T{\left(s_0\right)}^2{\mathrm{ds}}_0}{2EA}---\left(19\right)$

因而索单元ab的弹性势能为：

$U_{Ei}={\int }_0^{L_{0i}}{\mathrm{dU}}_E={\int }_0^{L_{0i}}\frac{T{\left(s_0\right)}^2}{2EA}{\mathrm{ds}}_0---\left(20\right)$

步骤304：通过变换dz/ds＝(dz/ds₀)(ds₀/ds)，由公式(15)和公式(17)得到悬链线z向坐标：

$z\left(s_0\right)=\frac{F_3^{\prime }{s}_0}{AE}(\frac{q_0{s}_0}{2F_3^{\prime }}-1)+\frac{H}{q_0}[{(1+{\left(\frac{q_0{s}_0-F_3^{\prime }}{H}\right)}^2)}^{1/2}-{(1+{\left(\frac{F_3^{\prime }}{H}\right)}^2)}^{1/2}]---\left(21\right)$

以面z＝0为零势能面，得其单元重力势能U_g为：

上述的步骤103，具体包括如下步骤：

步骤401：假设天线整体质量均布等效在各桁架节点上的平均质量为m，四边形单元总数为n，根据桁架运动可计算得到各桁架节点的展开速度：

其中θ为天线展开角度，为桁架单元间夹角，L₂为桁架竖杆长度。

则桁架动能为

$T_s=m\underset{i=2}{\overset{n}{\Sigma }}({v_{ix}}^2+{v_{iy}}^2+{v_{iz}}^2)---\left(24\right)$

步骤402：设天线完全展开时天线的总势能为零，那么天线桁架的重力势能可表示为：

$E_v=-\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\mathrm{mgL}}_2\sin \theta =-{\mathrm{nmgL}}_{2}sin\theta ---\left(25\right)$

式中g为重力加速度；

步骤403：对于任一连接杆，以两端点A、B的连线为浮动坐标系的x轴，利用右手定则确定y轴；此时杆件的形函数可描述为：

$\Phi =\left(\begin{array}{ccc}0& ϵ& 0\\ l_{AB}(ϵ-2{ϵ}^2+{ϵ}^3)& 0& l_{AB}({ϵ}^3-{ϵ}^2)\end{array}\right)---\left(26\right)$

式中，l_AB为梁单元长度，ε＝x/l_AB；

在浮动坐标系下连杆弹性变形的描述为：

q_{ft>＝[qft> qft> qft>]^T>}

式中q_{f>和qf>分别为A点和B点的转角，qf>为B点在浮动坐标系中x方向位移；}

那么在t时刻任一杆件的弹性势能为：

$E_{pi}=\frac{1}{2}[\frac{4EI}{l_{ab}}(q_{fi1}^2+q_{fi1}·q_{fi3}+q_{fi3}^2)+\frac{{\mathrm{EA}}_s}{l_{ab}}{q}_{fi2}^2]---\left(28\right)$

式中，I为横截面的惯性矩，E为弹性模量，A_s为横截面积；

则整个柔性天线周边桁架系统在t时刻系统的弹性势能为：

$E_p=\underset{i=1}{\overset{3n}{\Sigma }}{E}_{pi}---\left(29\right)$

步骤404：将上述动能、弹性势能、重力势能代入拉格朗日第二方程，便可得到桁架的动力学模型。

上述的步骤104，具体包括如下步骤：

步骤501：对任一四边形单元A_iB_iC_iD_i，由于其斜杆A_iC_i为伸缩杆，中间穿驱动索使得天线展开，斜杆A_iC_i几乎不承受力的作用，故将其忽略处理；因而任一接头处应有两个铰链约束，以C_i(B_i+1)为例；

定义上标⁽ⁱ_,ⁿ⁾表示第i个四边形单元中的节点在第n个杆件浮动坐标系x_i,ny_i,nz_i下的坐标描述，铰链C_i(B_i+1)处的第一个约束方程：

$R_{Bi}^{(i,2)}+A_{Bi}^{(i,2)}{u}_{Bi}^{(i,2)}=R_{Ci}^{(i,3)}+A_{Ci}^{(i,3)}{u}_{Ci}^{(i,3)}---\left(30\right)$

由于

其中

$r_{Bi}^{(i,2)}={\left(\begin{array}{ccc}{L}_2& 0& 0\end{array}\right)}^T---\left(32\right)$

$u_{Bif}^{(i,2)}={\Phi }_{(\xi =1)}{q}_{Bif}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{q}_{Bif1}\\ q_{Bif2}\\ q_{Bif3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{q}_{Bif2}\\ 0\\ 0\end{array}\right)---\left(33\right)$

根据周边桁架位移的描述，有：

其中为相邻两个四边形单元的夹角，θ为天线展开角度；

所以有：

同理可得C_i(B_i+1)处第二个约束方程：

步骤502：定义A₁B₁为固定杆，固定杆不考虑柔性变形，铰链A₁处的约束方程为：

$R_{A1}^{(1,1)}+A_{A1}^{(1,1)}{u}_{A1}^{(1,1)}=0^{(1,1)}---\left(37\right)$

由于

$u_{A1}^{(1,1)}={\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right)}^T---\left(38\right)$

即有：

$R_{A1}^{(1,1)}={\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right)}^T---\left(39\right)$

铰链B₁处的约束方程为：

$R_{A1}^{(1,1)}+A_{A1}^{(1,1)}{u}_{A1}^{(1,1)}=R_{B1}^{(1,2)}+A_{B1}^{(1,2)}{u}_{B1}^{(1,2)}---\left(40\right)$

由于

$u_{A1}^{(1,1)}={\left(\begin{array}{cc}{L}_1=0& 0\end{array}\right)}^T,u_{B1}^{(1,1)}{\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right)}^T---\left(41\right)$

即有：

$R_{A1}^{(1,1)}+\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{L}_1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=R_{B1}^{(1,2)}---\left(42\right)$

步骤503：根据方程(35)、(36)、(39)和(42)约束方程建立方式，可得到整体天线的运动约束方程组，并通过微分得到约束的雅可比矩阵

步骤504：将索网动力学模型、桁架动力学模型及约束的雅可比矩阵代入方程(1)即可得到整体天线的动力学方程：

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T_E}{\partial \stackrel{·}{q}}\right)-\frac{\partial T_E}{\partial q}+\frac{\partial (U_E+U_g)}{\partial q}+C_q^T\lambda =Q---\left(43\right)$

其中λ为拉格朗日乘子。

本发明的有益效果：本发明的优点是：1)能够对含索网结构的天线展开过程精确分析，得到索网形态的动态变化情况；2)能够精确得到展开过程索网作用力变化曲线，分析索网张力非线性因素对天线展开的影响，为可展开天线电机与控制系统设计提供基础，避免展开过程天线展开不稳定或不到位现象。

以下将结合附图对本发明做进一步详细说明。

附图说明

图1索单元张紧状态；

图2索单元松弛形态(xoz平面内)；

图3松弛索单元微元；

图4弹性连杆描述示意图；

图5桁架单元坐标系描述示意图；

图6含索网结构的天线展开动力学分析方法的主流程图；

图7构建索网动力学模型过程图；

图8构建天线桁架动力学模型过程图；

图9建立约束并组合天线整体动力学模型过程图；

图10可展开网状天线示意图；

图11本发明方法应用于某可展开索网天线结构上进行仿真的索网作用力变化图。

具体实施方式

参见图5，本发明提供了一种含索网结构的天线展开动力学分析方法，包括如下步骤：

步骤101：选择网状可展开天线桁架单元与索网的材料参数D与几何参数S、索网拓扑结构、索网节点的初始位置P。

步骤102：根据拉格朗日第二方程，构建索网的动力学模型。

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T_E}{\partial \stackrel{·}{q}}\right)-\frac{\partial T_E}{\partial q}+\frac{\partial U_E+U_g}{\partial q}=Q---\left(1\right)$

式中，q、为选取的广义坐标及其对应的广义速度，t为时间，T_E为系统的动能，U_E为系统的弹性势能，U_g为系统的重力势能，Q为非保守力对应的广义力。

参见图6，该步骤102具体包括如下步骤：

步骤201：由索网拓扑关系可得到任一索单元i，其两节点为j(位置坐标P_j＝[x_j>jz_j]^T)和k(位置坐标P_k＝[x_k>k>k]^T)。描述单元i的广义坐标为：

q_i＝[x_jy_jz_jx_ky_kz_k]^T>

对应广义速度为：

${\stackrel{·}{q}}_i={\left[{\stackrel{·}{x}}_j{\stackrel{·}{y}}_j{\stackrel{·}{z}}_j{\stackrel{·}{x}}_k{\stackrel{·}{y}}_k{\stackrel{·}{z}}_k\right]}^T---\left(3\right)$

则描述整个索网系统的广义坐标为：

q＝[x_ny_nz_n]^T,n＝1,2,...,N>

描述整个索网系统的广义速度为：

$\stackrel{·}{q}={\left[{\stackrel{·}{x}}_n{\stackrel{·}{y}}_n{\stackrel{·}{z}}_n\right]}^T,n=1,2,\mathrm{...},N---\left(5\right)$

其中N为索网节点总数；T为矩阵转置符号；

步骤202：将索单元i的均布质量M_i等效为两端点集中质量有：

$M_j=M_k=\frac{1}{2}{M}_i---\left(6\right)$

设与任一节点k相连的单元编号为c_i，相连的单元总数为c_N，则节点k处的动能T_k为：

$T_k=\frac{1}{4}({{\stackrel{·}{x}}_k}^2+{{\stackrel{·}{y}}_k}^2+{{\stackrel{·}{z}}_k}^2)\underset{i=1}{\overset{c_N}{\Sigma }}{M}_{ci}---\left(7\right)$

则索网系统的动能T_c为：

$T_c=\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{T}_k---\left(8\right)$

步骤203：通过比较索单元弦长与原长的关系，判断索单元是否处于张紧状态。若索单元弦长大于原长，索单元张紧，转到步骤204；若索单元弦长小于或等于原长，索单元松弛，转到步骤205；(图1为索单元张紧状态)

步骤204：索单元弦长大于原长，索单元张紧，其力学性态满足胡克定理；其中jk′为索单元发生弹性变形前状态，jk为悬链线单元受力后的张紧状态；此时，索单元弹性势能U_Ei可简化为：

$U_{Ei}=\frac{EA}{2L_{0i}}{(L_{jk}-L_{0i})}^2---\left(9\right)$

${L_{jk}}^2={(x_j-x_k)}^2+{(y_j-y_k)}^2+{(z_j-z_k)}^2---\left(10\right)$

其中E为弹性模量，A为索单元截面积；

单元重力势能U_gi为质心势能：

$U_{gi}=M_{i}g\frac{z_j+z_k}{2}---\left(11\right)$

式中，g为重力加速度。

直接转到步骤206。

步骤205：索单元弦长小于或等于原长，索单元松弛，通过单元推导得到松弛索单元的弹性势能与重力势能。

参见图7，本步骤205具体包括如下步骤：

步骤301：松弛悬链线单元受到均布载荷q₀时，单元呈下垂趋势。图2中虚线为悬链线未考虑弹性变形时的形态，实线为悬链线考虑弹性变形时的形态，点S为点S₀发生弹性变形后对应的位置。T为索单元上任一点S处的张力，从起点到S点的长度为s，对应原长为s₀。对于任一点S都满足水平和垂直方向的整体平衡方程：

$T\frac{dx}{ds}=H---\left(14\right)$

$T\frac{dz}{ds}=q_0{s}_0-F_3^{\prime }---\left(15\right)$

步骤302：在任一点S处满足几何约束满足：

${\left(\frac{dx}{ds}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{ds}\right)}^2=1---\left(16\right)$

假设材料满足胡克定律：

$T=AE(\frac{ds}{{\mathrm{ds}}_0}-1)---\left(17\right)$

将方程(14)和(15)平方相加后代入方程(16)，可得任一点S点上的索张力：

$T\left(s_0\right)={[H^2+{(q_0{s}_0-F_3^{\prime })}^2]}^{1/2}---\left(18\right)$

其中H,F₃′由单元的基本方程，通过数值求解得到。图3为松弛索单元微元。

步骤303：由应变能公式可得任一点S上的弹性势能dU_E：

${\mathrm{dU}}_E=\frac{T{\left(s_0\right)}^2{\mathrm{ds}}_0}{2EA}---\left(19\right)$

因而索单元ab的弹性势能为：

$U_{Ei}={\int }_0^{L_{0i}}{\mathrm{dU}}_E={\int }_0^{L_{0i}}\frac{T{\left(s_0\right)}^2}{2EA}{\mathrm{ds}}_0---\left(20\right)$

步骤304：通过变换dz/ds＝(dz/ds₀)(ds₀/ds)，由公式(15)和公式(17)得到悬链线z向坐标：

$z\left(s_0\right)=\frac{F_3^{\prime }{s}_0}{AE}(\frac{q_0{s}_0}{2F_3^{\prime }}-1)+\frac{H}{q_0}[{(1+{\left(\frac{q_0{s}_0-F_3^{\prime }}{H}\right)}^2)}^{1/2}-{(1+{\left(\frac{F_3^{\prime }}{H}\right)}^2)}^{1/2}]---\left(21\right)$

以面z＝0为零势能面，可得其单元重力势能U_g为：

步骤206：索网系统的弹性势能为：

$U_E=\underset{i=1}{\overset{N_e}{\Sigma }}{U}_{Ei}---\left(12\right)$

索网系统的重力势能为：

$U_g=\underset{i=1}{\overset{N_e}{\Sigma }}{U}_{gi}---\left(13\right)$

其中，N_e为索单元总数。

步骤207：将索网广义坐标、动能、弹性势能、重力势能代入公式(1)，得到索网的动力学模型。

步骤103：利用瑞丽-里兹法对桁架单元进行离散，推导柔性桁架的动力学模型。

参见图8，本步骤103，具体包括如下步骤：

步骤401：假设天线整体质量均布等效在各桁架节点上的平均质量为m，四边形单元总数为n，根据桁架运动可计算得到各桁架节点的展开速度：

其中θ为天线展开角度，为桁架单元间夹角，L₂为桁架竖杆长度。

则桁架动能为

$T_s=m\underset{i=2}{\overset{n}{\Sigma }}({v_{ix}}^2+{v_{iy}}^2+{v_{iz}}^2)---\left(24\right)$

步骤402：设天线完全展开时天线的总势能为零，那么天线桁架的重力势能可表示为：

$E_v=-\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\mathrm{mgL}}_2\sin \theta =-{\mathrm{nmgL}}_{2}sin\theta ---\left(25\right)$

式中g为重力加速度。

步骤403：参见图4，对于任一连接杆，以两端点A、B的连线为浮动坐标系的x轴，利用右手定则确定y轴。此时杆件的形函数可描述为：

$\Phi =\left(\begin{array}{ccc}0& ϵ& 0\\ l_{AB}(ϵ-2{ϵ}^2+{ϵ}^3)& 0& l_{AB}({ϵ}^3-{ϵ}^2)\end{array}\right)---\left(26\right)$

式中，l_AB为梁单元长度，ε＝x/l_AB。

在浮动坐标系下连杆弹性变形的描述为：

q_{ft>＝[qft> qft> qft>]^T>}

式中q_{f>和qf>分别为A点和B点的转角，qf>为B点在浮动坐标系中x方向位移。}

那么在t时刻任一杆件的弹性势能为：

$E_{pi}=\frac{1}{2}[\frac{4EI}{l_{ab}}(q_{fi1}^2+q_{fi1}·q_{fi3}+q_{fi3}^2)+\frac{{\mathrm{EA}}_s}{l_{ab}}{q}_{fi2}^2]---\left(28\right)$

式中，I为横截面的惯性矩，E为弹性模量，A_s为横截面积。

则整个柔性天线周边桁架系统在t时刻系统的弹性势能为：

$E_p=\underset{i=1}{\overset{3n}{\Sigma }}{E}_{pi}---\left(29\right)$

步骤404：将上述动能、弹性势能、重力势能等代入拉格朗日第二方程，便可得到桁架的动力学模型。

步骤104：构建桁架单元与索网的约束方程，对索网与桁架的动力学模型进行组合。

参见图9，本步骤104具体包括如下步骤：

步骤501：对任一四边形单元A_iB_iC_iD_i(无固定杆)，如图5，由于其斜杆A_iC_i为伸缩杆，中间穿驱动索使得天线展开，斜杆A_iC_i几乎不承受力的作用，故将其忽略处理。因而任一接头处应有两个铰链约束，以C_i(B_i+1)为例。

定义上标⁽ⁱ_,ⁿ⁾表示第i个四边形单元中的节点在第n个杆件浮动坐标系x_i,ny_i,nz_i下的坐标描述，铰链C_i(B_i+1)处的第一个约束方程：

$R_{Bi}^{(i,2)}+A_{Bi}^{(i,2)}{u}_{Bi}^{(i,2)}=R_{Ci}^{(i,3)}+A_{Ci}^{(i,3)}{u}_{Ci}^{(i,3)}---\left(30\right)$

由于

其中

$r_{Bi}^{(i,2)}={\left(\begin{array}{ccc}{L}_2& 0& 0\end{array}\right)}^T---\left(32\right)$

$u_{Bif}^{(i,2)}={\Phi }_{(\xi =1)}{q}_{Bif}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{q}_{Bif1}\\ q_{Bif2}\\ q_{Bif3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{q}_{Bif2}\\ 0\\ 0\end{array}\right)---\left(33\right)$

根据周边桁架位移的描述，有：

其中为相邻两个四边形单元的夹角，θ为天线展开角度。

所以有：

同理可得C_i(B_i+1)处第二个约束方程：

步骤502：定义A₁B₁为固定杆，固定杆不考虑柔性变形，铰链A₁处的约束方程为：

$R_{A1}^{(1,1)}+A_{A1}^{(1,1)}{u}_{A1}^{(1,1)}=0^{(1,1)}---\left(37\right)$

由于

$u_{A1}^{(1,1)}={\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right)}^T---\left(38\right)$

即有：

$R_{A1}^{(1,1)}={\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right)}^T---\left(39\right)$

铰链B₁处的约束方程为：

$R_{A1}^{(1,1)}+A_{A1}^{(1,1)}{u}_{A1}^{(1,1)}=R_{B1}^{(1,2)}+A_{B1}^{(1,2)}{u}_{B1}^{(1,2)}---\left(40\right)$

由于

$u_{A1}^{(1,1)}={\left(\begin{array}{cc}{L}_1=0& 0\end{array}\right)}^T,u_{B1}^{(1,1)}{\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right)}^T---\left(41\right)$

即有：

$R_{A1}^{(1,1)}+\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{L}_1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=R_{B1}^{(1,2)}---\left(42\right)$

步骤503：根据方程(35)、(36)、(39)和(42)约束方程建立方式，可得到整体天线的运动约束方程组，并通过微分得到约束的雅可比矩阵。

步骤504：将索网动力学模型、桁架动力学模型及约束的雅可比矩阵代入方程(1)即可得到整体天线的动力学方程：

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T_E}{\partial \stackrel{·}{q}}\right)-\frac{\partial T_E}{\partial q}+\frac{\partial (U_E+U_g)}{\partial q}+C_q^T\lambda =Q---\left(43\right)$

其中λ为拉格朗日乘子。

步骤105：基于Newmark方法对该模型进行求解，即可得到索网形态的运动过程与索网对桁架产生的作用力变化情况。

本发明的效果通过如下仿真实验进行了验证。

将本发明的找形方法应用于某索网可展开天线结构上进行仿真，如图10所示。其中网状可展开天线周边桁架单元个数N＝6，桁架单元横杆L₁＝1m、竖杆L₂＝0.6m，所有索单元采用芳纶材料，弹性模量为E＝2×10¹⁰Pa，横截面积为A＝π/4×10^-6m³，索单元个数为211。

图11给出了通过本发明分析方法计算得到的索网结构分别对上桁架近端和远端五向接头的索力变化情况

综上，本发明基于弹性悬链线单元模型，推导了索网结构的动力学方程，并推导了柔性桁架索结构的动力学模型，与索网结构组合建模得到天线整体动力学模型。该发明能够准确得到柔性桁架与非线性索网共同作用下的天线展开动力学响应，为工程设计与改善天线展开过程的规划控制等提供有效支撑。其关键步骤是从微元角度推导悬链线单元的弹性势能与重力势能，得到准确的索网动力学模型。

本发明的优点是：1)能够对含索网结构的天线展开过程精确分析，得到索网形态的动态变化情况；2)能够精确得到展开过程索网作用力变化曲线，分析索网张力非线性因素对天线展开的影响，为可展开天线电机与控制系统设计提供基础，避免展开过程天线展开不稳定或不到位现象。

本实施方式中没有详细叙述的部分属本行业的公知的常用手段，这里不一一叙述。以上例举仅仅是对本发明的举例说明，并不构成对本发明的保护范围的限制，凡是与本发明相同或相似的设计均属于本发明的保护范围之内。