一种可快速实现复合衰落信道累积分布性能评估的方法

技术领域

本发明涉及一种可快速实现复合衰落信道累积分布性能评估的方法，尤其适用于综合考虑路径损耗、阴影效应、小尺度衰落以及加性高斯白噪声的复杂移动通信系统。

背景技术

无线通信系统的通信性能在很大程度上受制于系统工作的无线通信信道。在无线通信系统中，衰落是指接收端接收到的信号幅度和相位随着传输的不同路径和时间变化而发生随机改变的现象，这种现象将极大地影响接收机的性能。由于衰落反映的一个方面是信号功率问题，所以根据功率减小的快慢和程度，人们将衰落分成大尺度衰落和小尺度衰落。小尺度衰落是指电磁波在信道传播过程中受到反射、散射、绕射等因素的影响而导致接收端所接收的信号是来自各方向的电磁波的叠加，该信号在小范围内能够引起剧烈的波动即多径衰落；所谓的大尺度衰落是指信号在传播过程中由发射机和接收机之间的障碍物如建筑物、高山和丛林等的阻挡造成的能量损耗和波动。在实际的无线通信系统中，天线收发两端之间的传播路径的多样性和各种复杂的地形会导致信道的小尺度衰落具有非常强的随机性；此外，现代无线通信系统中收发端的天线在小区内间隔较远，例如由于接入距离的不同使得每个分布式天线端口(基站)与移动台之间的信号所经历的路径损耗不同，所以天线端口(基站)与移动台之间的无线信号在传输过程中经历的衰落就不仅仅是小尺度衰落，还需考虑诸如阴影衰落、路径损耗等大尺度衰落因素的不利影响。

常见的大尺度传播模型一般包括对数距离路径损耗和对数正态阴影模型，而小尺度衰落模型则包括Nakagami衰落、瑞利衰落和莱斯衰落等。由于在实际的无线通信环境中，Nakagami分布能很好地对包括城市在内的衰落信道中传输的信号包络进行建模，并综合了常用的瑞利和莱斯分布等纯散射和叠加视距传输的情形，故该模型一经提出就得到业界的广泛认可与应用。

发明内容

针对现有技术存在的不足，本发明目的是提供一种可快速实现复合衰落信道累积分布性能评估的方法，本发明所提出的Gamma-Gamma分布近似方案可以简化原精确模型的复杂无穷积分的表达，从而得出接收信噪比累积分布函数的闭合形式，进而降低CDF函数公式计算的复杂度，有利于快速分析、评估通信系统诸如中断概率、信道容量等性能指标。

为了实现上述目的，本发明是通过如下的技术方案来实现：

本发明的一种可快速实现复合衰落信道累积分布性能评估的方法，包括以下几个步骤：

(1)设置信道参数，采用Gamma分布近似(近似指的是Gamma分布的概率密度函数(PDF)和Lognormal分布的概率密度函数形状相似，也即两者的概率密度函数曲线能较好地相互重合。为本领域通用术语)Lognormal分布用于模拟阴影效应，进而构建Gamma-Gamma分布用于近似(该近似指的就是Gamma-Gamma分布的PDF和原Gamma-Lognormal分布的PDF相似。为本领域通用术语)原Gamma-Lognormal复合衰落信道模型；

(2)在复合衰落信道模型(此模型指：用来近似的Gamma-Gamma分布模型)的基础上，推导出以Meijer-G函数表示的接收信噪比累积分布函数的闭合表达式；

(3)由Meijer-G函数通过查阅公式值列表或者数值计算软件(如Matlab或Mathematics)计算出原复合衰落信道累积分布的性能。

步骤(1)中，所述复合衰落信道模型的构建方法如下：

在小尺度Nakagami衰落信道下，无线通信系统传输信号的包络α服从Nakagami分布，其PDF为：

$f_{\alpha }(\alpha ;m,\omega )=\frac{2m^m}{\Gamma \left(m\right){\omega }^m}{\alpha }^{2m-1}\exp (-\frac{m}{\omega }{\alpha }^2),---\left(1\right)$

上式中m和ω是Nakagami分布的两个重要参数，表达式分别为：

$\{\begin{array}{c}m=E^2\left[{\alpha }^2\right]/Var\left[{\alpha }^2\right]\\ \omega =E\left[{\alpha }^2\right]\end{array},---\left(2\right)$

其中，E[·]表示求均值，Var[·]表示求方差，Γ(·)表示伽马函数，ω是衰落幅度α的均方值，m被称为形状因子或衰落指数，表示此时小尺度衰落的严重程度，其取值满足m≥1/2；

衰落指数m的不同取值存在几种特殊情况：当m＝1/2时，其退化为单边高斯分布；当m＝1时，正好是瑞利分布；当m>1时，Nakagami分布可以等效为莱斯因子为的莱斯分布；

在考虑该Nakagami衰落信道中存在加性高斯白噪声的情况下，接收端每个符号对应的平均接收信噪比和瞬时接收信噪比γ存在如下关系：

$\left(\begin{array}{c}\gamma ={\alpha }^2{E}_s/N_0\\ \bar{\gamma }={\mathrm{\omega E}}_s/N_0\end{array}\right),---\left(3\right)$

其中，N₀和E_s分别为高斯白噪声的功率谱密度和信号发送功率；

依据上式可知，单个符号的瞬时接收信噪比γ和接收信号包络α两者概率密度函数之间存在如下关系：

$f_{\gamma }\left(\gamma \right)=\frac{f_{\alpha }\left(\sqrt{\omega \gamma /\bar{\gamma }}\right)}{2\sqrt{\gamma \bar{\gamma }/\omega }},---\left(4\right)$

根据随机变量PDF与其函数所得新随机变量PDF之间的雅克比行列式变换规则，可得接收单个符号瞬时信噪比γ的PDF为

$f_{\gamma }(\gamma ;m,\bar{\gamma })=\frac{m^m{\gamma }^{m-1}}{\Gamma \left(m\right){\bar{\gamma }}^m}\exp (-\frac{m\gamma }{\bar{\gamma }}),---\left(5\right)$

该表达式清楚地说明随机变量γ服从Gamma分布；

如果信道中同时存在大尺度路径损耗与阴影衰落，则其平均接收信噪比服从对数正态分布，其PDF为

$f_{\bar{\gamma }}\left(\bar{\gamma }\right)=\frac{\xi }{\sqrt{2\pi }\sigma \bar{\gamma }}\exp [-\frac{{(10lg\bar{\gamma }-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}],---\left(6\right)$

上式中，ξ＝10/ln10为一固定常数；μ和σ分别为障碍物对接收信号包络功率产生的平均路径损耗和随机波动标准差；

在综合考虑Nakagami衰落、路径损耗和阴影衰落的情况下，可得此时复合衰落信道模型的接收信噪比γ的PDF为：

$f_{\gamma }\left(\gamma \right)=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{m^m{\gamma }^{m-1}}{\Gamma \left(m\right){\bar{\gamma }}^m}\exp (-\frac{m\gamma }{\bar{\gamma }})\frac{\xi }{\sqrt{2\pi }\sigma \bar{\gamma }}\exp [-\frac{{(10lg\bar{\gamma }-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}]d\bar{\gamma },\gamma >0,---\left(7\right)$

其中，指的是平均接收信噪比，同时也是该无穷积分的自变量，从上式(7)的表达形式上可以看出，模拟实际复杂通信环境中的复合衰落信道模型其接收信噪比服从Gamma-Lognormal分布。

步骤(2)中，所述接收信噪比累积分布函数的闭合表达式如下：

对(7)式得到的PDF进行积分即可得接收信噪比γ的CDF为：

$\begin{array}{c}{F}_{\gamma }\left(X\right)={\int }_0^X{f}_{\gamma }\left(\gamma \right)d\gamma \\ =1-\frac{1}{\Gamma \left(m\right)}{\int }_0^{\infty }\Gamma (m,mX/s)\frac{\xi }{\sqrt{2\pi }\sigma s}\exp [-\frac{{(10\lg s-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}]ds\end{array},---\left(8\right)$

用Gamma分布代替表达式(7)中的对数正态分布以对对数阴影衰落进行建模，也即以Gamma分布表示的平均接收信噪比的PDF为：

$f_{\bar{\gamma }}\left(\bar{\gamma }\right)=\frac{{\bar{\gamma }}^{n-1}}{\Gamma \left(n\right){\chi }^n}\exp (-\frac{\bar{\gamma }}{\chi }),\bar{\gamma }>0,---\left(9\right)$

上式中，n为Gamma分布的阶数；χ表示平均功率；由Gamma分布得到的近似公式(9)与原精确Lognormal分布得到的公式(6)之间，核心参数间的变换关系是：

$\left(\begin{array}{c}\mu =\xi [ln\chi +\psi \left(n\right)]\\ {\sigma }^2={\xi }^2{\psi }^{\prime }\left(n\right)\end{array}\right),---\left(10\right)$

上式中，ψ(·)和ψ′(·)分别是digamma和trigamma函数；所以可得到近似后的复合衰落信道中接收信噪比γ的PDF为：

$f_{\gamma }\left(\gamma \right)={\int }_0^{\infty }\frac{m^m{\gamma }^{m-1}}{\Gamma \left(m\right)s^m}\exp (-\frac{m\gamma }{s})\frac{s^{n-1}}{\Gamma \left(n\right){\chi }^n}\exp (-\frac{s}{\chi })ds,\gamma >0,---\left(11\right)$

从上式(11)的表达形式可以看出，构建的近似复合衰落信道模型其接收信噪比服从Gamma-Gamma分布；令t＝s/χ和η＝m/χ，经推导可得

$f_{\gamma }\left(\gamma \right)=\frac{2{\eta }^{\frac{m+n}{2}}}{\Gamma \left(m\right)\Gamma \left(n\right)}{\gamma }^{\frac{m+n}{2}-1}{K}_{(m-n)}\left(2\sqrt{\eta \gamma }\right),---\left(12\right)$

其中，K_(m-_n)(·)是(m-n)阶第二类修正Bessel函数；再对上式进行积分可得接收信噪比γ的CDF为

$F_{\gamma }\left(X\right)={\int }_0^X{f}_{\gamma }\left(\gamma \right)d\gamma =\frac{1}{\Gamma \left(m\right)\Gamma \left(n\right)}{G}_{13}^{21}\left(\eta X{|}_{m,n,0}^1\right)---\left(13\right)$

其中，是Meijer-G函数且0≤k≤q，0≤l≤p≤q；k,l,p,q为整数；

公式(13)给出了一种可以用工程数学上常用的表列函数(是专业术语，英文名为“Tabulated function”，翻译过来就是“表列函数”)来表示的，复合衰落信道接收信噪比CDF的闭合表达式通过数值仿真软件计算。

上述数值仿真软件具体采用的是Matlab或者Mathematic。

本发明提出的一种快速实现复合衰落信道累积分布函数性能评估的方法，使之便于分析系统诸如中断概率、信道容量等性能指标。该方案是在构建复合衰落模型时，仍以Nakagami分布反映传输信号的小尺度衰落，而采用Gamma分布近似对数正态(Lognormal)分布来描述路径损耗和阴影效应的大尺度衰落特性，得出经过近似后的接收端每个符号信噪比的概率密度函数服从Gamma-Gamma分布。基于此，该复合衰落信道的累积分布函数即可化简为一个以所谓“表列函数”Meijer-G函数表示的闭合表达式，这将有利于进行计算机快速数值仿真以分析复合衰落信道的特性。

附图说明

图1为基于蜂窝小区结构的无线通信系统通用模型图；

图2为本发明的一种可快速实现复合衰落信道累积分布性能评估的方法工作流程图；

图3为以衰落指数m作变量，采用Gamma-Gamma近似复合衰落信道接收信噪比累积分布特性与精确Gamma-lognormal累积分布函数曲线对比图；

图4为以阴影衰落程度σ作变量，采用Gamma-Gamma近似复合衰落信道接收信噪比累积分布特性与精确累积分布函数曲线对比图；

图5为以平均路径损耗μ作变量，采用Gamma-Gamma近似复合衰落信道接收信噪比累积分布特性与精确累积分布函数曲线对比图。

具体实施方式

为使本发明实现的技术手段、创作特征、达成目的与功效易于明白了解，下面结合具体实施方式，进一步阐述本发明。

本发明的实施例可以广泛应用于存在复杂通信环境的现代无线通信系统，即通过提出一种快速评估信道累积分布性能的方法为诸如无线通信系统中断概率及信道容量的分析与评估提供有力依据。包含复合衰落信道的现代无线通信系统的一般模型示意图如图1所示：在一个类似蜂窝结构的无线通信环境中，基站发射的无线信号在区域范围内进行远距离传输时，由于信号在传输过程中会遇到诸如高大建筑、丛林等障碍物的阻挡而发生大尺度衰落；而信号在到达接收端附近时，由于无线信号受到周围散射、反射环境等因素的影响而产生多径小尺度衰落。所以类似手机等移动设备的接收端接收的信号就是发送端发送的原始信号通过具有很强随机性的信道后得到的，也因此，对无线通信信道的建模研究一直都是移动通信研究过程中的重点。

本发明在综合考虑路径损耗与阴影效应等大尺度衰落、Nakagami小尺度衰落以及白噪声的情况下构建了一个符合实际通信传输条件的复合衰落信道模型，基于该模型得到的接收信号信噪比的概率密度函数(Probability Density Function,PDF)是一种精确的信号功率统计特性表达式，在此基础上依据该PDF表达式得到的累积分布函数(Cumulative Distribution Function,CDF)则可以进一步评估现代通信系统中诸如中断概率、信道容量等重要系统性能指标，故对该CDF函数的计算与评估就显得尤为重要。由于上述复合衰落信道接收信号信噪比的PDF表达式通常是一个复杂的无穷积分形式，故无法进行化简得到闭型的累积分布函数表达式，所以不利于进一步开展相关研究，其已成为现代通信系统性能分析的一个难点。本发明即给出一种针对上述复合衰落信道的简化近似模型，从而能够快速实现对复合衰落信道累积分布函数特性的性能分析和研究。

参见图2，在小尺度Nakagami衰落信道下，无线通信系统传输信号的包络α服从Nakagami分布，其PDF为：

$f_{\alpha }(\alpha ;m,\omega )=\frac{2m^m}{\Gamma \left(m\right){\omega }^m}{\alpha }^{2m-1}\exp (-\frac{m}{\omega }{\alpha }^2),---\left(1\right)$

上式中m和ω是Nakagami分布的两个重要参数，表达式分别为：

$\{\begin{array}{c}m=E^2\left[{\alpha }^2\right]/Var\left[{\alpha }^2\right]\\ \omega =E\left[{\alpha }^2\right]\end{array},---\left(2\right)$

其中，E[·]表示求均值，Var[·]表示求方差。Γ(·)表示伽马函数，ω是衰落幅度α的均方值，m被称为形状因子或衰落指数，表示此时小尺度衰落的严重程度，其取值满足m≥1/2。衰落指数m的不同取值存在几种特殊情况：当m＝1/2时，其退化为单边高斯分布；当m＝1时，正好是瑞利分布；当m>1时，Nakagami分布可以等效为莱斯因子为的莱斯分布。在考虑该Nakagami衰落信道中存在加性高斯白噪声的情况下，接收端每个符号对应的平均接收信噪比和瞬时接收信噪比γ存在如下关系：

$\left(\begin{array}{c}\gamma ={\alpha }^2{E}_s/N_0\\ \bar{\gamma }={\mathrm{\omega E}}_s/N_0\end{array}\right),---\left(3\right)$

其中，N₀和E_s分别为高斯白噪声的功率谱密度和信号发送功率。依据上式可知，单个符号的瞬时接收信噪比γ和接收信号包络α两者概率密度函数之间存在如下关系：

$f_{\gamma }\left(\gamma \right)=\frac{f_{\alpha }\left(\sqrt{\omega \gamma /\bar{\gamma }}\right)}{2\sqrt{\gamma \bar{\gamma }/\omega }},---\left(4\right)$

根据随机变量PDF与其函数所得新随机变量PDF之间的雅克比行列式变换规则，可得接收单个符号瞬时信噪比γ的PDF为

$f_{\gamma }(\gamma ;m,\bar{\gamma })=\frac{m^m{\gamma }^{m-1}}{\Gamma \left(m\right){\bar{\gamma }}^m}\exp (-\frac{m\gamma }{\bar{\gamma }}),---\left(5\right)$

该表达式清楚地说明随机变量γ服从Gamma分布。

如果信道中同时存在大尺度路径损耗与阴影衰落，则其平均接收信噪比服从对数正态分布，其PDF为

$f_{\bar{\gamma }}\left(\bar{\gamma }\right)=\frac{\xi }{\sqrt{2\pi }\sigma \bar{\gamma }}\exp [-\frac{{(10\lg \bar{\gamma }-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}].---\left(6\right)$

上式中，ξ＝10/ln10，μ和σ(均以dB为单位)，分别为障碍物对接收信号包络功率产生的平均路径损耗和随机波动标准差。在综合考虑Nakagami衰落、路径损耗和阴影衰落的情况下，可得此时复合衰落信道模型的接收信噪比γ的PDF为：

$f_{\gamma }\left(\gamma \right)=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{m^m{\gamma }^{m-1}}{\Gamma \left(m\right){\bar{\gamma }}^m}\exp (-\frac{m\gamma }{\bar{\gamma }})\frac{\xi }{\sqrt{2\pi }\sigma \bar{\gamma }}\exp [-\frac{{(10\lg \bar{\gamma }-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}]d\bar{\gamma },\gamma >0,---\left(7\right)$

从上式(7)的表达形式上可以看出，模拟实际复杂通信环境中的复合衰落信道模型其接收信噪比服从Gamma-Lognormal分布。再对上式得到的PDF进行积分即可得接收信噪比γ的CDF为：

$\begin{array}{c}{F}_{\gamma }\left(X\right)={\int }_0^X{f}_{\gamma }\left(\gamma \right)d\gamma \\ =1-\frac{1}{\Gamma \left(m\right)}{\int }_0^{\infty }\Gamma (m,mX/s)\frac{\xi }{\sqrt{2\pi }\sigma s}\exp [-\frac{{(10\lg s-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}]ds\end{array}.---\left(8\right)$

由公式(8)可知，复合衰落信道的接收信噪比γ的CDF为一复杂的无穷积分式，无法写成工程数学中通用的闭型表达式的形式，这将非常不利于开展基于该累积分布函数表达式而建立的现代无线通信系统中诸如中断概率、信道容量等性能指标的评估和研究工作。所以本发明拟提供一种简化近似方法来解决此问题，即用Gamma分布代替表达式(8)中的对数正态分布以对对数阴影衰落进行建模，也即以Gamma分布表示的平均接收信噪比的PDF为：

$f_{\bar{\gamma }}\left(\bar{\gamma }\right)=\frac{{\bar{\gamma }}^{n-1}}{\Gamma \left(n\right){\chi }^n}\exp (-\frac{\bar{\gamma }}{\chi }),\bar{\gamma }>0.---\left(9\right)$

上式中，n为Gamma分布的阶数；χ表示平均功率。由Gamma分布得到的近似公式(9)与原精确Lognormal分布得到的公式(6)之间，核心参数间的变换关系是：

$\left(\begin{array}{c}\mu =\xi [ln\chi +\psi \left(n\right)]\\ {\sigma }^2={\xi }^2{\psi }^{\prime }\left(n\right)\end{array}\right),---\left(10\right)$

上式中，ψ(·)和ψ′(·)分别是digamma和trigamma函数。所以可得到近似后的复合衰落信道中接收信噪比γ的PDF为：

$f_{\gamma }\left(\gamma \right)={\int }_0^{\infty }\frac{m^m{\gamma }^{m-1}}{\Gamma \left(m\right)s^m}\exp (-\frac{m\gamma }{s})\frac{s^{n-1}}{\Gamma \left(n\right){\chi }^n}\exp (-\frac{s}{\chi })ds,\gamma >0.---\left(11\right)$

从上式(11)的表达形式可以看出，构建的近似复合衰落信道模型其接收信噪比服从Gamma-Gamma分布。令t＝s/χ和η＝m/χ，经推导可得

$f_{\gamma }\left(\gamma \right)=\frac{2{\eta }^{\frac{m+n}{2}}}{\Gamma \left(m\right)\Gamma \left(n\right)}{\gamma }^{\frac{m+n}{2}-1}{K}_{(m-n)}\left(2\sqrt{\eta \gamma }\right),---\left(12\right)$

其中，K_(m-_n)(·)是(m-n)阶第二类修正Bessel函数。再对上式进行积分可得接收信噪比γ的CDF为

$F_{\gamma }\left(X\right)={\int }_0^X{f}_{\gamma }\left(\gamma \right)d\gamma =\frac{1}{\Gamma \left(m\right)\Gamma \left(n\right)}{G}_{13}^{21}\left(\eta X{|}_{m,n,0}^1\right)---\left(13\right)$

其中，是Meijer-G函数且0≤k≤q，0≤l≤p≤q；k,l,p,q为整数。公式(13)给出了一种可以用工程数学上常用的“表列函数”来表示的，有关复合衰落信道接收信噪比CDF的闭合表达式，该表达式可以通过诸如数值仿真软件Matlab、Mathematic等快速、精确计算。

图3是以衰落指数m作变量，采用Gamma-Gamma近似得到的复合衰落信道接收信噪比累积分布函数与原精确累积分布函数曲线对比图。从该图可以看出，在给定典型大尺度衰落影响因子如路径损耗μ＝20dB和阴影衰落程度σ＝8dB的前提下，改变小尺度衰落形状因子m所得的近似累积分布函数CDF随接收信噪比X变化的曲线和精确累积分布函数性能曲线之间有比较好的近似效果，即Gamma-Gamma分布能较好地反映真实复合衰落信道的累积分布特性。

图4是以阴影衰落程度σ作变量，采用Gamma-Gamma近似复合衰落信道接收信噪比累积分布函数与精确累积分布函数曲线对比图。在给定典型小尺度衰落影响因子如衰落指数m＝1和大尺度衰落的影响因子路径损耗μ＝20dB的情况下，改变阴影衰落随机波动标准差σ所得的近似和精确累积分布函数性能曲线之间的近似效果图。从该图可以看出，不论随机波动标准差σ如何取值，近似处理后的累积分布函数曲线图与原精确模型曲线图之间的误差较小，且两类曲线发展趋势基本一致，即该近似处理具有很高的精确性。

图5是以平均路径损耗μ作变量，采用Gamma-Gamma近似复合衰落信道接收信噪比累积分布函数与精确累积分布函数曲线对比图。在给定典型大尺度衰落影响因子即衰落随机波动标准差σ＝8dB和小尺度衰落影响因子即衰落指数m＝1的情形下，改变平均路径损耗μ所得的近似累积分布函数性能曲线亦能很好的近似精确累积分布函数性能曲线。

由以上本发明给出的具体实施过程可以看出，该对复合衰落信道累积分布性能进行快速评估的近似处理方法在不同的衰落影响因子条件下皆具有非常强的适用性和准确性：也即对于决定小尺度衰落严重程度的衰落指数m和决定大尺度衰落严重程度的随机波动标准差σ、平均路径损耗μ的典型取值，该方法均能比较准确地近似精确接收信噪比累积分布函数曲线，进而反映复合信道的累积分布特性。

总之，本发明所提出的Gamma-Gamma分布近似方案可以简化原精确模型的复杂无穷积分的表达从而得出接收信噪比累积分布函数的闭合形式，进而降低CDF函数公式计算的复杂度，有利于快速分析、评估通信系统诸如中断概率、信道容量等性能指标。

以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。