一种基于伴随矩阵的供水管网泄漏故障反向寻源方法

技术领域

本发明涉及管道，是一种基于伴随矩阵的供水管网泄漏故障反向寻源方法，应用于供水管网泄漏寻源、流场反向瞬态参数求解、管道压力分布机理分析。

背景技术

管网漏损状况不仅浪费了宝贵的水资源，还将增加供水设备造价，给供水企业带来了巨大的经济损失的同时，还会对周围环境造成污染。采取积极有效的措施对管网广义污染问题进行控制，已成为我国二十一世纪供水行业的重点研究问题。

现有供水管网的检测与诊断设备无法在检测精确度与设备投资维护成本之间达成一个良好的平衡。真正应用到管网故障检测的设备与理论在技术上有很高的要求。首先，要求该项目所建立的检测模型具有较高的检测与定位精度，尤其是在泄流量比较小的慢性渗漏检测、定位与渗流量估计上，要求模型能够做出准确判断。其次，要求该项目对传感器的安装位置进行最优化设计，应用最少的装置有效的进行管网污染检测。最后，要求该项目所建立的模型具有很好的普适性，尤其要适应不同构造的复杂管网。

从上世纪70年代开始，就有相关学者开展管网泄漏检测领域的技术研究。从测量信号来分类，主要有流量、浓度、压力、压差、频率及声波等。总结下来主要有以下几大类：1)基于流量参数的管网泄漏检测；2)基于压差信号的管线泄漏检测；3)反向瞬态分析方法；4)多参数信息融合的管网泄漏检测方法。与前几年该领域所取得的成果相比，近几年有了突破性进展。更多信号处理分析的算法被应用到管网的泄漏检测中。这些算法都增强了泄漏诊断的精度和效率。此外，基于模拟和计算的建模方法越来越多的被应用到管线泄漏检测与定位中。但这些方法具体应用到实际管网泄漏检测中还存在一定的问题，容易受到环境条件的限制，在各种噪声的干扰下，检测效率并不如预期理想。反向模型校正算法作为国际热门污染寻源方法在管网的泄漏检测方面也有了一定的创新性应用。而其中的反向方法，具有使用检测设备少，寻源快的优势。但现有反向检测方法大多依赖于单独的检测信号，受传感器与检测质量影响很大，而且只是单纯的信号分析处理，并没有从流场的建模与求解角度出发，所得到的结论不具有普适性，受条件限制情况比较严重。

发明内容

本发明的目的是，提供一种从流场的建模求解角度出发，科学合理，寻源速度快，实用价值高的基于伴随矩阵的供水管网泄漏故障反向寻源方法。

实现本发明采用的技术方案是：一种基于伴随矩阵的供水管网泄漏故障反向寻源方法，其特征是，它包括以下步骤：

(1)建立管网流场瞬态方程，找出与流场瞬态压力耦合的参数，保留这些参数，对流场瞬态方程进行简化，简化后，与建模有关的管网流场瞬态方程组为

$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial p}{\partial t}+\frac{a^2}{g}\frac{\partial v}{\partial x}=0\\ \frac{\partial v}{\partial t}+g\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{f\left|v\right|v}{2D}=0\end{array}\right)---\left(1\right)$

式中，p为压强，v为流速，t为时间，x为横向空间位置，a为压力波在水中传播速度，g为重力加速度，f为达西维斯巴赫系数，D为管道直径；

(2)以管网泄漏对流场形成的压力波影响为依据，构建敏感度函数，所构建的压力波敏感函数为

h(α,p)＝p(x,t)δ(x-x^*)δ(t-t^*)(2)

式中，p(x,t)为压力波传播函数，δ(·)为狄克拉函数，x^*与t^*为泄漏或堵塞故障发生的位置与时间，α为敏感度参数，即过程变量，p为压力；

(3)使敏感度函数对压强求导，并引入伴随算子，推导管网流场瞬态伴随方程，具体推导过程为

目标函数为：h(α,p)＝p(x,t)δ(x-x^*)δ(t-t^*)(3)

状态函数为：

定义：L＝∫∫_x,th(α,p)dxdt

$\frac{dL}{{\mathrm{d\alpha }}_k}=\int {\int }_{x,t}[\frac{\partial h(\alpha ,p)}{\partial {\alpha }_k}+\frac{\partial h(\alpha ,p)}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial {\alpha }_k}]dxdt---\left(5\right)$

$\frac{\partial F}{\partial {\alpha }_k}=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial p}{\partial {\alpha }_k}\right)+\frac{a^2}{g}\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial {\alpha }_k}\right)=0\\ \frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial v}{\partial {\alpha }_k}\right)+g\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial p}{\partial {\alpha }_k}\right)+\frac{f\left|v\right|}{2D}\frac{\partial v}{\partial {\alpha }_k}=0\end{array}\right)---\left(6\right)$

定义：α_k为敏感度变量，是一个过程变量，

由于(7)式等于零，可以乘以任意函数和λ^*，为压力参数伴随因子，λ^*为速度参数伴随因子，进行变型

又由于其为零，可以加入到于是，得到

利用高斯散度定理处理：

将(10)式化简得

其中，为泄漏强度项

为消除和λ，令其系数为0，得到伴随方程

式中，和λ^*为任意函数，α_k为系统的状态参数，

边界条件：λ^*(0,t)＝0，λ^*(L,t)＝0；

初始条件：λ^*(x,T)＝0；

其中t为时间变量，x为距离变量，L为距离常数，T为时间常数；

(4)将伴随方程进行空间与时间的反向处理，应用拉普拉斯变换和傅里叶变换求解析解，得到反向寻源模型。

做反向处理，τ＝t_d-t，x为-x，得反向伴随方程

式中，τ＝t_d-t，t_d为检测的时间，x_d为检测的位置，

最终根据流场瞬态方程以及反向方程，通过拉普拉斯变换和傅里叶变换求得解析解为正向压强分布解析解：

反向压强分布解析解：

式中，P₀为初始压力值，即为边界条件，u()为阶跃函数，δ为狄拉克函数，a为压力波在水中的传播速度，t为时间，x为距离，τ为反向为起点的时间；

(5)应用MATLAB进行模拟仿真，验证所得解析解，确定最终反向寻源模型，通过对压强P函数对位移x求导，得到检测泄漏位置的判定模型，然后通过MATLAB仿真，设定检测泄漏位置的时间或设定泄漏位置，找出相应的泄漏位置或检测时间，最后实现时间与空间两方面的泄漏定位。

利用本发明的方法对管网泄漏故障进行诊断分析，充分反应此方法对管网泄漏故障检测的有效性；该方法具有科学合理，寻源速度快，普适性强，实用价值高等优点。

附图说明

图1是检测点检测到有泄漏发生时的压力曲线变化图；

图2是基于判别模型的管道泄漏概率曲线图。

图1是通过反向瞬态伴随方程求解得到的压力函数在MATLAB中的仿真，得到在有泄漏发生时，检测点压力随着时间的变化曲线图，从图中可以清晰看到泄漏产生的负压波传递到检测点时压力会有一个突然的阶跃变化。图2是应用MATLAB对泄漏判定模型的仿真结果，当有泄漏发生时，压差信号会有一个明显的脉冲，通过脉冲发生的位置和负压波传递的速度，可以实现泄漏故障的迅速定位。

具体实施方式

本发明的基于伴随矩阵的供水管网泄漏故障反向寻源方法，包括以下步骤：

(1)建立管网流场瞬态方程，找出与流场瞬态压力耦合的参数，保留这些参数，对流场瞬态方程进行简化。简化后的与建模有关的管网流场瞬态方程组为

$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial p}{\partial t}+\frac{a^2}{g}\frac{\partial v}{\partial x}=0\\ \frac{\partial v}{\partial t}+g\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{f\left|v\right|v}{2D}=0\end{array}\right)---\left(1\right)$

式中，p为压强，v为流速，t为时间，x为横向空间位置，a为压力波在水中传播速度，g为重力加速度，f为达西维斯巴赫系数，D为管道直径。

(2)以管网泄漏对流场形成的压力波影响为依据，构建敏感度函数。所构建的压力波敏感函数为

h(α,p)＝p(x,t)δ(x-x^*)δ(t-t^*)(2)

式中，p(x,t)为压力波传播函数，δ(·)为狄克拉函数，x^*与t^*为泄漏或堵塞故障发生的位置与时间，α为敏感度参数，即过程变量，p为压力。

(3)使敏感度函数对压强求导，并引入伴随算子，推导管网流场瞬态伴随方程。具体推导过程为

目标函数为：h(α,p)＝p(x,t)δ(x-x^*)δ(t-t^*)(3)

状态函数为：

定义：L＝∫∫_x,th(α,p)dxdt

$\frac{dL}{{\mathrm{d\alpha }}_k}=\int {\int }_{x,t}[\frac{\partial h(\alpha ,p)}{\partial {\alpha }_k}+\frac{\partial h(\alpha ,p)}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial {\alpha }_k}]dxdt---\left(5\right)$

$\frac{\partial F}{\partial {\alpha }_k}=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial p}{\partial {\alpha }_k}\right)+\frac{a^2}{g}\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial {\alpha }_k}\right)=0\\ \frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial v}{\partial {\alpha }_k}\right)+g\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial p}{\partial {\alpha }_k}\right)+\frac{f\left|v\right|}{2D}\frac{\partial v}{\partial {\alpha }_k}=0\end{array}\right)---\left(6\right)$

定义：α_k为敏感度变量，是一个过程变量。

由于上式等于零，可以乘以任意函数和λ^*，为压力参数伴随因子，λ^*为速度参数伴随因子，进行变型

又由于其为零，可以加入到于是，得到

利用高斯散度定理处理：

将(10)式化简得

其中，为泄漏强度项

为消除和λ，令其系数为0，得到伴随方程

式中，和λ^*为任意函数，α_k为系统的状态参数。

边界条件：λ^*(0,t)＝0，λ^*(L,t)＝0；

初始条件：λ^*(x,T)＝0。

其中t为时间变量，x为距离变量，L为距离常数，T为时间常数，

(4)将伴随方程进行空间与时间的反向处理，应用拉普拉斯变换和傅里叶变换求解析解，得到反向寻源模型。

做反向处理，τ＝t_d-t，x为-x，可得反向伴随方程

式中，τ＝t_d-t，t_d为检测的时间，x_d为检测的位置。

最终根据流场瞬态方程以及反向方程，通过拉普拉斯变换和傅里叶变换求得解析解为正向压强分布解析解：

反向压强分布解析解：

式中，P₀为初始压力值(边界条件)，u()为阶跃函数，δ为狄拉克函数，a为压力波在水中的传播速度，t为时间，x为距离，τ为反向为起点的时间。

(5)应用MATLAB进行模拟仿真，验证所得解析解，确定最终反向寻源模型。通过对压强P函数对位移x求导，得到检测泄漏位置的判定模型，然后通过MATLAB仿真，设定检测泄漏位置的时间或设定泄漏位置，找出相应的泄漏位置或检测时间，最后实现时间与空间两方面的泄漏定位，具体仿真结果如附图1和2所示。

下面利用附图和实施例对本发明作进一步说明。

具体实例：图1是在利用MATLAB对解析解进行验算的过程中，假设发生泄漏位置距离检测点5000米，波速为1300m/s,管道的初始压力为0.05Mpa，利用反向解析模型解得的在检测点处经过3.84秒后压力出现阶跃，按照设定的波数为1300m/s计算，显然时间与发生泄漏的位置吻合。

图2是对反向压力分布函数对距离求导，得到判断泄漏点位置的判定函数，并假设发生泄漏位置距离检测点5000米，最后得到的时间分布曲线图。从图中可以看到，脉冲发生的位置正是压力信号出现阶跃的位置，即距离初始检测时间为3.84秒时，发生脉冲，也就是说明管道发生泄漏时产生的负压波经过3.84秒后传递到检测点。进而通过波速和时间，可以迅速判断出泄漏点距离检测点的位置，从而实现了管道泄漏的定位寻源。

因此，基于伴随矩阵的供水管网泄漏故障反向寻源方法，能够避免受到工作环境噪声的干扰，通过对流场的反向求解，迅速准确的找到泄漏发生的位置。经过仿真验证表明，基于伴随矩阵的供水管网泄漏故障反向寻源方法是高效且实用的。