一种浆砌石挡土墙极限承载力的塑性极限分析上限法

技术领域

本发明涉及一种浆砌石挡土极限承载力的塑性极限分析上限法，属于边坡防护工程技术领域。

背景技术

边坡工程的防护是基础工程建设的重要内容之一，浆砌石挡土墙是边坡工程中一种常用的护坡构筑物。浆砌石挡土墙具有很多优点，比如：成本相对较低、适应性强、护坡能力较高、施工简便等，因为这些优点浆砌石挡土墙受到大量边坡防护工程项目的青睐。因此有必要对浆砌石挡土墙的承载能力以及破坏的力学效应进行研究，这具有重要的实用价值和理论意义。

浆砌石挡土墙一般选取形状规则的料石或毛石用水泥砂浆砌筑而成。施工中要求石块分层卧砌、上下错缝、内外搭砌，并且严格做到“平、稳、紧、满”四个字。平就是每一层要求水平上升，等高进行，不允许砌筑面因进度不同造成高差过大，稳就是石块要砌得稳，不易动摇；紧就是石块与石块靠得严实，没有大的缝隙，空隙中的砂浆填塞紧密；满就是砂浆要灌满石缝，防止产生干缝和虚缝。严格按照施工技术规程修建的浆砌石挡土墙具有较高的强度和刚度，承载能力较好。出于经济、安全的目的，在浆砌石挡土墙设计阶段需要对挡墙进行科学的设计，主要确定其承载能力、几何尺寸、材料参数等。近四十年来，随着计算机技术的发展和岩土理论的深入研究，浆砌石挡土墙的分析已经形成了许多实用的方法，比如：刚体极限平衡法、有限元法、离散单元法等。众多工程师和学者从浆砌石挡土墙的土压力理论、抗滑稳定计算、变形计算以及极限承载能力等方面进行了系统深入的研究，并取得了丰硕的研究成果。

虽然浆砌石挡土墙被广泛应用于边坡防护工程中，但浆砌石挡土墙具有复杂的力学特性，主要表现在：浆砌石挡土墙为典型的非连续介质，墙体的破坏一般发生在砂浆层面上，石块一般不发生破坏。因此，当前的广泛应用的分析方法还不能准确的描述浆砌石挡土墙极限承载力问题。这方面仍有许多不足之处，主要表现在：

(1)现阶段浆砌石挡土墙承载能力的主流分析方法中以极限平衡法为主，极限平衡法虽然在许多学者的努力下已经非常便于应用，但其只适用于已知挡土墙破坏机构(破裂面)的情况，即破裂面是计算之前人为事先假定的，这与实际情况有一定的差别，所以极限平衡法具有一定的局限性。

(2)浆砌石挡土墙主要由形状各异的块石和水泥砂浆砌筑而成，其中块石由于强度较高一般不会发生破坏，挡土墙的破坏一般发生在水泥砂浆层面，因此浆砌石挡土墙具有高度的非连续介质特性，在极限状态下其破坏机构难于确定，因此需要一种能模拟非连续介质力学特性的方法来求解其极限荷载。

鉴于此，本发明基于国家自然科学基金项目(51564026)的研究工作提出了一种新的浆砌石挡土墙的极限承载力的求解方法。

发明内容

本发明的目的是提供一种浆砌石挡土墙极限承载力的计算方法，获得浆砌石挡土墙破坏时的极限状态，为边坡挡土墙的设计、计算提供一种新的方法。

本发明的浆砌石挡土墙极限承载力上限法的技术方案依次按以下步骤进行：参见图1技术路线图

一、拟定浆砌石挡土墙的计算参数，根据浆砌石挡土墙的实际情况，拟定其计算参数，主要包括：防护边坡的地质条件参数、挡土墙体型几何参数、挡土墙及土体的材料参数(容重、凝聚力、摩擦角)、荷载参数等信息。

二、采用刚性块体单元离散浆砌石挡土墙，即采用刚性块体单元离散方法将浆砌石挡土墙离散成为刚性块体单元+无厚度砂浆层面的力学模型(如图2所示)，以刚性块体单元形心的速率为未知量构建挡土墙的机动许可速度场。浆砌石挡土墙由石块和砂浆层面组成，为了能够简化计算并且准确的寻求其极限荷载的上限解，本发明假设砌石石块为刚性块体，其不会发生任何变形和破坏，并采用刚性块体单元模拟其力学特性；同时假设砂浆层面为无厚度接触面，挡土墙的破坏只发生在石块之间的砂浆层面处，并且在变形过程中，石块之间不会相互脱离开。

块体单元、砂浆层面(接触面)上定义的变量如图3所示。其中总体坐标系为(X,Y)，相邻块体单元i与块体单元j的砂浆层面k上的局部坐标系定义为(S_k,n_k)，块体i形心上作用的速率向量为结构面k上存在的速率间断，其向量为各变量说明详见表1所示。

表1砂浆层面和刚性块体单元的变量

三、建立求解浆砌石挡土墙极限承载力的上限法非线性数学规划模型

1、目标函数

本发明将浆砌石挡土墙墙后填土表面的无限均布荷载q₀作为目标函数，假设墙后填土延伸到无限远处，填土表面为水平，墙背垂直光滑。求解其极限荷载就是求解挡土墙在发生失稳破坏临界时刻的荷载，根据上限定理，需要求解q₀的最小值具体目标函数定义如下：

Minimize:q₀(1)

其中：q₀为挡土墙墙后填土表面的无限均布荷载(如图4所示)。

2、砌石石块的块体单元上限法约束方程

(1)刚性块体单元变形协调条件

将浆砌石挡土离散为刚性块体单元+无厚度砂浆层面的几何系统以后，相邻块体单元i、j以及两者的砂浆层面k之间的变形必须满足变形协调条件。变形协调条件如下：

$\left[\delta {\overrightarrow{q}}_k^t\right]=\left[{\overrightarrow{T}}_k^g(\delta {\overrightarrow{u}}_i^t-\delta {\overrightarrow{u}}_j^t)\right]---\left(2\right)$

上式中：为相邻块体之间的相对速率。其中：为总体坐标系和局部坐标系的转换矩阵：

${\overrightarrow{T}}_k^g=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{cos\alpha }}_k& -{\mathrm{sin\alpha }}_k\\ {\mathrm{sin\alpha }}_k& {\mathrm{cos\alpha }}_k\end{array}\right)---\left(3\right)$

则可得到：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\delta S}}_k\\ {\mathrm{\delta n}}_i\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\alpha }}_k& -{\mathrm{sin\alpha }}_k& -{\mathrm{cos\alpha }}_k& {\mathrm{sin\alpha }}_k\\ {\mathrm{sin\alpha }}_k& {\mathrm{cos\alpha }}_k& -{\mathrm{sin\alpha }}_k& -{\mathrm{cos\alpha }}_k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\delta u}}_i\\ {\mathrm{\delta v}}_i\\ {\mathrm{\delta u}}_j\\ {\mathrm{\delta v}}_i\end{array}\right)---\left(4\right)$

上式中：α_k为两个块体单元之间砂浆层面的倾角(逆时针为正)。

式(4)可用向量、矩阵简写为：

$\delta \overrightarrow{q}=\overrightarrow{D}\delta \overrightarrow{u}---\left(5\right)$

上式中：

(2)砂浆层面的塑性流动约束条件

本发明假设石块块体不会破坏，因此塑性流动仅发生在石块之间的接触面(即石块之间的砂浆层面)上，即假定速度不连续位于两个相邻刚性块体单元的接触边上(如图3所示)，并假设砂浆层面厚度为零，为了满足机动许可的条件，在接触边上不连续的法向和切向速度间断值必须符合流动准则。摩尔-库仑屈服函数f(σ,τ)在速度不连续边所确定的局部坐标系(n,s)中可写为：

上式中：σ_n,τ_s分别为砂浆层面上的法向应力和切向应力，为砂浆层面的摩擦角，c为砂浆层面的凝聚力，f₁(σ_n,τ_s)、f₂(σ_n,τ_s)为砂浆层面的摩尔-库仑屈服函数。通过推导可得到由屈服函数确定的速度间断值：

上式中：Δv_n,Δu_s为浆砌石层面的速度间断值，为塑性乘子。

式(8)可用向量、矩阵简写为：

$\delta \overrightarrow{q}={\overrightarrow{N}}_0\delta \overrightarrow{\lambda }---\left(9\right)$

上式中：为塑性乘子。

根据塑性理论的关联流动法则，对于理想刚塑性模型，由变形协调条件得到广义应变分量应该等于由关联流动法则以及屈服条件得到广义塑性应变率分量。将式(5)与式(9)结合便得到所有砂浆层面的塑性流动约束条件：

$\overrightarrow{D}\delta \overrightarrow{u}-{\overrightarrow{N}}_0\delta \overrightarrow{\lambda }=0---\left(10\right)$

同时要求塑性乘子为非负：

$\delta \overrightarrow{\lambda }={\left(\begin{array}{cc}{\stackrel{·}{k}}_1^k& {\stackrel{·}{k}}_2^k\end{array}\right)}^T\ge 0---\left(11\right)$

(3)内功功率与外功功率相等条件

由虚功原理得知，外力所做的虚功功率和物体内能的耗散功率相等，于是有：

${\int }_{Q^{*}}{\sigma }_{ij}^{*}{ϵ}_{ij}^{*}{\mathrm{d\Omega }}^{*}+{\int }_{{\Gamma }^{*}}{\sigma }_{{\Gamma }^{*}}^{*}{ϵ}_{{\Gamma }^{*}}^{*}{\mathrm{d\Gamma }}^{*}={\mathrm{WV}}^{*}+{\mathrm{QV}}^{*}---\left(12\right)$

上式中:是连续体内部应力向量，是连续体内部的虚应变，是边界上应力向量，是边界上的虚应变，W是块体自重，Q为面力荷载，V^*为虚速度；等式左边分别为产生于浆砌石挡墙中和沿破坏滑动面上的内部耗散功率,等式右边分别为块体自重W、边界上的面力荷载Q的等效荷载在虚速度V^*上的功率。

根据本发明砌石石块为刚性的假设，石块的块体单元不会发生变形和破坏，内功的耗散仅仅产生于块体单元之间的交界面(即砂浆层面)上，因此连续体内部的内功功率结合式(6)、(7)，式(12)中第一项可写为：

${\int }_{{\Gamma }^{*}}{\sigma }_{{\Gamma }^{*}}^{*}{ϵ}_{{\Gamma }^{*}}^{*}{\mathrm{d\Gamma }}^{*}=\underset{z\to 0}{\lim }{\int }_0^z{\int }_0^l({\sigma }_n{\stackrel{·}{ϵ}}_n+{\tau }_s{\stackrel{·}{\gamma }}_s)dtds={\int }_0^{l}c({\stackrel{·}{k}}_1+{\stackrel{·}{k}}_2)dl=cl({\stackrel{·}{k}}_1+{\stackrel{·}{k}}_2)---\left(13\right)$

上式中：σ_n,τ_s分别为砂浆层面上的法向应力和切向应力，分别为砂浆层面上的法向正应变率和切向剪切应变率，是边界上应力向量，是边界上的虚应变，l为砂浆层面的长度，c为砂浆层面的凝聚力，为塑性乘子。

本文只考虑边界上的受力和石块块体自重所造成的内能耗散。对于浆砌石挡土墙边界上的荷载，本发明专利主要考虑挡土墙后土体的自重以及墙后填土上的无限均布荷载q₀对墙背的作用，其作用原理如图4所示。根据朗肯主动土压力理论，在距离填土表面深度Z处任意一点的挡土墙墙背的主动土压力强度p_ak的表达式为：

$p_{ak}={\sigma }_{ak}{k}_a-2c^{\prime }\sqrt{k_a}---\left(14\right)$

上式中，是主动土压力系数，σ_ak＝γZ+q₀是深度Z处的竖向应力，c'是墙后填土的抗剪强度。

则填土表面边界上的面力荷载Q可写为：

$Q=\underset{\Gamma }{\int }{p}_{ak}=\underset{\Gamma }{\int }\left(\right(\gamma Z+q_0)k_a-2c^{\prime }\sqrt{k_a})---\left(15\right)$

上式中，Γ为挡土墙墙背积分边界。

再考虑石块块体的自重W，则(12)式变为：

$cl({\stackrel{·}{k}}_1+{\stackrel{·}{k}}_2)={\mathrm{WV}}^{*}+\left(\underset{\Gamma }{\int }\right(\left(\gamma Z+q_0\right)k_a-2c^{\prime }\sqrt{k_a}\left)\right)V^{*}---\left(16\right)$

(4)速度边界条件

由上限定理可知,机动许可速度场在速度边界上必须满足已知的速度边界条件。浆砌石挡土墙中的速率为零的边界b上的速度边界条件为：

$\delta {\overrightarrow{q}}_j^t={\overrightarrow{T}}_j^b\left(\delta {\overrightarrow{u}}_i^t\right)=0---\left(17\right)$

上式中为边界b上界面j的坐标转换矩阵：

4、求解浆砌石挡土墙极限承载力的上限法非线性数学规划模型

求极限荷载时，将挡土墙墙后填土表面的无限均布荷载q₀设为目标函数，则求解浆砌石挡土墙极限承载力的上限法非线性数学规划模型为：

四、求解浆砌石挡土墙的极限承载力

以上得到的数学模型为一个非线性数学规划模型。本发明采用共轭梯度法进行非线性数学规划模型的求解，得到计算结果包括挡土墙的极限荷载以及对应的速度场。

本发明的基本原理是：基于上限法理论，以浆砌石挡土墙为研究对象，将上限法、刚性块体单元离散方法、朗肯主动土压力理论以及数学规划手段结合起来，以浆砌石挡土墙墙后填土表面的无限均布荷载作为目标函数，采用刚性块体单元离散方法将浆砌石挡土墙离散为块石刚性块体单元+无厚度砂浆层面的力学模型，构建满足刚性块体单元与砂浆层面变形协调条件、塑性流动约束条件、内外功率相等条件和速度边界条件的机动许可速度场，建立求解浆砌石挡土极限承载力的非线性数学规划模型，并使用优化算法求解极限荷载的最小值。

本发明具有以下有益效果：

1、本发明为浆砌石挡土墙的极限承载力分析提供一种新方法，可准确求解浆砌石挡土墙的极限承载力的上限解。

2、本发明采用刚性块体单元+无厚度砂浆层面的模式来离散浆砌石挡土墙，可以准确模拟浆砌石挡土墙非连续介质的力学特性，可以准确获得其极限荷载和对应的破坏机构。

3、本发明方法概念明确、计算精度高，可将其应用于浆砌石挡土墙边坡的承载力分析。

附图说明

图1为本发明的技术路线图；

图2为浆砌石挡墙刚性块体单元以及砂浆层面的离散示意图；

图3为浆砌石刚性块体单元的速度模式；

图4为浆砌石挡土墙朗肯主动土压力计算示意图；

图5为实施例挡土墙的几何形状示意图；

图6为实施例浆砌石挡土墙刚性块体单元离散示意图；

图7为实施例挡土墙极限荷载上限解对应的速度矢量图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明。

实施例：本实施例采用如下步骤求解一个浆砌石挡土墙的极限荷载，并且在得到挡墙的破坏模式以后与常规方法计算结果作对比分析。

(一)、拟定挡土墙的计算参数

如图5所示为一个浆砌石挡土墙，其为浆砌料石挡土墙，其具体参数为：浆砌石重力式挡土墙墙身高3.5m，面坡倾斜坡度:1:0.3、背坡倾斜坡度:1:0.0、墙底倾斜坡度:0.0:1，挡土墙以“泥质砂岩”为基础持力层，挡土墙基底进入持力层≥1m；砌石挡墙采用水泥砂浆来砌筑块状石材，石材选用无分化、无裂纹的形状规则的方形料石，料石的厚度约为300mm，长度和宽度均不小于200mm；砌体容许压应力大于2100kPa，容许剪应力大于110kPa；浆砌石挡墙严格按挤浆法施工，保证了砂浆饱满。表2为实施例的材料物理力学参数表。

表2实施例浆砌石块和砂浆层面的物理力学参数表

(二)、采用刚性块体单元法离散实施例的浆砌石挡土墙，即：采用刚性块体单元离散石块，以石块形心的速率为未知量构建挡土墙的机动许可速度场。实施例的挡土墙共离散为53个刚性块体单元和127个砂浆层面，其离散示意图如图6所示。

(三)、建立求解浆砌石挡土墙极限承载力的上限法非线性数学规划模型

为了求解挡土墙墙背填土表面上作用的均布荷载q₀的最小值可根据式(18)建立实施例的极限承载力的上限法非线性数学规划模型。

(四)、求解实施例挡土墙的极限承载力。

根据式(18)建立的实施例浆砌石挡土墙的极限荷载的上限法非线性数学优化模型，采用编制的非线性数学规划求解程序，计算了砂浆层面取不同抗剪参数条件下的极限荷载计算结果列于表3所示。由计算结果可知此浆砌石挡土墙墙体在极限荷载作用下的破坏模式如图7所示，图7为砂浆层面抗剪参数取c＝100kPa、时的速度矢量图，由其可知实施例挡土墙墙体的破坏模式是沿砂浆层面AB发生剪切破坏。在已知此破坏模式以后，可由挡土墙的刚体极限平衡关系计算得到极限荷载的解析解同样列于表3中所示。

由结果可知，本发明方法数值解均大于解析解，表现为上限解性质；且按本发明方法得到的极限荷载与解析解得到的极限荷载非常接近，本发明方法计算得到的数值解与解析解的最大误差小于1％，验证了本发明方法的正确性和准确性。

表3实施例浆砌石挡土墙的极限荷载计算结果