基于修正广义Benders分解的多区域分解协调动态经济调度方法

技术领域

本发明属于电力系统的运行和控制技术领域，特别涉及一种基于修正广义Benders分解的多区域分解协调动态经济调度方法。

背景技术

我国的千万千瓦级大型风电场在地理上分布于我国的不同区域，其可用风能存在空间平滑效应，即同一时刻下空间上不同区域的可用风资源量存在互补。通过利用风能的空间平滑效应，可以降低电力系统为适应风电波动所预留的旋转备用和调峰容量。另外，我国的千万千瓦级大型风电场主要位于北方地区，与东南沿海地区的负荷中心呈逆向分布。多区域分解协调经济调度可以充分利用风能的空间平滑效应并挖掘跨区风电消纳市场。

电力系统动态经济调度属于电力系统运行优化问题。电力系统调度中心根据拿到的未来若干时间内电力系统负荷预测值，合理安排系统内发电机组的计划出力，使得在满足负荷需求的情况下发电成本最小。

当前的电力系统多区域动态经济调度问题普遍的求解策略是固定联络线计划功率后由各子区域独立求解内部经济调度问题。这样做的缺陷是无法达到全局发电成本最优，并且难以利用风能的空间平滑效应。

广义Benders分解方法是一种将全局优化问题分解成若干局部优化问题的求解算法。在全局经济调度问题中，由于各区域电网决策的独立性，需要应用分解协调算法将全局问题分解计算。而将广义Benders分解方法未经修正直接应用到多区域分解协调动态经济调度问题中存在收敛速度慢的问题，难以实际应用。

发明内容

本发明的目的是为克服已有技术的不足之处，提出一种基于修正广义Benders分解的多区域分解协调动态经济调度方法。本发明方法能够应用在多区域电网分解协调动态经济调度问题，具有良好收敛性。

本发明提出的一种基于修正广义Benders分解的多区域分解协调动态经济调度方法，其特征在于，该方法首先建立多区域动态经济调度模型，所述模型由目标函数和约束条件构成；然后，提出一种修正广义Benders分解方法；利用所提出的修正广义Benders分解方法对多区域动态经济调度模型求解，并将求解结果用于经济调度。该方法具体包括以下步骤：

1)建立多区域动态经济调度模型，该模型由目标函数和约束条件构成；具体包括：

1.1)多区域动态经济调度模型的决策变量；

多区域动态经济调度模型的决策变量包括：各个区域a在第t个调度时段的机组有功出力p_a,t、机组向上旋转备用容量、机组向下旋转备用容量、区域内部的边界等值注入、区域外部的边界等值注入以及联络线功率l_t；

1.2)多区域动态经济调度模型的目标函数；

多区域动态经济调度模型的目标函数为各个区域的发电成本总和最小化，如式(1)所示：

$\underset{{\tilde{p}}_{a,t}^{\mathrm{int}},{\tilde{p}}_{a,t}^{ext},l_t}{\underset{p_{a,t},r_{a,t}^{+},r_{a,t}^{-},}{\min }}\underset{a\in A}{\Sigma }\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{C}_{a,t}\left(p_{a,t}\right)---\left(1\right)$

式(1)中，C_a,t(·)为第a个区域在第t个调度时段的发电成本；所述发电成本用二次函数表示，如式(2)所示：

$C_{a,t}\left(p_{a,t}\right)=\frac{1}{2}{p}_{a,t}^T·A_a·p_{a,t}+b_a^T·p_{a,t}+c_a---\left(2\right)$

其中，A_a、b_a和c_a均为发电机组的发电成本系数；A_a为对角矩阵，代表第a个区域的发电成本二次系数；b_a和c_a分别表示第a个区域的发电成本一次系数和常数项；

1.3)多区域动态经济调度模型的约束条件；

1.3.1)功率平衡约束，如式(3)所示：

$1^T{p}_{a,t}=1^T{d}_{a,t}-1^T{\tilde{p}}_{a,t}^{ext}---\left(3\right)$

其中，d_a,t表示第a个区域在第t个调度时段的节点负荷注入功率；

1.3.2)旋转备用容量约束，如式(4)和式(5)所示：

$r_{a,t}^{+}\le {\bar{P}}_{a,t}-p_{a,t},0\le r_{a,t}^{+}\le {\mathrm{RU}}_{a,t},1^T{r}_{a,t}^{+}\ge R_{a,t}^{+}---\left(4\right)$

$r_{a,t}^{-}\le p_{a,t}-{\underset{‾}{P}}_{a,t},0\le r_{a,t}^{-}\le {\mathrm{RD}}_{a,t},1^T{r}_{a,t}^{-}\ge R_{a,t}^{-}---\left(5\right)$

式(4)和式(5)分别表示向上和向下旋转备用容量约束，其中分别表示区域a在调度时段t的机组出力上限和下限，RU_a,t,RD_a,t分别表示第a个区域在第t个调度时段的机组向上和向下爬坡速率，分别表示区域a在调度时段t的旋转备用容量要求；

1.3.3)网络安全约束，如式(6)所示：

${\underset{‾}{F}}_{a,t}\le G_a(p_{a,t}-d_{a,t})+H_a{\tilde{p}}_{a,t}^{ex}\le {\bar{F}}_{a,t}---\left(6\right)$

网络安全约束，包括区域内部线路潮流约束以及区域内部线路的故障约束，其中分别表示第a个区域在第t个调度时段的线路容量下限和上限，G_a表示第a个区域内部线路潮流对本区域机组出力的转移分布因子，H_a表示第a个区域内部线路潮流对本区域外部等值注入的转移分布因子；

1.3.4)机组爬坡速率约束，如式(7)所示

-RD_a,t≤p_a,t-p_a,t-1≤RU_a,t>

机组爬坡速率约束指相邻调度时间段内机组的出力变化存在上下界；

1.3.5)机组出力限制约束，如式(8)所示：

${\underset{‾}{P}}_{a,t}\le p_{a,t}\le {\bar{P}}_{a,t}---\left(8\right)$

机组出力限制约束指每一个调度时段内机组出力大小在可行域内；

1.3.6)子区域功率注入等值约束，如式(9)所示：

${\tilde{p}}_{a,t}^{\mathrm{int}}=K_a·(p_{a,t}-d_{a,t})---\left(9\right)$

式(9)描述了在直流潮流模型下，各个区域内部边界等值注入与内部节点注入p_a,t-d_a,t之间的线性关系，其中K_a为与区域内部网络拓扑和参数相关的系数矩阵；

1.3.7)跨区域的功率约束，如式(10)～式(12)所示：

$l_t=\underset{a\in A}{\Sigma }{M}_a·{\tilde{p}}_{a,t}^{\mathrm{int}}---\left(10\right)$

${\underset{‾}{L}}_t\le l_t\le {\bar{L}}_t---\left(11\right)$

${\tilde{p}}_{a,t}^{ext}=\underset{b\in A/\left\{a\right\}}{\Sigma }{S}_{a,b}{\tilde{p}}_{b,t}^{\mathrm{int}}---\left(12\right)$

式(10)表示联络线潮流l_t与各个区域的内部边界等值注入之间存在线性等式关系；式(10)中，系数矩阵M_a为简化等值网络的转移分布因子；

式(11)表示联络线潮流限制约束，其中分别表示联络线潮流下限和上限；

式(12)表示某区域外部边界等值注入与其他区域内部边界等值注入之间的线性等式关系，S_a为系数矩阵；

2)对多区域动态经济调度模型求解，将结果用于经济调度；

2.1)对步骤1)的模型进行转化；

将步骤1)建立的多区域动态经济调度模型的目标函数表示为矩阵形式，如式(13)所示：

$\underset{x_a,y}{\min }\underset{a\in A}{\Sigma }{\hat{C}}_a\left(x_a\right)---\left(13\right)$

将模型的约束条件转化成如式(14)和式(15)所示：

${\hat{D}}_a{x}_a+{\hat{E}}_{a}y\le {\hat{f}}_a,\forall a\in A---\left(14\right)$

$\hat{G}y\le \hat{h}---\left(15\right)$

其中，向量x_a由决策变量p_a,t、和(t∈{1,2,...,T})组成，为简单向量；向量y由、和l_t(a∈A,t∈{1,2,...,T})组成，为复杂向量；

式(14)为由式(3)～式(9)描述的线性约束的一般表达形式，描述各个区域的调度运行约束；式(15)表示由式(10)～式(12)描述的线性约束的一般表达形式，表示与联络线潮流相关的约束条件；

将式(13)中的各个分量表示为x_a的二次函数，如式(16)所示：

${\hat{C}}_a\left(x_a\right)=\frac{1}{2}{x}_a^T·{\hat{A}}_a·x_a+{\hat{b}}_a^T·x_a+{\hat{c}}_a---\left(16\right)$

2.2)对经步骤2.1)转化得到的多区域动态经济调度模型求解；

2.2.1)初始化：

2.2.1.1)各个区域的本地控制中心将如式(9)所示的区域内部等值模型上传至上层控制中心；然后上层控制中心将如式(12)所示的各区域的外部等值模型下发至相应区域的本地控制中心；

2.2.1.2)上层控制中心以实时状态估计值初始化复杂变量y⁽⁰⁾，并将复杂变量初值y⁽⁰⁾下发至各区域的本地控制中心；将割平面集合设为空集，即以及；初始化局部最优成本函数；设置收敛误差ε＞0；

2.2.2)求解各区域经济调度子问题：子问题指各区域的本地控制中心对本区域的动态经济调度模型求解；

设在第m次迭代得到了y的取值y^(m)；在给定y^(m)的情况下，子问题按照区域下标进行分解；区域a的动态经济调度模型目标函数如式(17)所示：

$\underset{x_a}{min}\left\{{\hat{C}}_a\left(x_a\right)\right|{\hat{D}}_a{x}_a\le {\hat{f}}_a-{\hat{E}}_a{y}^{\left(m\right)}\}---\left(17\right)$

2.2.2.1)检查子问题的可行性；

定义子问题对应的原始可行性检查，如式(18)所示：

$\underset{x_a}{\max }\left\{0\right|{\hat{D}}_a{x}_a\le {\hat{f}}_a-{\hat{E}}_a{y}^{\left(m\right)}\}---\left(18\right)$

采用式(18)的对偶问题来检查子问题的可行性并生成可行割平面，如式(19)所示：

${\omega }_a\left(y^{\left(m\right)}\right)=\underset{w_a}{min}\left\{w_a^T({\hat{f}}_a-{\hat{E}}_a{y}^{\left(m\right)})\right|w_a^T{\hat{D}}_a=0,w_a\ge 0\}---\left(19\right)$

对式(19)求解，得到其最优解，根据以下情况检查子问题的可行性并生成可行割平面：

情况1：若ω_a(y^(m))＝0，则子问题是可行的，执行步骤2.2.2.3)；

情况2：若ω_a(y^(m))＜0，则子问题是不可行的，生成可行割平面并将其返回至主问题的割平面集合FC_a，执行步骤2.2.2.2)：

${\mathrm{FC}}_a\leftarrow {\mathrm{FC}}_a\cup \left\{(y,z)\right|w_a^{{\left(m\right)}^T}({\hat{f}}_a-{\hat{E}}_{a}y)\ge 0\}---\left(20\right)$

2.2.2.2)将步骤2.2.2.1)中的可行割平面上传至上层控制中心；中止本区域的子问题求解；

2.2.2.3)对子问题求解；

生成最优割平面；通过求解子问题得到最优解以及最优对偶变量，生成最优割平面如式(21)所示，并将其返回到主问题的割平面集合OC_a：

${\mathrm{OC}}_a\leftarrow {\mathrm{OC}}_a\cup \left\{(y,z_a)\right|z_a\ge {\hat{C}}_a\left(x_a^{\left(m\right)}\right)+{\lambda }_a^{{\left(m\right)}^T}{\hat{E}}_a·(y-y^{\left(m\right)})\}---\left(21\right)$

更新局部最优成本；当子问题求解完毕时，找出子问题中的起作用约束和不起作用约束；移除子问题中的不起作用约束，得到表达式如式(22)所示：

${\pi }_a^{\left(m\right)}\left(y^{\left(m\right)}\right)=\underset{x_a}{min}\left\{{\hat{C}}_a\left(x_a\right)\right|{\hat{D}}_a^{\left(m\right)}{x}_a={\hat{f}}_a^{\left(m\right)}-{\hat{E}}_a^{\left(m\right)}{y}^{\left(m\right)}\}---\left(22\right)$

局部最优成本函数的闭式表达式如式(23)所示：

其中，

式(24)中的系数矩阵经计算后返回到主问题，以更新局部最优成本，即式(25)中的函数π_a(y)；

2.2.2.4)将步骤2.2.2.3)中的最优割平面和局部最优成本的各项系数上传至上层控制中心，中止本区域的子问题求解；

2.2.3)求解主问题：主问题指联合各区域边界最优目标函数的全局经济调度问题；

定义z_a为第a个区域子问题的最优目标函数值，构造主问题如式(25)所示：

$\underset{y,z}{min}\underset{a\in A}{\Sigma }{z}_a---\left(25\right)$

约束条件如下：

$\hat{G}y\le \hat{h}---\left(26\right)$

$(y,z_a)\in {\mathrm{OC}}_a\cap {\mathrm{FC}}_a,\forall a\in A,---\left(27\right)$

$z_a\ge {\pi }_a^{\left(m\right)}\left(y\right),\forall a\in A,---\left(28\right)$

其中，m为迭代次数；主问题中的决策变量包括复杂变量y以及子问题的最优目标函数值；

式(26)为联络线潮流相关约束；

式(27)为可行割平面以及最优割平面约束；

式(28)中的函数π_a(y)为第a个区域子问题的局部最优成本约束；

2.2.3.1)按照式(20)与式(21)所述方法分别更新割平面集合OC_a和FC_a；更新式(24)中局部最优成本函数的各项系数；更新主问题的最优值上界UB＝min{UB,1^Tz^(m)}；

2.2.3.2)求解主问题；记最优解为(y^(m+1),z^(m+1))；

2.2.3.3)将步骤2.2.3.2)求得的y^(m+1)下发至各区域的本地控制中心；

2.2.3.4)若||y^(m+1)-y^(m)||_∞≤ε，则停止算法，主问题的最优解即为多区域动态经济调度模型的最优解；否则，令m:＝m+1，然后重新返回步骤2.2.2)。

本发明的特点及有益效果在于：

应用本发明提出的基于修正广义Benders分解的多区域分解协调动态经济调度算法，可以在保证各区域电网调度独立性的前提下获得全局最优发电成本；同时本发明提出的算法能够有效对多区域动态经济调度问题进行求解，相比于传统广义Benders分解算法大大提高了收敛速度，适合大规模分布式应用。

具体实施方式

本发明提出的一种基于修正广义Benders分解的多区域分解协调动态经济调度方法，下面结合具体实施例进一步说明如下。

本发明提出的一种基于修正广义Benders分解的多区域分解协调动态经济调度方法，其特征在于，该方法首先建立多区域动态经济调度模型，所述模型由目标函数和约束条件构成；然后，提出一种修正广义Benders分解方法；利用所提出的修正广义Benders分解方法对多区域动态经济调度模型求解，并将求解结果用于经济调度。该方法包括以下步骤：

1)建立多区域动态经济调度模型，该模型由目标函数和约束条件构成；具体包括：

1.1)多区域动态经济调度模型的决策变量；

多区域动态经济调度模型的决策变量包括：各个区域a在第t个调度时段的机组有功出力p_a,t、机组向上旋转备用容量、机组向下旋转备用容量、区域内部的边界等值注入、区域外部的边界等值注入以及联络线功率l_t；

1.2)多区域动态经济调度模型的目标函数；

多区域动态经济调度模型的目标函数为各个区域的发电成本总和最小化，如式(1)所示：

$\underset{{\tilde{p}}_{a,t}^{\mathrm{int}},{\tilde{p}}_{a,t}^{ext},l_t}{\underset{p_{a,t},r_{a,t}^{+},r_{a,t}^{-},}{\min }}\underset{a\in A}{\Sigma }\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{C}_{a,t}\left(p_{a,t}\right)---\left(1\right)$

式(1)中，C_a,t(·)为第a个区域在第t个调度时段的发电成本；所述发电成本用二次函数表示，如式(2)所示：

$C_{a,t}\left(p_{a,t}\right)=\frac{1}{2}{p}_{a,t}^T·A_a·p_{a,t}+b_a^T·p_{a,t}+c_a---\left(2\right)$

其中，A_a为对角矩阵，代表第a个区域的发电成本二次系数；b_a和c_a分别表示第a个区域的发电成本一次系数和常数项；A_a、b_a和c_a均为发电机组的发电成本系数，为发电机组本身的参数；

1.3)多区域动态经济调度模型的约束条件；

1.3.1)功率平衡约束，如式(3)所示：

$1^T{p}_{a,t}=1^T{d}_{a,t}-1^T{\tilde{p}}_{a,t}^{ext}---\left(3\right)$

其中，d_a,t表示第a个区域在第t个调度时段的节点负荷注入功率；

1.3.2)旋转备用容量约束，如式(4)和式(5)所示：

$r_{a,t}^{+}\le {\bar{P}}_{a,t}-p_{a,t},0\le r_{a,t}^{+}\le {\mathrm{RU}}_{a,t},1^T{r}_{a,t}^{+}\ge R_{a,t}^{+}---\left(4\right)$

$r_{a,t}^{-}\le p_{a,t}-{\underset{‾}{P}}_{a,t},0\le r_{a,t}^{-}\le {\mathrm{RD}}_{a,t},1^T{r}_{a,t}^{-}\ge R_{a,t}^{-}---\left(5\right)$

式(4)和式(5)分别表示向上和向下旋转备用容量约束，其中分别表示区域a在调度时段t的机组出力上限和下限，RU_a,t,RD_a,t分别表示第a个区域在第t个调度时段的机组向上和向下爬坡速率，分别表示区域a在调度时段t的旋转备用容量要求；

1.3.3)网络安全约束，如式(6)所示：

${\underset{‾}{F}}_{a,t}\le G_a(p_{a,t}-d_{a,t})+H_a{\tilde{p}}_{a,t}^{ex}\le {\bar{F}}_{a,t}---\left(6\right)$

网络安全约束，包括区域内部线路潮流约束以及区域内部线路的故障约束，其中分别表示第a个区域在第t个调度时段的线路容量下限和上限，G_a表示第a个区域内部线路潮流对本区域机组出力的转移分布因子，H_a表示第a个区域内部线路潮流对本区域外部等值注入的转移分布因子；

1.3.4)机组爬坡速率约束，如式(7)所示

-RD_a,t≤p_a,t-p_a,t-1≤RU_a,t>

机组爬坡速率约束指相邻调度时间段内机组的出力变化存在上下界；

1.3.5)机组出力限制约束，如式(8)所示：

${\underset{‾}{P}}_{a,t}\le p_{a,t}\le {\bar{P}}_{a,t}---\left(8\right)$

机组出力限制约束指每一个调度时段内机组出力大小在可行域内；

1.3.6)子区域功率注入等值约束，如式(9)所示：

${\tilde{p}}_{a,t}^{\mathrm{int}}=K_a·(p_{a,t}-d_{a,t})---\left(9\right)$

式(9)描述了在直流潮流模型下，各个区域内部边界等值注入与内部节点注入p_a,t-d_a,t之间的线性关系，其中K_a为与区域内部网络拓扑和参数相关的系数矩阵；

1.3.7)跨区域的功率约束，如式(10)～式(12)所示：

$l_t=\underset{a\in A}{\Sigma }{M}_a·{\tilde{p}}_{a,t}^{\mathrm{int}}---\left(10\right)$

${\underset{‾}{L}}_t\le l_t\le {\bar{L}}_t---\left(11\right)$

${\tilde{p}}_{a,t}^{ext}=\underset{b\in A/\left\{a\right\}}{\Sigma }{S}_{a,b}{\tilde{p}}_{b,t}^{\mathrm{int}}---\left(12\right)$

式(10)表示联络线潮流l_t与各个区域的内部边界等值注入之间存在线性等式关系，这个关系是直流潮流模型的直接结果；式(10)中系数矩阵M_a为简化等值网络的转移分布因子，利用简化等值网络的拓扑结构和参数计算，计算所需参数包括联络线电抗以及各个区域的内部等值网络模型；

式(11)表示联络线潮流限制约束，其中分别表示联络线潮流下限和上限；值得注意的是，联络线的故障约束也可以通过式(10)和式(11)表示，只需在列向量以及系数矩阵M_a中加入在故障情景下对应的联络线潮流变量、联络线潮流上下限以及灵敏度系数；

式(12)表示某区域外部边界等值注入与其他区域内部边界等值注入之间的线性等式关系，系数矩阵S_a与拓扑结构相关；

2)对多区域动态经济调度模型求解，将结果用于经济调度；

本发明通过基于修正广义Benders分解的分布式对多区域动态经济调度模型求解；首先将多区域动态经济调度模型转化成抽象的矩阵形式；然后根据修正广义Benders分解构建主问题和子问题；算法在主问题与子问题之间迭代求解，直至相邻迭代中主问题的最优解变化小于迭代收敛阈值即可停止迭代；具体求解步骤如下：

2.1)根据修正广义Benders分解算法对步骤1)的模型进行转化；

将步骤1)建立的多区域动态经济调度模型的目标函数表示为矩阵形式，如式(13)所示：

$\underset{x_a,y}{\min }\underset{a\in A}{\Sigma }{\hat{C}}_a\left(x_a\right)---\left(13\right)$

将模型的约束条件转化成如式(14)和式(15)所示：

${\hat{D}}_a{x}_a+{\hat{E}}_{a}y\le {\hat{f}}_a,\forall a\in A---\left(14\right)$

$\hat{G}y\le \hat{h}---\left(15\right)$

其中，向量x_a由决策变量p_a,t、和(t∈{1,2,...,T})组成；向量y由、和l_t(a∈A,t∈{1,2,...,T})组成；

式(14)为由式(3)～式(9)描述的线性约束的一般表达形式，描述各个区域的调度运行约束；式(15)表示由式(10)～式(12)描述的线性约束的一般表达形式，表示与联络线潮流相关的约束条件；

当y的取值固定时，由式(13)～式(15)所描述的问题按照区域下标a进行分解；各个区域通过变量y耦合起来，因此将y定义为复杂变量，x_a为简单变量；

将式(13)中的各个分量表示为x_a的二次函数，如式(16)所示：

${\hat{C}}_a\left(x_a\right)=\frac{1}{2}{x}_a^T·{\hat{A}}_a·x_a+{\hat{b}}_a^T·x_a+{\hat{c}}_a---\left(16\right)$

2.2)将步骤2.1)转化得到的多区域动态经济调度模型通过修正广义Benders分解方法求解；

基于修正广义Benders分解的多区域动态经济调度算法实现过程如下：

2.2.1)初始化：

2.2.1.1)各个区域的本地控制中心将如式(9)所示的区域内部等值模型上传至上层控制中心；然后上层控制中心将如式(12)所示的各区域的外部等值模型下发至相应区域的本地控制中心；

2.2.1.2)上层控制中心以实时状态估计值初始化复杂变量y⁽⁰⁾，并将复杂变量初值y⁽⁰⁾下发至各区域的本地控制中心；将割平面集合设为空集，即以及；初始化局部最优成本函数；设置收敛误差ε＞0；

2.2.2)求解各区域经济调度子问题：子问题指各区域的本地控制中心对本区域的动态经济调度模型求解；这个步骤由各个区域的本地控制中心并行执行；

设在第m次迭代得到了y的取值y^(m)；在给定y^(m)的情况下，子问题按照区域下标进行分解；因此，仅考虑分解后的子问题，以区域a为例，区域a的动态经济调度模型目标函数如式(17)所示：

$\underset{x_a}{min}\left\{{\hat{C}}_a\left(x_a\right)\right|{\hat{D}}_a{x}_a\le {\hat{f}}_a-{\hat{E}}_a{y}^{\left(m\right)}\}---\left(17\right)$

2.2.2.1)检查子问题的可行性；

定义子问题对应的原始可行性检查，如式(18)所示：

$\underset{x_a}{\max }\left\{0\right|{\hat{D}}_a{x}_a\le {\hat{f}}_a-{\hat{E}}_a{y}^{\left(m\right)}\}---\left(18\right)$

采用式(18)的对偶问题来检查子问题的可行性并生成可行割平面，如式(19)所示：

${\omega }_a\left(y^{\left(m\right)}\right)=\underset{w_a}{min}\left\{w_a^T({\hat{f}}_a-{\hat{E}}_a{y}^{\left(m\right)})\right|w_a^T{\hat{D}}_a=0,w_a\ge 0\}---\left(19\right)$

对式(19)求解，得到其最优解后，根据以下情况检查子问题的可行性并生成可行割平面：

情况1：若ω_a(y^(m))＝0，则子问题是可行的，执行步骤2.2.2.3)；

情况2：若ω_a(y^(m))＜0，则子问题是不可行的，生成可行割平面并将其返回至主问题的割平面集合FC_a，执行步骤2.2.2.2)：

${\mathrm{FC}}_a\leftarrow {\mathrm{FC}}_a\cup \left\{(y,z)\right|w_a^{{\left(m\right)}^T}({\hat{f}}_a-{\hat{E}}_{a}y)\ge 0\}---\left(20\right)$

2.2.2.2)将步骤2.2.2.1)中的可行割平面上传至上层控制中心；中止本区域的子问题求解；

2.2.2.3)求解子问题；

生成最优割平面；通过求解子问题得到最优解以及最优对偶变量，生成最优割平面如式(21)所示，并将其返回到主问题的割平面集合OC_a：

${\mathrm{OC}}_a\leftarrow {\mathrm{OC}}_a\cup \left\{(y,z_a)\right|z_a\ge {\hat{C}}_a\left(x_a^{\left(m\right)}\right)+{\lambda }_a^{{\left(m\right)}^T}{\hat{E}}_a·(y-y^{\left(m\right)})\}---\left(21\right)$

更新局部最优成本；当子问题求解完毕时，找出子问题中的起作用约束和不起作用约束；移除子问题中的不起作用约束，得到表达式如式(22)所示：

${\pi }_a^{\left(m\right)}\left(y^{\left(m\right)}\right)=\underset{x_a}{min}\left\{{\hat{C}}_a\left(x_a\right)\right|{\hat{D}}_a^{\left(m\right)}{x}_a={\hat{f}}_a^{\left(m\right)}-{\hat{E}}_a^{\left(m\right)}{y}^{\left(m\right)}\}---\left(22\right)$

值得注意的是，子问题和式(22)有相同的最优解。然而，式(22)是一个仅包含线性等式约束的二次规划问题，该类问题的最优值可以根据卡罗需-库恩-塔克(KKT)条件直接获得。局部最优成本函数的闭式表达式如式(23)所示：

其中，

式(24)中的系数矩阵经计算后返回到主问题，以更新局部最优成本(即式(31)中的函数π_a(y))。

式(23)所示局部最优成本函数的推导过程如下：

构造式(22)所示子问题的拉格朗日函数如式(25)所示：

${\hat{L}}_y(x,\lambda )=\hat{C}\left(x\right)+{\lambda }^T(\hat{D}x+\hat{E}y-\hat{f})---\left(25\right)$

其中，λ为拉格朗日乘子向量。为了方便表示，略去式(22)中的上标m和下标a。式(25)对应的卡罗需-库恩-塔克(KKT)条件如式(26)所示：

$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial {\hat{L}}_y}{\partial x}=\hat{A}x+\hat{b}+{\hat{D}}^T\lambda =0\\ \frac{\partial {\hat{L}}_y}{\partial \lambda }=\hat{D}x+\hat{E}y-\hat{f}=0\end{array}\right)---\left(26\right)$

假设矩阵和分别为正定矩阵和行满秩矩阵，那么通过直接求解式(26)所示的方程得到最优的x*和λ*，如式(27)所示：

$\left(\begin{array}{c}x*\\ \lambda *\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\hat{A}}^{-1}-{\hat{A}}^{-1}{\hat{D}}^T\Psi \hat{D}{\hat{A}}^{-1}& {\hat{A}}^{-1}{\hat{D}}^T\Psi \\ \Psi \hat{D}{\hat{A}}^{-1}& -\Psi \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-\hat{b}\\ \hat{f}-\hat{E}y\end{array}\right)---\left(27\right)$

其中，。将x*代入到式(16)所示的目标函数中，可以得到如式(23)所示的局部最优成本函数的闭式表达式以及如式(24)所示的系数矩阵。

对于y＝y^(m)的一个邻域，子问题中的起作用约束集合不变。因此，式(23)是在y＝y^(m)邻域内子问题最优值的显式精确表达式。只有在y^(m)的邻域内才是子问题最优值的精确表达式，因此被称为局部最优成本函数。另外，由于子问题的起作用约束组合是有限的，即起作用约束集合个数是有限的，因此子问题的最优函数值在整体上是关于y的分段二次函数，而在每个分段中该函数的精确表达式即为。

2.2.2.4)将步骤2.2.2.3)中的最优割平面和局部最优成本的各项系数上传至上层控制中心，中止本区域的子问题求解；

2.2.3)求解主问题：主问题指联合各区域边界最优目标函数的全局经济调度问题；

上层控制中心求解主问题；

定义z_a为第a个区域子问题的最优目标函数值，构造主问题如式(28)所示：

$\underset{y,z}{min}\underset{a\in A}{\Sigma }{z}_a---\left(28\right)$

约束条件如下：

$\hat{G}y\le \hat{h}---\left(29\right)$

$(y,z_a)\in {\mathrm{OC}}_a\cap {\mathrm{FC}}_a,\forall a\in A,---\left(30\right)$

$z_a\ge {\pi }_a^{\left(m\right)}\left(y\right),\forall a\in A,---\left(31\right)$

其中，m为迭代次数；主问题中的决策变量包括复杂变量y以及子问题的最优目标函数值；

式(29)的表达含义同式(15)，为联络线潮流相关约束；

式(30)表示的是可行割平面以及最优割平面约束；每次迭代会生成新的可行割平面和最优割平面，并分别加入到集合FC_a和OC_a中；

式(31)中的函数π_a(y)为第a个区域子问题的局部最优成本约束，该函数可以将区域a子问题的最优值表示为y的函数；

主问题为一个凸的二次约束二次规划模型，通过与子问题的交替迭代逐渐加入可行割平面和最优割平面以及更新局部最优成本函数，最终求得最优解。

2.2.3.1)按照式(20)与式(21)所述方法分别更新割平面集合OC_a和FC_a；更新式(24)中局部最优成本函数的各项系数；更新主问题的最优值上界UB＝min{UB,1^Tz^(m)}；

2.2.3.2)求解主问题；记最优解为(y^(m+1),z^(m+1))；

2.2.3.3)将步骤2.2.3.2)求得的y^(m+1)下发至各区域的本地控制中心；

2.2.3.4)若||y^(m+1)-y^(m)||_∞≤ε，则停止算法，主问题的最优解即为多区域动态经济调度模型的最优解；否则，令m:＝m+1，然后重新返回步骤2.2.2)。

在上述算法实现过程中，上层控制中心只需从各区域的本地控制中心收集内部等值网络模型、局部最优成本系数以及Bender割平面，无需收集个区域子系统的内部详细信息。在每一轮迭代中，各区域的本地控制中心只需求解本地的经济调度问题，而无需和其他区域的本地控制中心共享信息。这种方式保持了区域之间的数据私密性以及各区域进行决策的相对独立性。在另一方面，所提出方法需要协调机构的存在，无法应用于没有协调层的系统架构之中。