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求解波动方程的高精度紧致显式差分格式

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摘要

第一章 绪论

1．1 研究目的及意义

1．2 国内外研究现状

1．3 本文主要研究工作

第二章 一维波动方程的高精度紧致显式差分格式

2．1 高精度紧致显式格式的构造

2．1．1 CTFS格式

2．1．2 FTFS格式

2．2 稳定性分析

2．3 数值算例

2．4 本章小结

第三章 二维波动方程的高精度紧致显式差分格式

3．1 高精度紧致显式差分格式的构造

3．1．1 CTFS格式

3．1．2 FTFS格式

3．2．稳定性分析

3．3 数值算例

3．4 本章小结

第四章 三维波动方程的高精度紧致显式差分格式

4．1 FTFS格式的构造

4．2 稳定性分析

4．3 数值实验

4．4 本章小结

第五章 总结与展望

5．1 总结

5．2 展望

参考文献

致谢

个人简介

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摘要

本文主要针对波动方程初边值问题的有限差分法进行研究。首先，针对一维波动方程，利用泰勒级数展开公式与原方程推导建立了第一时间层上未知函数值的差分格式;之后，利用Padé逼近离散二阶空间导数项在内部节点上的导数值，时间方向采用中心差分公式进行离散，得到了一种时间二阶、空间四阶精度的紧致显式差分格式，其截断误差为O(τ2+h4);由于上述格式的时间精度与空间精度不相匹配，本文利用截断误差余项修正的方法，对时间离散进行了改进，改进后格式的截断误差为O(τ4+τ2h2+h4)，即格式具有整体四阶精度;然后，通过Fourier分析法分析了两种格式的稳定性，前者的稳定性条件为|a|λ≤√2/3，后者的稳定性条件为|a|λ∈[0，1]∪[√2，√3]。由于本文格式属于显式差分格式，只需进行一次追赶法求解和一次显式递推计算;最后通过数值实验并与文献中的格式进行对比，验证了本文格式的精确性和稳定性。
　　接下来，将上述一维波动方程的两种格式进行推广，得到了两种求解二维波动方程的高精度紧致显式差分格式，一种格式的截断误差仍为O(τ2+h4），另一种格式的截断误差为O(τ4+τ2h2+h4)。利用Fourier分析法分析了两种格式的稳定性，前者的稳定性条件为|a|λ≤√1/3，后者的稳定性条件为|a|λ∈[0，√2/2]∪[1，√6/2]。由于本文格式属于显式差分格式，只需进行两次追赶法求解和一次显式递推计算，无需迭代。最后，通过数值实验，将本文格式的计算结果与文献中格式的计算结果进行了对比，验证了本文格式的精确性和稳定性。
　　最后，将二维波动方程中具有四阶精度的格式推广到三维，推广后的格式仍具有整体四阶精度。通过Fourier分析法得出了该格式的稳定性条件为|a|λ∈[0，√3/3]∪[√6/3，1]。由于本文格式属于显式差分格式，只需进行三次追赶法求解和一次显式递推计算，无需迭代。数值实验结果验证了本文格式的精确性和稳定性。

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