随机环境中下临界分枝过程中的一些极限定理

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本文给定随机环境ζ，其中ζ:={ζn}={ζn(ω)：n=0,1,2…}是(Ω，F,P)上的平稳遍历序列，{Zn，n≥0}是在随机环境ζ中的分枝过程，则环境序列ζ的一个实现决定了分枝过程{Zn，n≥0}一个繁衍概率母函数序列{fn}(n≥0)，其中fn:=fn(s):=fζn(s)=∞∑i=0Pi(ζn)si，Pi(ζn)≥0且∞∑i=0Pi(ζn)=1，(n≥0)。本文研究的随机环境中分枝过程{Zn，n≥0}是一族非时齐的分枝过程并且在其繁衍母函数序列{fn}(n≥0)独立同分布的条件下其繁衍规律与随机环境中Gaton-Watson过程种族繁衍规律相同。根据定义Z0=1、Zn+1=Zn∑i=1Xn，i(n≥0)，在环境序列ζ的条件下，{Xn,i；i≥1}是彼此独立且独立于Zn的实值随机变量并有共同的概率母函数。因此E[szn|ζ]=fζ0(fζ1(…fζn-1(s)…))，0≤s≤1，又因为ζ与母函数序列{fn}(n≥0)是一一对应的，为方便可将{fn}(n≥0)当成环境序列作为给定条件，则当Z0=1时有E(szn|，f0，f1，…)=f0(f1(…fn-1(s)…))，0≤s≤1，特别，当对上式求导并令s=1时则得E(Zn|f0，f1，…)=f0'(1)f1'(1)…fn-1(1)。在Z0已知的情况下，可以看出{Zn，n≥0}的分布可由繁衍母函数序列{fn}(n≥0)具体表出。在fn独立同分布和Elogf0(1)存在的条件下由大数定理有limn→∞1/nlogE(Zn|f0,f1，…)=limn→∞1/nn∑i=1logfi-1'(1)a.s=Elogf'(1)其中f表示与fn有同分布的概率母函数，f'(1)表示每个个体孩子数的均值。随机环境中的分枝过程{Zn，n≥0}根据Elogf'(1)的取值不同将其分类，具体而言可按照Elogf'(1)＞0、Elogf'(1)=0和Elogf'(1)＜0三种情况，而相应将分枝过程{Zn，n≥0}分为是上临界分枝过程、临界分枝过程和下临界的分枝过程。众所周知在临界和下临界分枝过程中，当n→∞时，第n代个体数Zn是依概率1趋于0的。特别，对于下临界的分枝过程{Zn，n≥0}，其第n代的个体的存活概率P(Zn＞0)以很快的指数级形式衰退，且其衰退速度依赖于E[f'(1)logf'(1)]的取值，更具体是依赖E[f'(1)logf'(1)]小于0，E[f'(1)logf'(1)]等于0还是E[f'(1)logf'(1)]大于0。在下临界的情况(即Elogf'(1)＜0时)，根据E[f'(1)logf'(1)]的取值不同随机环境中的分枝过程{Zn，n≥0}可进一步细分，即按E[f'(1)logf'(1)]＜0，E[f'(1)logf'(1)]=0和三种情况将下临界的分枝过程{Zn，n≥0}相应分为强下临界的分枝过程，中下临界的分枝过程和弱下临界的分枝过程。在E[f'(1)logf'(1)]＜0(强下临界)时P(Zn＞0)～c1(Ef'(1))n即分枝过程{Zn，n≥0}第n代的个体数的存活概率以c1(Ef'(1))n的指数级的速度衰退，当在E[f'(1)logf'(1)]=0(中下临界)时P(Zn＞0)～c2n-1/2(Ef'(1))n即分枝过程{Zn，n≥0}第n代的个体数的存活概率以c2n-1/2(Ef'(1))n的指数级的速度衰退，当在E[f'(1)logf'(1)]＞0(弱下临界)时P(Zn＞0)～c3n-3/2(inf0≤1≤1Ef'(1)t)n即分枝过程{Zn，n≥0}第n代的个体数的存活概率以c3n-3/2(infEf'(1)')n的指数级的速度衰退。本文在f'(1)logf'(1)可积的假设下和前人研究出的在下临界分枝过程{Zn，n≥0}存活概率P(Zn＞0)的渐近行为基础上利用测度变换和随机游动的有关知识确定了在随机环境中下临界分枝过程{Zn，n≥0}在强下临界、中下临界前两种情况下，存活概率P(Zn＞0)的精确的渐近行为(即确定了c1和c2的具体表达式)。而且证明在Zn＞0的条件下，Zn有非退化的极限分布。在强下临界下存活概率P(Zn＞0)的精确的渐近行为为P(Zn＞0)～c1(Ef'(1))n，其中c1=E(1+∞∑k=1ξk-1exp((S)k))-1，并证明了Zn＞0的条件下，Zn有非退化的极限分布limn→∞P(Zn=k|Zn＞0)=q1(k)(k≥1)这里n∑i=1q1(k)=1且n∑i=1kq1(k)＜∞。在中下临界存活概率P(Zn＞0)的精确的渐近行为为：当n→∞，P(Zn＞0)～c2n-1/2(Ef'(1))n其中c2：=limn→∞n1/2E[exp(-(S)n)(1-fn,0(0))]，并证明了Zn＞0的条件下，Zn有非退化的极限分布limn→∞P(Zn=k|Zn＞0)=q2(k)，(k≥1)其中n∑i=1q2(k)=1。

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作者
李建东;
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作者单位

太原理工大学;

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授予单位太原理工大学;
学科应用数学
授予学位硕士
导师姓名卢准炜;
年度 2006
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正文语种中文
中图分类概率论（几率论、或然率论）;
关键词
随机环境; 下临界; 测度变换; 随机游动; 分枝过程;

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