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An approach via generating functions to compute power indices of multiple weighted voting games with incompatible players

机译：一种通过生成函数来计算具有不兼容播放器的多个加权投票游戏的力量指数的方法

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We introduce a new generating function based method to compute the Banzhaf, Deegan-Packel, Public Good (a.k.a. the Holler power index) and Shapley-Shubik power indices in the presence of incompatibility among players. More precisely, given a graph G = (V, E) with V the set of players and E the edge set, our extension involves multiple weighted voting games (MWVG's) and incompatible players, i.e., pairs of players belonging to E are not allowed to cooperate. The route to obtain the aforementioned generating functions comprises the use of a key lemma characterizing the set of minimal winning coalitions of the game with incompatibility due to Alonso-Meijide et al. (Appl Math Comput 252(1): 377387, 2015), a tool from combinatorial analysis, namely, the Omega calculus in partition analysis, and basic tools borrowed from commutative algebra involving the computation of certain quotients of polynomial rings module polynomial ideals. Using partition analysis, we obtain new generating functions to compute the Deegan-Packel and Public Good power indices with incompatibility leading to lower time complexity than previous results of Chessa (TOP 22(2): 658-673, 2014) and some results of Alonso-Meijide et al. (Appl Math Comput 219(8): 3395-3402, 2012). Using a conjunction of partition analysis and commutative algebra, we extend to MWVG's the generating function approach to compute the Banzhaf and Shapley-Shubik power indices in the presence of incompatibility. Finally, an example taken from the real-world, i.e., the European Union under the Lisbon Treaty, is used to illustrate the usefulness of the Omega package, a symbolic computational package that implements the Omega calculus in Mathematica, due to Andrews et al. (Eur J Comb 22(7): 887-904, 2001) in the context of MWVG's by computing the PG power index of the associated voting game.
机译：我们引入了一种基于生成函数的新方法来计算存在玩家之间不兼容的Banzhaf，Deegan-Packel，公共物品（又称Holler权力指数）和Shapley-Shubik权力指数。更准确地说，给定一个图G =（V，E），其中V是一组玩家，E是一组边缘玩家，我们的扩展涉及多个加权投票游戏（MWVG）和不兼容的玩家，即，不允许属于E的成对玩家要合作。获得上述生成函数的途径包括使用关键引理，该引理描述了游戏的最小获胜联盟集合，这是由于Alonso-Meijide等人的不兼容所致。 （Appl Math Comput 252（1）：377387，2015），一种来自组合分析的工具，即分区分析中的Omega演算，以及从可交换代数中借用的基础工具，涉及多项式环模多项式理想值的某些商的计算。使用分区分析，我们获得了新的生成函数来计算Deegan-Packel和Public Good权力指数，但不兼容导致时间复杂度低于Chessa的先前结果（TOP 22（2）：658-673，2014）和一些Alonso结果-Meijide等。 （应用数学计算219（8）：3395-3402，2012）。使用分区分析和可交换代数的结合，我们扩展到MWVG的生成函数方法，以在不兼容的情况下计算Banzhaf和Shapley-Shubik幂指数。最后，以真实世界为例，即《里斯本条约》下的欧盟，被用来说明Omega软件包的有用性。该软件包是在安德鲁斯等人的帮助下，在Mathematica中实现Omega演算的符号计算软件包。 （Eur J Comb 22（7）：887-904，2001）在MWVG的背景下，通过计算相关投票游戏的PG权力指数来实现。

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