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How to Combine Fast Heuristic Markov Chain Monte Carlo with Slow Exact Sampling

机译：如何将快速启发式马尔可夫链蒙特卡罗与慢速精确采样相结合

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Given a probability law $pi$ on a set $S$ and a function $g : S ightarrow R$, suppose one wants to estimate the mean $ar{g} = int g dpi$. The Markov Chain Monte Carlo method consists of inventing and simulating a Markov chain with stationary distribution $pi$. Typically one has no a priori bounds on the chain's mixing time, so even if simulations suggest rapid mixing one cannot infer rigorous confidence intervals for $ar{g}$. But suppose there is also a separate method which (slowly) gives samples exactly from $pi$. Using $n$ exact samples, one could immediately get a confidence interval of length $O(n^{-1/2})$. But one can do better. Use each exact sample as the initial state of a Markov chain, and run each of these $n$ chains for $m$ steps. We show how to construct confidence intervals which are always valid, and which, if the (unknown) relaxation time of the chain is sufficiently small relative to $m$, have length $O(n^{-1} log n)$ with high probability.
机译：给定一个集合$ S $的概率定律$ pi $和一个函数$ g：S rightarrow R $，假设有人想要估计均值$ bar {g} = int g d pi $。马尔可夫链蒙特卡罗方法包括发明和模拟具有固定分布$ pi $的马尔可夫链。通常情况下，在链的混合时间上没有先验界限，因此即使模拟表明快速混合，也无法推断$ bar {g} $的严格置信区间。但是，假设还有一个单独的方法（缓慢地）准确地给出$ pi $中的样本。使用$ n $个精确样本，可以立即获得长度为$ O（n ^ {-1/2}）$的置信区间。但是可以做得更好。将每个精确的样本用作马尔可夫链的初始状态，并以$ m $个步骤运行每个$ n $链。我们展示了如何构造始终有效的置信区间，并且如果链的（未知）弛豫时间相对于$ m / n $足够小，则其长度为$ O（n ^ {-1} log n ）$的可能性很高。

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